数学课后导练：6平面向量数量积的坐标表示

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课后导练基础达标1。设向量a=（-1，2），b=(2，-1）,则（a·b）(a+b)等于（)A。(1,1)B.（—4，—4）C.-4D。（-2，-2）解析:a·b=—2—2=—4，a+b=（1,1），∴(a·b）（a+b）=(-4，—4)。答案：B2.若向量a=(3,2），b=（0,-1），则向量2b—a的坐标是()A.（3，—4）B。(-3，4）C。（3，4)D.（-3，—4）解析：依向量的坐标运算解答此题。2b-a=（0,-2)-（3，2）=（-3，—4）。答案:D3.已知|a|=8,e为单位向量，当它们之间的夹角为时，a在e方向上的投影为(）A。B。4C。D.8+解析：a在e方向上的投影为｜a|·cos=8×=4。答案:B4。以A（—1,2）,B（3，1），C（2,-3）为顶点的三角形一定是（)A。直角三角形B。等腰直角三角形C。锐角三角形D。钝角三角形解析：由已知可得=(4，-1),=(3，-5），=（-1，—4），∴||=|｜=，且由·=-4+4=0得⊥，故△ABC为等腰直角三角形。答案：B5.设向量a=(3，m）,b=（2,—1)，且a-3b与a—b垂直，则实数m的值是(）A.m=0B.m=-4C.m=0或m=—4D.m=0或m=4解析：a-3b=（3，m）-3（2，—1)=(—3，m+3）,a—b=（3，m)-（2，—1）=(1，m+1)，∴(a-3b）·(a—b）=(-3,m+3）·(1，m+1）=—3+(m+3)(m+1)=m2+4m=0，解得m=0或m=—4。答案:C6.在△ABC中，∠A=90°，=（k，1），=(2,3)，则k的值是________.解析:由与垂直，列出关于k的方程，解方程即可得到答案.∵∠A=90°，∴⊥。∴·=2k+3=0.∴k=—.答案：-7。已知|a｜=,b=（-2,3)且a⊥b，则a的坐标为_______.解析：设a=(x，y)，则x2+y2=52,①由a⊥b，得-2x+3y=0。②由①②得答案：（6，4）或（-6，-4）8.判断a与b是否垂直:（1）a=（0,—2)，b=(-1，3）；（2)a=(—1,3)，b=（—3,-1）解析:（1）a·b=0·（-1）+（-2)·3=—6≠0,∴a与b不垂直.（2）a·b=（—1）·（—3）+3·（—1)=3—3=0，∴a⊥b。9.已知四点：A（—1，3），B(1，1），C（4,4），D(3，5）,求证：四边形ABCD为直角梯形.证明:=（2，-2），=(1，-1），=(3，3）,∴=2。∴∥。又·=2×3+（-2)×3=0，∴⊥。又||=8，｜|=，|｜≠｜|,∴四边形ABCD为直角梯形。10。Rt△ABC中，=（2，3），=（1，k)，求实数k的值.解析：（1)当∠A=90°时，易知·=0，即2+3k=0，k=-.（2）当∠B=90°时，=—=（—1，k-3)，易知·=0，即k=.（3）当∠C=90°时,·=—1+k2-3k=0,k=。综上可知，k的值为—或或.综合运用11.(2004天津高考，理3）若平面向量b与向量a=（1，-2)的夹角是180°，且|b|=，则b等于（)A.(—3，6)B.(3，—6)C。(6,—3)D.(-6,3）解析:a与b共线且方向相反,∴b=λa(λ＜0).设b=（x，y）,由(x,y）=λ(1,-2）得由|b|=得，x2+y2=45，即λ2+4λ2=45,解得λ=—3。∴b=（—3，6）。答案：A12。已知平面上直线l的方向向量e=(），点O（0，0）和A(1，—2)在l上的射影分别是O1、A1,则=λe,其中λ等于(）A。B。C.2D。-2解析：方法一:由向量在已知向量上的射影的定义知λ=｜｜cos〈e,>===—2.方法二:利用数形结合的思想,作图可得.令向量e过原点,故与e方向相反。排除A、C，检验B、D可知D正确。答案:D13.若将向量=（,1）绕原点按逆时针方向旋转,得到向量，则向量的坐标为___________。解析：欲求向量的坐标,可设出的坐标，然后用｜｜=｜｜和、的夹角为，即cos建立坐标的方程组，但较麻烦。注意到与x轴的正方向所成的角为，再逆时针旋转，故与x轴正方向所成的角为，故可采用几何法求点B的坐标.另外若注意到A、B关于直线y=x对称，则马上得到B点坐标.由分析易知的坐标为（1，）。答案：(1，)14。平面上有两个向量e1=（1,0），e2=(0,1),今有动点P，从P0(—1,2）开始沿着与向量e1+e2相同的方向做匀速直线运动,速度大小为|e1+e2|;另一动点Q,从点Q0(-2,—1)出发，沿着与向量3e1+2e2相同的方向做匀速直线运动，速度大小为|3e1+2e2｜.设P、Q在t=0时分别在P0、Q0处，则当⊥时，t=_________秒。解析:∵P0(—1,2)，Q0（-2,-1)，∴=（-1，—3).又∵e1+e2=（1，1)，∴|e1+e2｜=。∵3e1+2e2=（3，2），∴|3e1+2e2|=。∴当t时刻时，点P的位置为(—1+t,2+t），点Q的位置为（-2+3t，—1+2t).∴=(—1+2t,-3+t).∵⊥,∴(—1)·（—1+2t）+（-3）·（-3+t)=0.∴t=2。答案：215。已知：a、b是同一平面内的两个向量，其中a=(1，2).若｜b｜=,且a+2b与2a—b垂直，求a与b的夹角θ。解析：∵a=(1，2）,∴｜a|=.又｜b|=，故|a|｜b|=。又∵(a+2b）⊥(2a—b∴(a+2b）·（2a—b2a2+3a·b-2b∴2×5+3a·b-2×=0，a·b=.∴cosθ==-1.又θ∈［0，π］，∴θ=π，即a与b的夹角为π。拓展探究16。平面内有向量=（1，7），=(5，1）,=(2,1）,点X为直线OP上的一动点。（1)当·取最小值时,求的坐标;(2)当点X满足（1）的条件和结论时，求cos∠AXB的值.解析：（1）设=（x，y）,因为点X在直线OP上，所以向量与共线.又=(2,1)，所以x·1-y·2=0，x=2y。所以=(2y，y）。又=-且=（1，7），所以=(1-2y，7—y）.同理，=-=（