2025届湖北省华师一附中数学高二上期末监测模拟试题含解析

2025届湖北省华师一附中数学高二上期末监测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，棱长为1的正方体中，为线段上的动点，则下列结论错误的是A.B.平面平面C.的最大值为D.的最小值为2．已知数列通项公式，则（）A.6 B.13C.21 D.313．若两个不同平面，的法向量分别为，，则（）A.，相交但不垂直 B.C. D.以上均不正确4．中国明代商人程大位对文学和数学颇感兴趣，他于60岁时完成杰作《直指算法统宗》．这是一本风行东亚的数学名著，该书A.76石 B.77石C.78石 D.79石5．在数列中，若，，则（）A.16 B.32C.64 D.1286．已知命题p：“是方程表示椭圆”的充要条件；命题q：“是a，b，c成等比数列”的必要不充分条件，则下列命题为真命题的是（）A. B.C. D.7．函数在上单调递增，则k的取值范围是（）A B.C. D.8．已知为原点，点，以为直径的圆的方程为()A. B.C. D.9．在长方体，，则异面直线与所成角的余弦值是（）A. B.C. D.10．已知空间向量，，若，则实数的值是（）A. B.0C.1 D.211．某社区医院为了了解社区老人与儿童每月患感冒的人数y（人）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4个月的患病（感冒）人数与当月平均气温，其数据如下表：月平均气温x（℃）171382月患病y（人）24334055由表中数据算出线性回归方程中的，气象部门预测下个月的平均气温约为9℃，据此估计该社区下个月老年人与儿童患病人数约为（）A.38 B.40C.46 D.5812．函数的图象在点处的切线的倾斜角为（）A. B.0C. D.1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．千年一遇对称日，万事圆满在今朝，年月日又是一个难得的“世界完全对称日”（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）.数学上把这样的对称自然数叫回文数，两位数的回文数共有个（），其中末位是奇数的又叫做回文奇数，则在内的回文奇数的个数为___14．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数．用一点（或一个小石子）代表1，两点（或两个小石子）代表2，三点（或三个小石子）代表3，…他们研究了各种平面数（包括三角形数、正方形数、长方形数、五边形数、六边形数等等）和立体数（包括立方数、棱锥数等等）．如前四个四棱锥数为第n个四棱锥数为1+4+9+…+n2＝．中国古代也有类似的研究，如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…若一个“三角垛”共有20层，则第6层有____个球，这个“三角垛”共有______个球15．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=(0<<2)，则点G到平面D1EF的距离为____.16．已知直线l的方向向量，平面的法向量，若，则______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知点F为抛物线：（）的焦点，点在抛物线上且在x轴上方，.（1）求抛物线的方程；（2）已知直线与曲线交于A，B两点（点A，B与点P不重合），直线PA与x轴、y轴分别交于C、D两点，直线PB与x轴、y轴分别交于M、N两点，当四边形CDMN的面积最小时，求直线l的方程.18．（12分）已知函数（1）求的单调区间；（2）若，求的最大值与最小值19．（12分）已知数列的前项和为，且满足，，成等比数列，.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.20．（12分）在平面直角坐标系中，已知圆，点P在圆上，过点P作x轴的垂线，垂足为是的中点，当P在圆M上运动时N形成的轨迹为C（1）求C的轨迹方程；（2）若点，试问在x轴上是否存在点M，使得过点M的动直线交C于两点时，恒有？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由21．（12分）求满足下列条件的双曲线的标准方程（1）焦点在x轴上，实轴长为4，实半轴长是虚半轴长的2倍；（2）焦点在y轴上，渐近线方程为，焦距长为22．（10分）已知椭圆：的一个顶点为，离心率为，直线与椭圆交于不同的两点M，N（1）求椭圆的标准方程；（2）当的面积为时，求的值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】∵，，∴面，面，∴，A正确；∵平面即为平面，平面即为平面，且平面，∴平面平面，∴平面平面，∴B正确；当时，为钝角，∴C错；将面与面沿展成平面图形，线段即为的最小值，在中，，利用余弦定理解三角形得，即，∴D正确，故选C考点：立体几何中的动态问题【思路点睛】立体几何问题的求解策略是通过降维，转化为平面几何问题，具体方法表现为：

