2023年人教版高中数学知识点总结

高中数学必修1知识点

第一章集合与函数概念

[1.1.1]集合的含义与表达

（1）集合的概念

集合中的元素具有拟定性、互异性和无序性.

|2）常用数集及其记法

N表达自然数集,N*或N+表达正整数集,Z表达整数集,Q表达有理数集,R表达实数集.

⑶集合与元素间的关系

对象。与集合M的关系是awM,或者。史M,两者必居其一.

（4）集合的表达法

①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.

②列举法:把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表达集合.

③描述法：｛x|x具有的性质｝,其中x为集合的代表元素.

④图示法:用数轴或韦恩图来表达集合.

（5）集合的分类

①具有有限个元素的集合叫做有限集.②具有无限个元素的集合叫做无限集.③不具有任何元素的集合

叫做空集（0）.

[1.1.2）集合间的基本关系

（6）子集、真子集、集合相等

名称记号意义性质示意图

（1）ACA

A中的任一元素都属⑵0口A

子集

（或33A）于B⑶若A土B且B=C,则A口C

（4）若且则A=B或

（i）0u4（A为非空子集）

ACB工

*A^Bf且B中至

真子集（2）若AuB且BuC,则AuC

（或BZ>A）少有一元素不属于A

***丰

集合A中的任一元素都属(1)ACB

相等于B,B中的任一元素

A=B(2)BQA

都属TA©

(7)已知集合4有n(n>1)个元素,则它有2"个子集，它有2”—1个真子集,它有2”—1个非空子集,它有

2"-2非空其子集.

[1.1.3]集合的基本运算

(8)交集、并集、补集

名称记号意义性质示意图

(i)A(}A=A

A且⑵Ap|0=0

交集

xeB](3)AC\B^AGD

(1)A\JA=A

A或(2)AU0=A

并集A\JB

xeB](3)AUBnAGD

lAn&A)=02AU0A)=U

且xeA}

补集心A瘩(AnB)=(〃A)UGB)UQrXQ)

欷AUB；，=(uA)n(78)

【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法

<1)含绝对位的不等式的解法

不等式解集

Ix|<a(a>0){x\-a<x<a}

|x|>a{a>0)工|工<一。或%>〃}

把ax+b当作一个整体，化成

|ax+b\<c,lax+b\>c(c>0)\x\<a,\x\>a(a>0)型不等式来求解

(2)一元二次不等式的解法

判别式

△>0△=0A<0

A=/?2-4ac

\\uJ

二次函数

_____L

2小/

y=ax+hx+c(a>0)

0工产2

的图象0

2

一元二次方程-b±yjb-4ac

b

2X，=c无实根

ax+Z?x+c=0（6/>0）2ax.=x2=------

的根2a

(其中王<x2)

ax2+bx+c>0(a>0),,b、

{x|冗<X或X>工2}{x|x^--}R

的解集2a

ax2+bx+c<0(。>0)

{x|』<X<x2}00

的解集

KI.23函数及其表达

［1.2.1］函数的概念

（1）函数的概念

①设A、8是两个非空的数集，假如按照某种相应法则/，对于集合4中任何一个数x,在集合

8中都有唯一拟定的数/（幻和它相应，那么这样的相应（涉及集合A,B以及A到5的相应法

则f）叫做集合A到B的一个函数，记作/:A->3.

②函数的三要素:定义域、值域和相应法则.

③只有定义域相同,且相应法则也相同的两个函数才是同一函数.

⑵区间的概念及表达法

①设。,6是两个实数，且满足的实数x的集合叫做闭区间，记做［。,勿；满足

的实数x的集合叫做开区间，记做（a,b）；满足或的实数尤的

集合叫做半开半闭区间，分别记做6）,（4,勿：满足工之〃,工>。,工<"工<6的实数工的集

合分别记做［a,+8）,（4,+8）,（-co,/?］,（-<»,b）.

注意：对于集合｛x|a<x<。｝与区间（区人），前者。可以大于或等于人.而后者必须

a<b.

