《等差数列前n项和》教案

《等差数列前n项和》教案（高一年级第一册·第三章第三节）一、教材分析●教学内容《等差数列前n项和》人教版高中教材第三章第三节“等差数列前n项和”的第一课时，主要内容是等差数列前n项和的推导过程和简单应用●地位与作用高中数列研究的主要对象是等差、等比两个基本数列。本节课的教学内容是等差数列前n项和公式的推导及其简单应用。在推导等差数列前n项和公式的过程中，采用了：1.从特殊到一般的研究方法；2.逆序相加求和。不仅得出了等差数列前n项和公式，而且对以后推导等比数列前n项和公式有一定的启发，也是一种常用的数学思想方法。等差数列前n项和是学习极限、微积分的基础，与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系。二、学情分析●知识基础：高一年级学生已掌握了函数，数列等有关基础知识，并且在初中已了解特殊的数列求和。●认知水平与能力：高一学生已初步具有抽象逻辑思维能力，能在教师的引导下独立地解决问题。●任教班级学生特点：我所任教的班级是普通班级，学生基础知识不是很扎实，处理抽象问题的能力还有待进一步提高.三、目标分析1、教学目标依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标．●知识与技能目标掌握等差数列前n项和公式，能较熟练应用等差数列前n项和公式求和。●过程与方法目标经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思。●情感、态度与价值观目标获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力。2、教学重点、难点根据教学内容和本校学生特点，我确定本节课的教学重点为：●重点等差数列前n项和公式的推导和应用.●难点等差数列前n项和公式的推导过程中渗透倒序相加的思想方法。●重、难点解决的方法策略本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略．利用数形结合、类比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究，分析、整理出推导公式的不同思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过范例后的变式训练和教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点．四、过程设计结合教材知识内容和教学目标，本课的教学环节及时间分配如下：公式应用与议练活动（1）（5公式应用与议练活动（1）（5分钟）探究等差数列前n项和公式（18分钟）创设情景提出问题（2分钟）公式应用与议练活动（2）公式应用与议练活动（2）（9分钟）归纳总结（2分钟）归纳总结（2分钟）公式的认识与理解（4分钟）五、教学过程教学环节教师活动教师活动学生活动学生活动活动说明新课引入新课引入创设情境：首先让学生欣赏一幅美丽的图片——泰姬陵。泰姬陵是印度著名的旅游景点，传说中陵寝中有一个三角形的图案嵌有大小相同的宝石，共有100层，同时提出第一个问题：你能计算出这个图案一共花了多少颗宝石吗？也即计算1+2+3+…..+100=？现实模型：图片欣赏②生活实例模型直观用实际生活引入新课。探索公式探索公式探索公式探索公式议练活动议练活动课堂总结首先认识一位伟大的数学家——高斯，然后提出问题：高斯是如何快速计算1+2+3+4+…..+100？分析高斯求法得出的式子，发现Sn=1＋2＋3＋…＋98+99+100（1）Sn=100＋99＋98＋…＋3+2+1（2）（1）+（2）得：设等差数列{}前n项和为,则问题1老师：利用高斯算法如何求等差数列的前n项和公式？老师：但是否刚好配对成功呢？但是对n讨论麻烦了，能否有更好的方法求前n项和公式呢？接下来给出实际问题：伐木工人是如何快速计算堆放在木场的木头根数呢？问题2：如何用倒置的思想求等差数列前n项和呢？