数学课后导练：分析法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课后导练基础达标1已知0〈b〈a<,则，a-b,的大小顺序是()A。〉a-b>B.>〉a—bC。>〉a-bD。a—b〉>解析:a,b分别取，则a—b=-=,=,=—=。∴a-b<<答案:B2a,b,c是区间（0,1）内三个互不相等的实数，且p=logc,q=,r=logc，则p,q,r的大小关系是(）A。p〈q〈rB。r〈p<qC。p〈r<qD。r<q<p解析:q=logcab=logc，r=logc,∵a,b，c∈(0,1)，∴∈(0,1）.∴〉>(∵a≠b)。又y=logcx在(0，+∞）上为减函数，故logc〈logc<logc,即r<p〈q。答案:B3已知a，b∈R+，则—与的大小关系是(）A。—>B。—≥C.—≤D。与a，b大小有关解析:要比较它们的大小，可比较（-)3与（)3的大小，又（—)3=a-b-·+3··=a—b+3·(—）,它与a-b的大小,取决于-的符号，故—与的大小与a，b的大小有关。也可用特值法，取a=8,b=1,则-=1,=.此时—<。若取a=1,b=8,则-=-1>=.故选D.答案：D4a>0且a≠1，P=loga(a3+1),Q=loga（a2+1)，则P，Q的大小关系是(）A.P<QB.P>QC。a>1，P〉Q;0<a〈1,P〈QD。不能确定解析：要比较P,Q的大小，需考虑底数的范围,以及真数的大小,为此我们分两类：①a>1时,a3+1>a2+1，而y=logax在(0,+∞)上为增函数。∴loga(a3+1)〉loga(a2+1)。②0〈a〈1时,a3+1〈a2+1.这时y=logax在（0,+∞）上为减函数.∴loga(a3+1)〉loga（a2+1）.综合①②知,P>Q.答案:B5若α，β是锐角,P=sin2α+sin2β，Q=2（sinα+sinβ—1)，R=2sinα+3sinβ—3,则有（）A.P〉Q〉RB。Q〉R>PC.R〉Q>PD。P〉R>Q解析:由选项分析可知P，Q，R的大小是确定的，我们可用特值法求解.令α=，β=,则P=+=1,Q=2（+—1）=-1，R=2×+3×-3=—。∴P>Q>R.答案:A综合应用6若n为正整数，则与的大小关系是_______________。解析：只需比较它们的平方的大小即可.设a=（）2=4(n+1),b=(+）2=4n++4,则b〉a。从而〈+。答案:〈+7已知α是锐角，若，则a,b，c的大小关系是(）A.a≤b≤cB。b≤a≤cC。b≤c≤aD.c≤b≤a解析:a=≥=b，c==b，故a≥b≥c.答案:D8已知0<a〈b<1,那么logab,logba，b,a的大小关系是____________________-.解析：∵0<a<b<1,∴logba>0且logba〉logbb=1=logaa〉logab>0。①又logb，a〈0,且logb〉loga=—1，loga〈logb=-1，∴0>logb>loga。②由①②知，logba>logab>logb〉loga。答案：logba>logab>logb〉loga9设f(x）=,（1）求f(x）的最大值;（2）证明对任意的实数a，b恒有f(a)〈b2-3b+。(1）解析：f(x）=.∴f（x)的最大值为.（当2x=,即x=时“="成立)。（2）证明：b2-3b+=(b—）2+3，当b=时,b2-3b+的最小值为3。而f(a）的最大值为.∴f（a)〈b2—3b+对一切的a,b恒成立。拓展探究10已知a,b>0，2c>a+b,求证:（1）c2〉ab;（2）c-<a<c+。证明:（1)∵2c>a+b，a，b>0，∴4c2>(a+b)2=a2+b2+2ab≥4ab，∴c2>ab。（2)要证c—〈a<c+,需证—<a—c<，于是证｜a—c|〈(a—c）2<c2-ab2ac〉a2+ab，又a>0,即证2c〉a+b,而这就是已知条件，∴原不等式成立。备选习题11已知x，y∈R,且|x|<1,｜y|<1，求证：.证法一:（分析法）∵|x｜〈1,｜y｜<1，∴∴故要证明结论成立，只要证明成立，即证1-xy≥成立即可。∵（y—x）2≥0,有—2xy≥-x2-y2，∴(1-xy)2≥（1—x2)(1-y2），∴1—xy≥〉0，∴不等式成立.证法二：(综合法)引用不等式当且仅当a=b时等号成立）.∵==1—｜xy｜，∴.∴原不等式成立.12已知a，b>0，a+b=1，求证：≤3b+3a<4。证明：3a+3b=3a+31—a≥=，当且仅当a=b=时取等号.要证3a+3b<4，只要证3a+3即证〈0，也就是证32a-4·3于是证（3a-1）(3那么证1<3a最后必须验证0<a〈1，这是明摆的事实。∴≤3a+3b〈4。13已知函数f（x)=,明对于任意不小于3的自然数n，都有f(n）>。证法一：∵f(n)=，欲证f(n）〉，只要证2n-1〉2n，于是证2n—1+2n—2+…+2+1>2n。(巧用等比数列求和公式）∵n≥3,故2n—1+2n-2+…+2+1≥4(n—2）+3=2n+(2n—5）>2n.∴原不等式成立.证法二:同上,只要证2n>2n+1,∵2n=（1+1）n=,当n≥3时，2n>=1+n+，∵［1+n+］-(2n+1）=≥0,∴2n〉2n+1，故f(n)〉。14已知α是方程（）x=x的解，求证:<α<.证明：若x>1,则()x>0,x<0,等式不成立。又x>0，故x只能在(0，1）中取值.∵α是方程的根，故α∈(0,1)。若α∈（0,］,则α≥1，而（)α∈[，1),故等式（）α=α不能成立。若α∈［，1），α∈（0,］。当（)α=α时,有α=α,这一等式当然不能成立,∴〈α〈。15实数a，b,c满足a>b>c,且a+b+c=0,求证:a。证明：∵a〉b>c，a+b+c=0，∴a>0,c<0，在此条件下，我们证明a成立，只需证b2—ac<3a2,事实上，由条件得c=—(a+b）,∴b2-ac—3a2=b2+a（a+b)-3a2=b2+ab-2a2=(b—a)（2a而b<a,2a+b〉a+b+c=0，因此（b—a）(2a+b)<0,∴原不等式成