求空间角、距离，归到三角形中求解；2．对于球的内接外切问题，作适当的截面，既要能反映出位置关系，又要反映出数量关系；求曲面上两点之间的最短距离，通过化曲为直转化为同一平面上两点间的距离2、C【解析】令即得解.【详解】解：令得.故选：C3、B【解析】由向量数量积为0可求.【详解】∵，，∴，∴，∴，故选：B.4、C【解析】设出未知数，列出方程组，求出答案.【详解】设甲、乙、丙分得的米数为x+d，x，x-d，则，解得：d=18，，解得：x=60，所以x+d=60+18=78（石）故选：C5、C【解析】根据题意，为等比数列，用基本量求解即可.【详解】因为，故是首项为2，公比为2的等比数列，故.故选：C6、C【解析】先判断命题p,q的真假，从而判断的真假，再根据“或”“且”命题的真假判断方法，可得答案.【详解】当时，表示圆，故命题p：“是方程表示椭圆”的充要条件是假命题，命题q：“是a，b，c成等比数列”的必要不充分条件为真命题，则是真命题，是假命题，故是假命题，是假命题，是真命题，是假命题，故选：C7、A【解析】对函数求导，由于函数在给定区间上单调递增，故恒成立.【详解】由题意可得，，，，.故选：A8、A【解析】求圆的圆心和半径，根据圆的标准方程即可求解﹒【详解】由题知圆心为，半径，∴圆方程为﹒故选：A﹒9、A【解析】在长方体中建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，进而求得向量，的坐标，利用向量的夹角公式即可求得答案.详解】如图，由题意可知DA，DC，两两垂直，则以D为原点，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系.设，则，，，，，，从而，故异面直线与所成角的余弦值是，故选：A.10、C【解析】根据空间向量垂直的性质进行求解即可.【详解】因为，所以，因此有.故选：C11、B【解析】由表格数据求样本中心，根据线性回归方程过样本中心点，将点代入方程求参数，写出回归方程，进而估计下个月老年人与儿童患病人数.【详解】由表格得为，由回归方程中的，∴，解得，即，当时，.故选：B.12、A【解析】求出导函数，计算得切线斜率，由斜率求得倾斜角【详解】，设倾斜角为，则，，故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据分类加法计数原理，结合题中定义、组合的定义进行求解即可.【详解】两位数的回文奇数有，共个，三位数的回文奇数有，四位数的回文奇数有，所以在内的回文奇数的个数为，故答案为：14、①.21②.1540【解析】根据题中给出的图形，结合题意找到各层球的数列与层数的关系，得到＝，由此可求的值，以及前20层的总球数【详解】由题意可知，，故＝＝，所＝＝21，所以S20＝a1+a2+a3+a4+⋯⋯+a20＝（12+22+32+⋯⋯+202）+（1+2+3+⋯⋯+20）＝×+×＝1540故答案为：21；154015、【解析】先证明A1B1∥平面D1EF，进而将问题转化为求点A1到平面D1EF的距离，然后建立空间直角坐标系，通过空间向量的运算求得答案.【详解】由题意得A1B1∥EF，A1B1⊄平面D1EF，EF⊂平面D1EF，所以A1B1∥平面D1EF，则点G到平面D1EF的距离等于点A1到平面D1EF的距离.以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，则D1(0，0，2)，E(2，0，1)，F(2，2，1)，A1(2，0，2)，所以，，.设平面D1EF的法向量为，则，令x=1，则y=0，z=2，所以平面D1EF的一个法向量.点A1到平面D1EF的距离==，即点G到平面D1EF的距离为.故答案为：.16、【解析】由，可得∥，从而可得，代入坐标列方程可求出，从而可求出【详解】因为直线l的方向向量，平面的法向量，，所以∥，所以存在唯一实数，使，所以，所以，解得，所以，故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）或.【解析】(1)根据给定条件结合抛物线定义求出p即可作答.(2)联立直线l与抛物线的方程，用点A，B坐标表示出点C，D，M，N的坐标，列出四边形CDMN面积的函数关系，借助均值不等式计算得解.【小问1详解】抛物线的准线：，由抛物线定义得，解得，所以抛物线的方程为.【小问2详解】因为点在上，且，则，即，依题意，，设，，由消去并整理得，则有，，直线PA的斜率是，方程为，令，则，令，则，即点C，点D，同理点M，点N，则，，四边形的面积有：，当且仅当，即时取“=”，所以当时四边形CDMN的面积最小值为4，直线l的方程为或.18、（1）单调递增区间是和，单调递减是；（2）函数的最大值是，函数的最小值是.【解析】（1）利用导数和函数单调性关系，求函数的单调区间；（2）利用函数的单调性，列表求函数的最值.【小问1详解】，当，解得：或，所以函数的单调递增区间是和，当，解得：，所以函数的单调递减区间是，所以函数的单调递增区间是和，单调递减是；【小问2详解】由（1）可得下表4单调递增单调递减单调递增所以函数的最大值是，函数的最小值是19、（1）；（2）.【解析】（1）由可得数列是公差为2的等差数列，再由，，成等比数列，列方程可求出，从而可求得数列的通项公式；（2）由（1）可得，然后利用裂项相消求和法可求出【详解】解：（1）由，可得，即数列是公差为2的等差数列.所以，，.由题意得，解得，所以.（2）由（1）可得，所以数列的前项和.20、（1）；（2）不存在，理由见解析.【解析】(1)设，根据中点坐标公式用N的坐标表示P的坐标，将P的坐标代入圆M的方程化简即可得N的轨迹方程；(2)假设存在，设M为(m，0)，设直线l斜率为k，表示其方程，l方程和椭圆方程联立，根据韦达定理得根与系数关系，由，得，代入根与系数的关系求k与m关系即可判断.【小问1详解】设，因为N为的中点，，又P点在圆上，，即C轨迹方程为；【小问2详解】不存在满足条件的点M，理由如下：假设存在满足条件的点M，设点M的坐标为，直线的斜率为k，则直线的方程为，由消去y并整理，得，设，则由，得，即，将代入上式并化简，得将式代入上式，有，解得，而，求得点M在椭圆外，若与椭圆无交点不满足条件，所以不存在这样的点M【点睛】本题关键是由得，将几何关系转化为代数关系进行计算.21、（1）（2）【解析】（1）（2）直接由条件解