数学课后导练：二次函数的性质与图象

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课后导练基础达标1。二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标为(2,-1）,与y轴交点为(0，11),则(）A。a=1,b=-4,c=11B。a=3，b=12，c=11C。a=3，b=—6，c=11D。a=3，b=-12,c=11解析:由题意有y=a(x-2)2-1,代入点(0，11）,得a=3.∴y=3（x-2)2-1=3x2—12x+11.答案:D2。已知f(x)=（x—a）(x—b)—2，m、n是方程f(x）=0的两根，且a〈b，m〈n，则实数a，b,m,n的大小关系是（）A.m<a<b〈nB。a〈m〈n<bC.a<m〈b<nD。m<a〈n<b解析：设g（x)=(x-a)（x-b），则g(x）=0的两根为a、b.由y=g（x)与y=f(x)的图象(如图）,知m<a〈b〈n,故选A.答案：A3.二次函数y=x2—2（a+b)x+c2+2ab的图象的顶点在x轴上，且a、b、c为△ABC的三边长，则△ABC为（）A。锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形解析：由题意知Δ=0，解得a2+b2=c2.答案：B4。若函数f(x）=(m—1)x2+2mx+3是定义在R上的偶函数,则f（x)在（0,+∞)上（）A.为减函数B.为增函数C。部分增，部分减D。不确定解析：由f(x）是偶函数,∴m=0。∴f（x)=-x2+3。故选A.答案：A5.设二次函数f（x)=ax2+bx+c（a≠0)，如果f（x1)=f(x2）(其中x1≠x2),则f(x1+x2)等于(）AB.C。cD。解析：由f（x1)=f（x2),得x1与x2关于对称轴x=对称，∴x1+x2=.∴f(x1+x2）=c。答案：C6.抛物线y=ax2+bx与直线y=ax+b(ab≠0）的图象只可能是（）解析:A中由直线可得a〉0,b>0,∴<0，故A错;同理,B错;C中由直线得a<0，b>0。由ax+b=0，x=,ax2+bx2=0，x=0或x=，故两曲线与x轴交点重合.故选D。答案：D7.函数y=的定义域是_________.解析：-x2—2x+3≥0，令y=-x2-2x+3，由图象可得-3≤x≤1.答案：｛x｜-3≤x≤1}8.已知在［1，3］上函数y=—x2+4ax单调递减，则实数a的取值范围是__________。解析:抛物线开口向下，对称轴x=2a应在区间［1，3]左侧，∴2a≤1，即a≤。答案:a≤9。已知函数y=3x2—(2m+6)x+m+3的取值恒为非负数,则实数m的取值范围是_________.解析：∵关于x的函数的二次项系数3〉0,∴满足条件Δ=（2m+6)2-4×3（m+3）≤0,解得-3≤m≤0.答案：-3≤m≤010。求函数y=3，x∈［-4,1］的最值及值域。解析：令t=x2+6x+10,x∈[-4,1］,由图象可得t∈［1，17],∴t∈［1，］.∴y∈［3,2］。∴函数的值域是y∈[3，2]，ymax=2,ymin=3。综合运用11。已知集合A={x｜|2x+1｜〉3},B=｛x|x2+x—6≤0｝,则A∩B等于（)A。［-3,-2)∪（1，2］B.（-3,-2］∪(1，+∞)C。（-3，—2］∪［1,2)D。(-∞，-3)∪（1,2］答案：A12.已知函数f(x）=ax2+bx+c的图象如图所示,则b的取值范围是(）A。b>0B。b<0C.b〈-1解析:由图象可得a>0,0〈<2，∴b〈0,且f（0）=1,f(2)=0.∴c=1，4a+2b+1=0。∴a=，代入0<〈2.解得b〈—1.答案：C13.已知二次函数f(x）=x2+x+a（a＞0),若f（m)＜0，则f（m+1)的值是（)A.正数B。负数C.零D。与a有关解析:由题意,得Δ=1—4a>0，解得a〈,于是0〈a<。设x1、x2是方程x2+x+a=0的两根，则｜x1—x2|=.而0〈1—4a<1，于是0〈〈1，所以f（m+1)>0.故选A。答案：A14.求函数f（x)=（4-3a）x2—2x+a在区间[0，1］上的最大值。解析：当4—3a=0，即a=时，f（x)=-2x+在［0,1]上为减函数，∴f（x）max=f(0）=；当〈0,即a〉时,则f(x)在[0，1]上单调递减，∴f(x）max=f(0)=a;当0〈≤,即a≤时，f(x)max=f(1）=2-2a;当〉,即a>时,f（x）max=f(0）=a。综上所述,当a≤时，f（x）max=2-2a;当a>时，f（x）max=a.15。已知二次函数f(x)同时满足条件：（1）f(1+x）=f(1-x）；(2）f（x)的最大值为15；（3)f(x）=0的两根立方和等于17。求f(x）的解析式.解析:∵f（1+x）=f(1-x），∴f（x）的对称轴为x=1.又由（2）可设f(x）=a（x-1）2+15，且a<0.由f(x)=0，得ax2—2ax+a+15=0。∴x1+x2=2,x1·x2=，x13+x23=(x1+x2）(x12—x1x2+x22）=（x1+x2)［（x1+x2）2-3x1x2]=2·（4)=17。∴a=—6。∴f(x)=—6x2+12x+9.拓展探究16.已知函数f（x)=ax2+bx（a、b是常数,且a≠0），f(2)=0且方程f(x）=x有两等根。(1)求f(x）的关系式;（2)是否存在常数m、n（m〈n），使f（x)的定义域和值域分别是［m,n］和［2m,2n］？若存在，求出m、n的值;若不存在，请说明理由.解析:（1）由已知ax2+(b—1