方法一：两式相加得：方法二同样利用倒序相加求和法，教材做了如下处理：两式相加得：引导学生带入等差数列的通项公式，换掉整理得到公式2。能否给求和公式一个几何解释呢？教师提示将求和公式与梯形建立联系。例1：某长跑运动员７天里每天的训练量（单位：m）是：750080008500900095001000010500这位长跑运动员７天共跑了多少米？本例提供了许多数据信息，学生可以从首项、末项、项数出发，使用公式1，也可以从首项、公差、项数出发，使用公式2求和。剖析公式：教师提示，从方程中量的关系入手。例2等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和为54？本例已知首项，前n项和、并且可以求出公差，利用公式2求项数。事实上，在两个求和公式中各包含四个元素，从方程的角度，知三必能求余一。例3．在等差数列中，已知，求。 本小题主要考察了对公式一的整体应用。根据课堂剩余时间，本题作为机动练习，（2）小问留给学生课后完成1、教师引导学生归纳总结本节课所学习的主要内容．动手体验，反馈信息（2个练习题）中，若，求2.课后作业：A必做题教材118页：练习１、２、３；习题第２题（３、４）B选做题：在等差数列中，学生：1+100=101，2+99=101，…..50+51=101，所以原式=50（1+101）=5050学生:通过等式变形，可把一组数求和看作先求得两组完全相同的数组的和再除以2即可学生：将首末两项配对，第二项与倒数第二项配对，以此类推，每一对的和都相等，并且都等于。学生：不一定，需要对n取值的奇偶进行讨论。当n为偶数时刚好配对成功。当n奇数时，中间的一项落单了。学生观察动画演示，不难发现用倒置的思想来解决此问题。（由上一问题的解决，学生容易想到倒序相加求和法。）学生：利用倒序相加求和法。将中的每一项用等差数列的通项公式进行巧妙的改写，在倒序相加求和时，每一组中的d都被正负抵消了。学生类比方法一与方法二的联系与区别。学生：将求和公式与梯形面积公式建立联系。学生自己阅读教材，体会教材的解法是如何运用求和公式。观察多媒体课件演示。学生讨论：公式中一共含有五个量，根据三个公式之间的联系，由方程的思想，知三可求二。学生讨论分析题目所含的已知量，选取了公式2进行运算，利用了方程的思想。需要注意的是学生可能会把公差认为是-4以及解得n的值后未把n=-3舍去。本例是使用等差数列的求和公式和通项公式求未知元。可以使用公式2，先求出首项，再使用通项公式求末项。也可以使用公式1和通项公式，联列方程组求解。本环节由学生自主归纳、总结本节课所学习的主要内容，教师加以补充说明．（1）回顾从特殊到一般，一般到特殊的研究方法.（2）体会等差数列的基本元表示方法，倒序相加的算法，及数形结合的数学思想.（3）掌握等差数列的两个求和公式及简单应用。高斯求和众所周知，学生能快速解答。这里用到了等差数列脚标和性质从高斯算法出发，对n进行讨论寻找求和公式思路自然，学生容易想到。倒序相加求和法是重要的数学思想，为以后数列求和的学习做好了铺垫。在等差数列前n项和公式的推导过程中，通过问题获得知识，让学生经历“发现问题——提出问题——解决问题”的过程利用数形结合的思想，使学生对两个公式有直观的认识，体会数学的图形语言。通过对实际问题的解决让学生认识到数学来源于生活，同时又服务于生活例2在解决了例1的基础上，由浅入深，深化了对公式的理解，体现了方程的思想。紧扣教材，让学生体会整体应用公式，类比化归的思想方法，同时，为以后综合问题的解答设下伏笔。《等式的性质》典型例题例1回答下列问题；（1）从，能否得到，为什么？（2）从，能否得到，为什么？（3）从，能否得到，为什么？（4）从，能否得到，为什么？（5）从，能否得到，为什么？（6）从，能否得到，为什么？例2用适当的数或整式填空，使所得结果仍是等式，并说明是根据哪条性质以及怎样变形的：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么；（4）如果，那么；（5）如果，那么；（6）如果，那么；（7）如果，那么；（8）如果，那么．