•3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则：

①/(X)是整式时，定义域是全体实数.

②f(X)是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数.

③f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.

④对数函数的真数大于零，当时数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1.

⑤丁=tanx中，k/r+^(keZ).

⑥零(负)指数吊的底数不能为零.

⑦若f(x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函

数的定义域的交集.

⑧对于求复合函数定义域问题一般环节是：若已知f(x)的定义域为［。,勿，其复合函数

/Ig(x)］的定义域应由不等式a<g(x)<b解此

⑨对于含字母参数的函数，求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论.

⑩由实际问题拟定的函数，其定义域除使函数故意义外，还要符合问题的实琢意义.

(4)求函数的值域或最值

求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实上，假如在函数的值域中存在•个

最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是

提问的角度不同.求函数值域与最值的常用方法：

①观测法:对于比较简朴的函数，我位可以通过观测直接得到值域或最值.

②配方法:将函数解析式化成具有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围拟定函数的值

域或最值.

③判别式法:若函数y=/(x)可以化成一个系数具有y的关于X的二次方程

a(y)x2+b(y)x+c(y)=0,则在a(y)。。时，由于x,y为实数，故必须有

△=从()，)-4〃(y)•c(y)>0,从而拟定函数的值域或最值.

④不等式法:运用基本不等式拟定函数的值域或最值.

⑤换元法:通过变量代换达成化繁为询、化难为易的目的，二角代换可将代数函数的最值问题转化为三

角函数的最值问题.

⑥反函数法:运用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系拟定函数的值域或最值.

⑦数形结合法：运用函数图象或几何方法拟定函数的值域或最值.

⑧函数的单调性法.

[1.2.2]函数的表达法

(5)函数的表达方法

发达函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种.

解析法:就是用数学表达式表达两个变量之间的相应关系.列表法:就是列出表格来表达两个变量之间的相

应关系.图象法:就是用图象表达两个变量之间的相应关系.

(6)映射的概念

①设4、5是两个集合，假如按照某种相应法则了,对于集合A中任何一个元素,在集合B中都

有唯一的元素和它相应,那么这样的相应(涉及集合A,8以及4到B的相应法则f)叫做集合4

到8的映射，记作8.

②给定一个集合A到集合5的映射，且a£A泊£8.假如元素〃和元素b相应，那么我们把元

素〃叫做元素〃的象，元素。叫做元素力的原象.

K1.33函数的基本性质

[1.3.1]单调性与最大(小)值

(1)函数的单调性

①定义及鉴定方法

函数的

定义图象鉴定方法

性质

假如对于属于定义域I内某/(1)运用定义

个区间上的任意两个自变量(2)运用已知函数的单

f(xj

的值XixX2,当Xl＜彳：时，调性

都有“川却成金2就说%(3)运用函数图象

(在某个区间图

f(x)在这个区间上是增西

象上升为增)

影

函数的X,X.X(4)运用复合函数

单调性假如对于属于定义域I内某:y=f(x)(1)运用定义

!

个区间上的任意两个自变量(2)运用已知函数的

的值、当乎时，单调性

XiX2,Xi＜Ux.)

都有f6)，那么就(3)运用函数图象

(在某个区间图

说f(x)在这个区间上是谀国

象下降为减)

瓠.XX：X(4)运用复合函数

②在公共定义域内,两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数.增函数减去一个减函数为增

函数,减函数减去一个增函数为减函数.

