2024-2025学年福建省厦门十一中九年级（上）第一次月考数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年福建省厦门十一中九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分）1．（4分）下列各式中，是最简二次根式的是（）A． B． C． D．2．（4分）以下列各组数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（）A．1，1，1 B．5，12，14 C．3，4，5 D．2，3，3．（4分）下列计算中，正确的是（）A． B． C． D．4．（4分）二次函数y＝（x+2）2﹣3的顶点坐标是（）A．（2，﹣3） B．（﹣2，﹣3） C．（2，3） D．（﹣2，3）5．（4分）已知点A（1，y1），B（2，y2）都在正比例函数y＝3x的图象上，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．y1≥y26．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为（）A．﹣16 B．﹣4 C．4 D．167．（4分）某校艺术节歌唱比赛中，有15位评委对选手的表现打分，某位选手所得15个分数组成轮一组数据．根据评分规则，剩余13个分数作为一组新数据．下列统计量中，新数据与原数据相比一定不变的是（）A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数8．（4分）如图，长30m，宽20m的矩形基地上有三条宽xm的小路2种花，依题意列方程（）A．20x+30×2x＝600﹣522 B．20x+30×2x﹣x2＝600﹣522 C．（20﹣2x）（30﹣x）＝522 D．（20﹣x）（30﹣2x）＝5229．（4分）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是直线BC上一动点．若AB＝4（）A． B． C． D．10．（4分）如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AC＝4，P是边BC上的一个动点，PE⊥AC于点E，连接DE．如图2所示的图象中，，y与x之间的对应关系可以用图2所示图象表示的是（）A．点P与B的距离为x，点P与C的距离为y B．点P与B的距离为x，点D与E的距离为y C．点P与D的距离为x，点P与E的距离为y D．点P与D的距离为x，点D与E的距离为y二.填空题（每小题4分，共24分）11．（4分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是．12．（4分）如果二次函数y＝（2a﹣1）x2的图象开口向下，则a的取值范围是．13．（4分）如图，在△ABC中，点D，BC的中点，连接DE．若DE＝12．14．（4分）若m，n是一元二次方程x2﹣5x+2＝0的两个实数根，则m+（n﹣2）2的值为．15．（4分）小华从家出发沿笔直的马路匀速步行去图书馆听讲座，几分钟后，爸爸发现小华忘带图书馆的出入卡，爸爸追上小华后以原速度沿原路回家．小华拿到出入卡后以原速度的1.2倍快步赶往图书馆，并在从家出发20min时到达图书馆（小华被爸爸追上时交流的时间忽略不计），小华与爸爸之间的距离y与小华离家的时间x的对应关系如图所示．（1）小华从家出发min时，爸爸追上小华；（2）图书馆离小华家m．16．（4分）函数，其中m是常数且m≠0，该函数的图象记为G．（1）当时，图象G与x轴的交点坐标为．（2）若直线y＝m与该函数图象G恰好只有两个交点，则m的取值为．三.解答题（共86分）17．（8分）解下列方程：（1）（x﹣2）2﹣9＝0；（2）x2+3x﹣4＝0．18．（8分）如图，在▱ABCD中，AC，点E，F在AC上（1）求证：四边形EBFD是平行四边形；（2）若∠BAC＝∠DAC，求证：四边形EBFD是菱形．19．（8分）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：x…﹣3﹣2﹣101…y…0﹣3﹣4﹣30…（1）这个二次函数的解析式是；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（3）当﹣4＜x＜0时，y的取值范围为．20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0．（1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根；（2）若▱ABCD的两邻边AB，AD的长是该方程的两个实数根．当m取何值时，▱ABCD是菱形？求出此时菱形的边长．21．（8分）刺绣是我国民间传统手工艺，湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，某国际旅游公司计划购买A、B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品．已知购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元．（1）求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元？（2）该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最多能购买A种湘绣作品多少件？22．（10分）某果园收获了一批苹果，有2000个苹果作为大果装入包装盒进行销售．设苹果的果径为xmm，其中A款包装盒中的苹果果径要求是80≤x＜85，测量它们的果径（单位：mm），所得数据整理如下：8081828283848485868687878789909192929498（1）这20个苹果的果径的众数是，中位数是；（2）如果一个包装盒中苹果果径的方差越小，那么认为该包装盒中的苹果大小越均匀．从抽取的苹果中分别选出6个装入两个包装盒，其果径如表所示．包装盒1的苹果果径808182828384包装盒2的苹果果径868687878789其中，包装盒中的苹果大小更均匀（填“1”或“2”）；（3）请估计这2000个苹果中，符合A款包装盒要求的苹果有多少个？23．（12分）如图，已知直线l1∥l2．（1）在l1，l2所在的平面内求作直线l，使得l∥l1∥l2，且l与l1间的距离恰好等于l与l2间的距离；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若l1与l2间的距离为2，点A，B，C分别在l，l1，l2上，且△ABC为等腰直角三角形，求△ABC的面积．24．