例3请利用等式性质解方程：①例4利用等式的性质解下列方程并检验：（1）（2）（3）例5学校每年都要组织部分学生到游乐园游玩，并有一名带队去师．游乐园的门票成人8元，学生5元，此次购买门票共花183元，问共有多少学生参加了此次活动？例6利用等式性质解下列一元一次方程（1）；（2）；（3）；（4）．例7甲队有32人，乙队有28人，如果要使甲队人数是乙队人数的2倍，那么需从乙队抽调多少人到甲队？例8A足球队进行足球联赛，联赛规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，A队一共比赛了10场，并保持不败记录，一共得了22分．A队胜了多少场？平了多少场？例9一商店把某商品按标价的九折出售仍可获知得20％的利润率，若该商品的进价是每件30元，则标价是每件_________元．例10某药店经营的抗病毒药品，在市场紧缺的情况下提价100％，物价部门查处后，限定其提价的幅度只能是原价的10％，则该药品现在的降价的幅度是（）A．45％B．50％C．90％D．95％

参考答案例1解：（1）从能得到，根据等式性质1，在等式两边同时减去就得到；（2）从不能得到．因为是是否为0不确定，因此不能根据等式的性质2，在等式的两边同除以；（3）从能得到．根据等式性质2，等式两边都乘以；（4）从能得到．根据等式性质1，在等式两边都加上；（5）从能得到．由隐含着．因此根据等式的性质2．在等式两边都除以；（6）从不能得到．因为是否为零不能确定，因此不能在两边同除以．说明：在使用等式的性质2时，一定要注意除数不为0的条件，还要注意题目中的隐含条件，比如隐含着．例2分析：本题是等式性质的应用也是本节的难点，解答这类题目的关键是看第二个等式中不需要填空的一边是怎样由第一个等式的相应一边变化而来的．比如本题的第（1）题，第二个等式的左边是3不需填空，3是由第一个等式的左边减去5得到的，所以第二个等式的右边也应减5，即，因此填空为5，其它题目可进行类似地分析．解：（1）；根据等式性质1．等式两边都减去5．（2）；根据等式性质1．等式两边都加上3．（3）；根据等式性质1．等式两边都加上．（4）；根据等式性质2．等式两边都乘以2．（5）；根据等式的性质1．等式两边都加上．（6）；根据等式的性质2．等式两边都除以4．（7）；根据等式性质1．等式两边都加上2．（8）；根据等式性质2，等式两边都乘以6．例3分析：第一步，想办法去掉等式右边的，可以利用等式性质1，两边同减去，得②第二步，想办法去掉左边的－10，可利用等式性质1，两边同加上10，得③第三步，想办法把x项的系数3变成1，可以利用等式性质2，两边同乘以，得④于是我们求出了方程①的解解：两边同减去，得两边同加上10，得两边同乘以，得．说明：上述等式①、②、③、④都是方程，其中等式④具有双重性：既可以看成是方程，也可以看成是方程的解．例4解：（1）两边减9，得化简，得两边同除以2，得检验：将代入方程的左边，得方程的左右两边相等，所以是方程的解．（2）两边加6，得化简，得两边同除以0.5，得检验：将代入方程的左边，得方程的左右两边相等，所以是方程的解．（3）两边减4，得化简，得两边同除以－3，得检验：将代入方程的左边，得方程的左右两边相等，所以是方程的解．说明：（1）解方程是运用等式的性质将方程转化为的形式，解方程的过程也可以看作是等式变形的过程．在解方程的过程中，要注意严格按照等式的性质．（2）检验是检查所求未知数的值是否为方程的解的必要过程，将所得到的未知数的值代人方程中，经计算后观察等式左右两边是否相等．（3）无论是解方程还是检验都应注意计算的准确性，养成正确计算的习惯．例5解：设共有学生x人参加，购买门票共花5x元．则：两边减8，得两边同时除以5，得答：共有35个学生参加了此次活动．说明：列方程解应用问题关键是找准题目中的相等关系，此题可以以总钱数作为相等关系，也可以以学生购票所花钱数作为相等关系，求出方程的解后还应观察其是否符合实际意义，以及时发现错误．例6分析：（1）（2）利用性质1，（3）利用性质2，（4）利用性质1和性质2．解：（1）两边同时减去2得于是．（2）两边同时加上5得于是，习