③对于复合函数y=/1g(x)］，令〃=g(x),若y=/(w)为增.〃=g(x)为增，则

y=f[g(x)]为增；若＞=/(〃)为减,〃=g(x)为减,则y=/[g(x)l为增；若＞=/(〃)为

增，"二g(x)为减，则y=f［g(x)］为减;若y=/(〃)为减，〃=g(x)为增，则

》=/[g(x)]为减•f{x}-x+—(a＞0)

x

•2)打函数/。)=1+色(4＞0)的图象与性质

/(X)分别在(-00,一6］、［而,+00)上为增函数,分别在

［一6,0)、(0,6］上为减函数.一2五

(3)最大(小)值定义

①一般地.设函数y=f(x)的定义域为/,假如存在实数〃满足：(D对十任意的xw/,都

有

(2)存在小£/,使得=M.那么,我们称M造函数/0)的最大值，记作

源x(x)=M・

②一•般地，设函数y=f(x)的定义域为/,假如存在实数加满足：(1)对于任意的工£/,都有

(2)存在不£/,使得/(%)="2.那么，我们称用是函数/(X)的最小值，记作

ZnaxW=W-

[1.3.2]奇偶性

（4）函数的奇偶性

①定义及鉴定方法

函数的

定义图象鉴定方法

性质

假如对于函数f（x）定义域（1）运用定义（要先

内任意一个X,都有f«(a.f(a))判断定义域是否关于

,那么函数f（X）原点对称）

（2）运用图象（图象

叫做手单蒙.oax

关于原点对称）

(-a.f(-a))

函数的

奇偶性假如对于函数f（X）定义域y（1）运用定义（要先

内任意一个X,都有f（-X）判断定义域是否关于

(a.f(a))

那么函数叫(-a.f(-a))原点对称）

=f（x）,f（x）y

（2）运用图象（图象

做僧串算.

关于y轴对称）

-aoax

②若函数/（x）为奇函数，且在x=0处有定义,则/（0）=0.

③奇函数在），轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反.

④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或

奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数.

R补充知识》函数的图象

（1）作图

运用描点法作图：

①拟定函数的定义域；②化解函数解析式；

③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；④画出函数的图象.

运用基本函数图象的变换作图：

要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、零函数、三角函数等各种基本

初等函数的图象.

①平移变换

力＞0,左移力个单位^y=f(x+h)

y=fM右移I川个单位

k＞0,上移k个单位)

y=fM左＜0,下移|川个单位>y=f(x+k

②伸缩变换

伸

y=/(x)81,缩y=ficox)

y=f(x)=

③对称变换

y=/a)3Uy=一/(x)y=/(x)>'轴>y=/(-x)

x

y=f(x)-忘fy=y=f(x)^->y=f-\x)

去掉.V轴左边图象

y=/(x)保留)轴右边图象；并作其关于)轴对称图象^y=f(\x\)

保留.用i上方图象

y=f(x)将电卜方图象翻折上去”"(刈

(2)识图

对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义

域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系.

(3)用图

函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,它是探求解题途径,

获得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法.

第二章基本初等函数(I)

K2.12指数函数

[2.1.1]指数与指数嘉的运算

(1)根式的概念

①假如x"=£R,X£昭〃>1,且〃£N+,那么X叫做。的"次方根.当〃是奇数时,

。的〃次方根用符号W表达；当〃是偶数时，正数。的正的〃次方根用符号W表达，负的〃次方

根用符号一布表达;0的〃次方根是0；负数。没有〃次方根.

②式子后叫做根式，这里〃叫做根指数，。叫做被开方数.当〃为奇数时，。为任意实数;当

〃为偶数时,a20.

③根式的性质：(折)"=a；当〃为奇数时，=〃；当〃为偶数时，

a(4?>0)

痂=|a|=,

-a(a<0)

（2）分数指数辕的概念

①正数的正分数指数案的意义是:="（〃>0,加,〃eN+，且〃>1）.o的正分数指数

塞等于O

②正数的负分数指数耗的意义如/*=（,户=小（3"'（〃>0,弱〃£乂，且〃>1）.o

aVa

的负分数指数某没故意义.注意口诀:底数取倒数.指数取相反数.

（3）分数指数零的运算性质

①=ar+s(a>0,7•,ssR)②(o')s=ars(a>0,r,5€R)

③(〃/?)'=arbr(a>0,b>0,reR)

12.1.2］指数函数及其性质

图象的

在第一象限内，。越大图象越高：在第二象限内，。越大图象越低.

