数学课后导练：分类加法计数原理和分步乘法计数原理（三）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课后导练基础达标1。将5名大学毕业生全部分配给3所不同的学校,不同的分配方式的种数有(）A.8B。15C.125解析:每名大学生有3种不同的分配方式，所以共有35种不同的分配方式.故选D.2.如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路，其中共有6个焊接点A，B，C,D,E，F，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通,现在电路不通了,那么焊接点脱落的可能性共有(）A。6种B.36种C。63种D。64种答案：C3。某班一天上午排语、数、外、体四门课，其中体育课不能排一、四节，则不同排法的种数为()A。24B。22C.20解析：先排体育课，只能排在二、三节,有两种排法;第二步排语文,有3种方法；第三步排数学，有2种方法;第四步排外语，只有1种方法,故共有N=2×3×2×1=12种排法，故选D。4.用1，5,9，13中任意一个数作为分子，4，8，12，16中任意一个数作为分母，可构造________个不同的真分数.解析：设构造的真分数为，其中m∈{1,5，9,13｝，n∈{4，8,12，16｝，且m＜n，若m=1,则n有4种选法；若m=5,则n有3种选法；若m=9，则n有2种选法;若m=13，则n有1种选法，故可构造的真分数个数为4+3+2+1=10种.综合运用5。某演出队有8名歌舞演员，其中6人会表演舞蹈节目，有5人会表演歌唱节目,今从这8人中选出2人，一人表演舞蹈，一人表演歌唱,则选法共有()A.24种B。27种C.28种D.36种解析:设会表演舞蹈节目的6人组成集合A，会表演歌唱节目的5人组成集合B，则A∩B中的元素个数为3个，把这三个称为“全能选手"。若按入选的选手中含有n个“全能选手”可分三大类：含0个，含1个，含2个。第1类的选法种类为3×2=6个；第2类的选法种数为3×2+3×3=15个;第3类的选法种数为3×2=6种。由加法原理可得选法共有N=6+15+6=27种,故选B.6。已知：m∈{2，5，8,9｝，n∈｛1，3，4,7}，则方程=1表示的焦点在x轴上的不同椭圆个数为()A.12B.16C.8解析：由题意m＞n，可用分类计数原理求得共有N=1+3+4+4=12个，选A。7。由n×n个边长为1的正方形拼成的正方形棋盘中，由若干个小方格能拼成的所有正方形的数目是（）A.nB.n2C.·(n+1）·（2n+1)·nD。n·(n—1)·（n—2)·…·3·2·1解析：边长分别为1，2,…,n的正方形的数目分别是n2，(n—1）2,…，12个，故由加法原理可得所有正方形的数目为n2+（n-1）2+…+12=n（n+1）（2n+1），故选C.拓展探究8.设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一。若在5次之内跳到D点，则停止跳动；若5次之内不能到达D点，则跳完5次也停止跳动。那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共有多少种?解析：如图所示，（1)青蛙经过3次从A点跳到D点，有且只有2种情况，即有2种跳法.(2）青蛙跳完5次停止跳动，说明它在跳到第3次时没有到达D点。又每次跳动不分方向,有2种方向可能。所以前3次有2×2×2=8种跳法。由(1)知应减去2种到达D点的跳法，故前3次的跳法是8-2=6种;后两次(显然是分步)共有2×2=4种跳法。故跳5次停跳的方法有6×4=24种.综上，这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共有26种.备选习题9.电子计算机的输入纸带每排8个穿孔位置，每个穿孔位置可穿孔或不穿孔，则每排最多可产生___________种不同信息。解析：产生一种信息需分8步,每步有两种选择方法，由分步计数原理可得共可产生N=28=256(种）不同信息。10.圆周上有2n个等分点(n＞1),以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为___________。解析：把和圆心三点共线的两个顶点视为一组，共可分为n组,每组顶点和剩余的任一个顶点均可构成一个直角三角形，共可形成2（n-1)个直角三角形，由分类计数原理可得所求直角三角形的个数共有:N=n·2（n-1)=2n（n-1)(个)11。若直线方程ax+by=0中的a、b可以从0，1，2，3，4这五个数中任取两个不同的数字，则该方程表示的不同的直线共有多少条？解析：可按a、b是否为0进行分类：第一类，a或b中有一个取0时,方程表示不同直线为x=0或y=0,共2条。第二类，a,b都不取0时，确定a的取值有4种方法，确定b的取值有3种方法，共有4×3=12(种).但是,当a=1,b=2与a=2，b=4时，方程表示同一直线；类似地,还有a=2，b=1与a=4，b=2的情况.综上所述,方程表示的不同的直线共有2+12—2=12(条).12.我国使用的明码电报号码是用4个数字（从0到9）代表一个汉字的，问一共可以表示多少个不同的汉字？解析：4个数字均可从0到9这10个数字中任取一个.由分步计数原理，能够表示不同的汉字有104=10000（个）。13。用红、黄、绿3种颜色的纸做了3套卡片，每套卡牛中写上A、B、C、D、E字母的卡片各一张，若从这15张卡片中，每次取出5张,要求字母不同且3色齐全的取法有多少种?解析:取出5张卡片字母不同的取法有35=243（种)；取出5张卡片字母不同且至少缺一种颜色的取法共有3×25=96(种)。至少缺一种颜色，不妨以至少缺红色为例：因为所选的5张卡片字母不同,颜色可从黄绿中任选，故选出的卡片有缺红、黄或缺红、绿两种