K2.2J对数函数

12.2.13对数与对数运算

(1)对数的定义

①若ax=N(a>0,且。w1),则x叫做认为。底N的对数，记作x=log.N,其中。叫做底

数，N叫做真数.

②负数和零没有对数.

③对数式与指数式的互化：x=log“N。优=N(〃>0,aw1,N>0).

(2)几个重要的对数恒等式

h

logj=0,logua=l,logfla=b.

(3)常用对数与自然对数

常用对数：IgN,即loggN；自然对数：lnN,即loggN(其中e=2.71828…).

(4)对数的运算性质假如a>0,awl,M>0,N>0,那么

M

①加法：log“M+k>g“N=log.(MN)②减法：log”M一log”N=log,一

N

N

③数乘：nlog”M=log.M"inGR)④a啕=N

n

⑤log〃M=-loguM(b芋0,几wR)⑥换底公式：log“N=上^—(b>0,Rb1)

“blog,,a

【2.2.2】对数函数及其性质

定义域(0,-Ko)

值域R

过定点图象过定点(1,0),即当％=1时，y=0.

奇偶性非奇非偶

单调性在(0,+00)上是增函数在(0,+0。)上是减函数

lognA>0(X>1)logrtx<0(x>1)

函数值的logA=0(x=l)x=0(x=l)

变化情况(,

logwA<0(0<x<l)logt/x>0(0<x<l)

〃变化对。图象的影响在第i象限内，〃越大图象越靠低；在第匹象限内，4越大图象越靠高.

(6)反函数的概念

设函数y=f(x)的定义域为A,值域为C,从式子y=f(x)中解出x,得式子

x=(p(y).假如对于y在C中的任何一个值,通过式子x=(p(y),x在A中都有唯一拟定的值和它

相应，那么式子x=w(y)表达x是y的函数，函数x=0(y)叫做函数y=f(x)的反函数，记作

x=/"(y),习惯上改写成y=.

(7)反函数的求法

①拟定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式y=/(x)中反解出x=/T(y)；

③将x=改写成y=y1(x),并注明反函数的定义域.

(8)反函数的性质

①原函数y=f(x)与反函数y=f~\x)的图象关于直线y=x对称.

②函数y=/(x)的定义域、值域分别是其反函数y=/T(x)的值域、定义域.

③若P(a,b)在原函数y=fix)的图象上，则P'SM)在反函数y=/-,(x)的图象上.

④一般地，函数y=f(x)要有反函数则它必须为单调函数.

K2.33幕函数

(1)案函数的定义

一般地，函数y=x0叫做箱函数，其中x为自变量，a是常数.

•2)事函数的图象

<3）索函数的性质

①图象分布:靠函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.基函数是偶函数时，图象分布在第一、

二象限（图象关于y轴对称）;是奇函数时，图象分布在第一、三象限（图象关于原点对称）;是非奇非偶函数

时，图象只分布在第一象限.

②过定点：所有的事函数在（0,+o。）都有定义，并且图象都通过点（1,1）.

③单调性:假如a>0,则第函数的图象过原点,并且在[0,+8）上为增函数.假如a<0,则第函数的图象

在（0,+o。）上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴.

④奇偶性:当a为奇数时，塞函数为奇函数,当a为偶数时，寡函数为偶函数.当a=幺（其中p,g互质，p

P

幺1

和9GZ）,若p为奇数g为奇数时，则y=是奇函数，若p为奇数g为偶数时，则y=是偶函

i

数，若p为偶数q为奇数时，则y=是非奇非偶函数.

⑤图象特性：耗函数丁=£\]£（0,+8）,当a>l时，若0Vx<1,其图象在直线y=x下方，若

x>\,其图象在直线y=x上方，当。<1时，若0cx<1,其图象在直线y=x上方，若尢>1,其

图象在直线y=x下方.

K补充知识X二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式

①一般式：/(%)=公2+法+8。=0)②顶点式：/(尢)=。(不一〃)2+%(。工0)③两根

式：fM=a{x-X1)(x-x2)(a0)⑵求二次函数解析式的方法

①已知三个点坐标时,宜用一般式.

②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式.

③若已知抛物线与x轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求f(x)更方便.

⑶二次函数图象的性质

①二次函数/(x)=ax2+灰+c(a*0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x=,顶点坐标是

2。

b44c-b1

②当。＞0时，抛物线开口向上,函数在(一8,-2］上递减，在［-2,+8)上递增，当工二-2

2a2a2a

4ac—b?b

时，/min(X)=--------；当。＜0时，抛物线开口向下,函数在(-8,——］上递增，在

4a2a

,b.b4ac—b2

［--—,-1-00)上递减，当X=--时，7max(%)=-----

2a2a4。

③二次函数f(x)="2+bx+=0)当△=从-4ac＞0时，图象与x轴有两个交点

7A

此(3,0),%(乂,0),也附,|=|占T,I:二.

■⑷

•4)一元二次方程ax2+bx+c=0(a^0)根的分布

一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚

不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运

用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布.

设一元二次方程欠2+法+。=0(。工0)的两实根为百，马,且大工42.令

f(x)=ax2+bx+c,从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a②对称轴位置：

x=-—③判别式：△④端点函数值符号.

2a

①kVxWxz<=>

②xtWx2<k<=>

③*1**2Oaf(k)<0

④匕“屋"2<42<=>

⑤有且仅有一个根Xi（或Xz）满足EVM（或X2）＜feof（kjf*）＜o,并同时考虑

faj=o或/•（%）=（）这两种情况是否也符合

⑥kVxiaWpiVx2Vp2＜^＞

此结论可直接山⑤推出.

［5）二次函数/（x）=ax2+bx+c（aw0）在闭区间［p,g］上的最值

设/（x）在区间［p,夕］上的最大值为M,最小值为〃?，令玉）=J（P+4）•

（I）当。＞0时（开口向上）

①若一~—v〃，则帆=/（p）②若p＜一~«q,则〃z=f（一＞L）③若一_2,则

2a2a2a2a

tn=f（q）

A—

一十

\LZ

①若⑷

2a2a

\1一/

①\n若）当4旺ko时（乐开响下）

②若pK/(-—)③若>q,则

"件/202a

卜

①若——<x,则m=f(q)②一—>%,则加=/(p).

2a02a

第三章函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数)，=/(/)(■¥£。)，把使/(幻=0成立的实数X叫做函数

y=f(x)(x£。)的零点。

2、函数零点的意义：函数y=/(x)的零点就是方程f(x)=O实数根，亦即函数y=/(x)

的图象与x轴交点的横坐标。即：

方程f(x)=0有实数根u>函数y=/(x)的图象与x轴有交点=函数y=f(x)有零

点.

3、函数零点的求法：

求函数y=/(x)的零点：

错误！(代数法)求方程f(x)=O的实数根；

错误！(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=/(x)的图象联系起来，并

运用函数的性质找出零点.

4、二次函数的零点：

二次函数y=ax2+bx+c(a#0).

i)△>0,方程，+bx+c=0有两不等实根，二次函数的图象与X轴有两个交点，二次

函数有两个零点.

2)z\=o,方程ar'+H+c=O有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与x轴有一个交

点，二次函数有一个二重零点或二阶零点.

3)A<0,方程以2+法+。=0无实根，二次函数的图象与%轴无交点，二次函数无零点.

高中数学必修2知识点

第一章空间几何体

L1柱、锥、台、球的结构特性

1.2空间几何体的三视图和直观图

1三视图：

正视图：从前往后侧视图:从左往右俯视图：从上往下

2画三视图的原则：

长对齐、高对齐、宽相等

3直观图:斜二测画法

4斜二测画法的环节：

(1).平行于坐标轴的线仍然平行于坐标轴；

(2).平行于y轴的线长度变半，平行于x,z轴的线长度不变：

(3).画法要写好。

5用斜二测画法画出长方体的环节：(1)画轴(2)画底面(3)画侧棱(4)成图

1.3空间几何体的表面积与体积

(-)空间几何体的表面积

1棱柱、棱锥的表面积:各个面面积之和

2圆柱的表面积S=2m/+2〃23圆锥的表面积5="/+勿*2

4厕台的表面积S="/+亚2+成/+兀R25球的表面积S=4成2

（二）空间几何体的体枳

V=S底x〃2锥体的体积V=；S底x〃

1柱体的体积

V=，（S上+JS上5下+S下）x14球体的体积丫=§■砒3

3台体的体积

第二章直线与平面的位置关系

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系

2.1.1

1平面含义：平面是无限延展的

2平面的画法及表达

（1）平面的画法:水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成45°,且横边画成邻边的2倍长（如

图）

（2）平面通常用希腊字母a、B、丫等表达，如平面a、平面B等，也可以用表达平面的平行四边形的

四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表达，如平面AC、平面ABCD等。

3三个公理:

（1）公理1：假如条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内

符号表达为

AGa

BEa

公理1作用：判断直线是否在平面内

（2）公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。

符号表达为:A、B、C三点不共线=>有且只有一个平面

使AWa、B£a、Ceao

公理2作用:拟定一个平面的依据。

（3）公理3：假如两个不重合的平面有•个公共点,

符号表达为：Pean0=>anB=L,且PWL

公理3作用：鉴定两个平面是否相交的依据

2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系

1空间的两条直线有如下三种关系：

T相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；

共面直线1

平行直线：同一平面内，没有公共点；

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。

2公理4：平行于同一条宜线的两条宜线互相平行。

符号表达为:设a、b、c是三条直线

a//b｝二＞a〃c

c〃b

强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都合用。

公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

3等角定理:空间中假如两个角的两边分别相应平行，那么这两个角相等或互补

4注意点：

①a'与b'所成的角的大小只由a、b的互相位置来拟定，与0的选择无关,为简便，点0一般取在两直

乃

线中的一条上；万

②两条异面直线所成的角0G(o,);

③当两条异面直线所成的角是宜角时，我们就说这两条异面直线互相垂宜，记作a_Lb;

④两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形；

⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

2.1.3-2.1.4空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

1、直线与平面有三种位置关系：

(1)直线在平面内一一有无数个公共点

(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点

(3)直线在平面平行一一没有公共点

指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用aa来表达,

aJaCla=Aa//a

2.2.直线、平面平行的鉴定及其性质

2.2.1直线与平面平行的鉴定

1、直线与平面平行的鉴定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

简记为：线线平行,则线面平行。

符号表达：

aN1A

b匚J=>a〃a

a/7b

2.2.2平面与平面平行的鉴定

1、两个平面平行的鉴定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

a

b〃a

2、判断两平面平行的方法有三种：

(1)用定义：

(2)鉴定定理；

(3)垂直于同一条直线的两个平面平行。

2.2.3-2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质

1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

简记为:线面平行则线线平行。

符号表达：

a〃a

CBJa〃b

anP=b

作用：运用该定理可解决宣线间的平行问题。

2、定理:假如两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

符号表达：

a〃B、

A

any=aZ〃b

0Cly=b

作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行

2.3直线、平面垂直的鉴定及其性质

2.3.1直线与平面垂直的鉴定

1、定义

假如直线L与平面a内的任意一条直线都垂直,我们就说直线L与平面a互相垂直，记作L_La,直

线L叫做平面a的垂线，平面a叫做宣线L的垂面。如图，宜线与平面垂直时，它们唯一公共点P叫做垂

足。

2、鉴定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

注意点：a）定理中的“两条相交真线”这•条件不可忽视;

b）定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。

2.3.2平面与平面垂直的鉴定

1、二面角的概念：表达从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形

2、二面角的记法：二面角aT-B或a-AB—B

3、两个平面互相垂直的鉴定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

2.33—2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质

1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

2性质定理：两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

本章知识结构框图

第三章直线与方程

3.1直线的倾斜角和斜率

3.1