（12分）综合与实践问题情境：如图1，矩形MNKL是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段AB组成的封闭图形，B在矩形的边MN上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉方案设计：如图2，AB＝6米，AB的垂直平分线与抛物线交于点P，点P是抛物线的顶点，且PO＝9米．欣欣设计的方案如下：第一步：在线段OP上确定点C，使∠ACB＝90°，用篱笆沿线段AC，种植串串红；第二步：在线段CP上取点F（不与C，P重合），过点F作AB的平行线，交抛物线于点D，CF将线段AC，BC与抛物线围成的区域分隔成三部分方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步△ABC区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，欣欣在图2中以AB所在直线为x轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题：（1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式；（2）求6米材料恰好用完时DE与CF的长；（3）种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，另外两个顶点分别在线段AC，BC上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值．25．（12分）如图，已知正方形ABCD中，E为CB延长线上一点，M、N分别为AE、BC的中点，连DE交AB于O，ED于H点．（1）求证：AO＝BO；（2）求证：∠HEB＝∠HNB；（3）过A作AP⊥ED于P点，连BP，则的值．

2024-2025学年福建省厦门十一中九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分）1．（4分）下列各式中，是最简二次根式的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、＝2，故本选项不符合题意；B、＝3，故本选项不符合题意；C、是最简二次根式；D、＝，不是最简二次根式；故选：C．2．（4分）以下列各组数为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（）A．1，1，1 B．5，12，14 C．3，4，5 D．2，3，【解答】解：∵12+82≠16，∴长为1，1，7的三边不能组成直角三角形，故A不符合题意；∵52+127≠142，∴长为5，12，故B不符合题意；∵82+42＝52，∴长为2，4，5的三边能组成直角三角形，故C符合题意；∵，∴长为2，3，的三边不能组成直角三角形，故D不符合题意；故选：C．3．（4分）下列计算中，正确的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、与不是同类二次根式，不符合题意；B、6﹣＝7，不符合题意；C、÷＝，原计算错误；D、×＝＝6，符合题意，故选：D．4．（4分）二次函数y＝（x+2）2﹣3的顶点坐标是（）A．（2，﹣3） B．（﹣2，﹣3） C．（2，3） D．（﹣2，3）【解答】解：二次函数y＝（x+2）2﹣6的图象的顶点坐标是（﹣2，﹣3）．故选：B．5．（4分）已知点A（1，y1），B（2，y2）都在正比例函数y＝3x的图象上，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．y1≥y2【解答】解：由题意可知y随x的增大而增大，∵点A（1，y1），B（6，y2）都在正比例函数y＝3x的图象上，4＜2，∴y1＜y4，故选：B．6．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为（）A．﹣16 B．﹣4 C．4 D．16【解答】解：因为关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝4有两个相等的实数根，所以Δ＝（﹣4）2﹣7c＝0，解得c＝4．故选：C．7．（4分）某校艺术节歌唱比赛中，有15位评委对选手的表现打分，某位选手所得15个分数组成轮一组数据．根据评分规则，剩余13个分数作为一组新数据．下列统计量中，新数据与原数据相比一定不变的是（）A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数【解答】解：统计每位选手得分时，会去掉一个最高分和一个最低分，即中位数．故选：D．8．（4分）如图，长30m，宽20m的矩形基地上有三条宽xm的小路2种花，依题意列方程（）A．20x+30×2x＝600﹣522 B．20x+30×2x﹣x2＝600﹣522 C．（20﹣2x）（30﹣x）＝522 D．（20﹣x）（30﹣2x）＝522【解答】解：由题意可得，（30﹣x）（20﹣2x）＝522，故选：C．9．（4分）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是直线BC上一动点．若AB＝4（）A． B． C． D．【解答】解：如图所示，作点A关于直线BC的对称点A'，其与BC的交点即为点E，∵A与A'关于BC对称，∴AE＝A'E，AE+OE＝A'E+OE，O，E在同一条线上的时候和最小，此时AE+OE＝A'E+OE＝A'O，∵正方形ABCD，点O为对角线的交点，∴，∵A与A'关于BC对称，∴AB＝BA'＝4，∴FA'＝FB+BA'＝2+7＝6，在Rt△OFA'中，，故选：D．10．（4分）如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AC＝4，P是边BC上的一个动点，PE⊥AC于点E，连接DE．如图2所示的图象中，，y与x之间的对应关系可以用图2所示图象表示的是（）A．点P与B的距离为x，点P与C的距离为y B．点P与B的距离为x，点D与E的距离为y C．点P与D的距离为x，点P与E的距离为y D．点P与D的距离为x，点D与E的距离为y【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝90°，AC＝4，∴BC＝＝5，如图所示，连接AP，∵S△ABC＝AB•AC＝，∴S△ABC＝×3×5＝，∴AF＝，∴BF＝＝，∵PD⊥AB，PE⊥AC，∴四边形ADPE是矩形，∴DE＝AP，∴当AP⊥BC时，AP最小，∴DE的最小值为，而点P到点E的距离可以无限小，∴由函数图象可知点D与E的距离为y，而点P到点D的距离可以无限性，∴由函数图象可知点P与B的距离为x．故选：B．二.填空题（每小题4分，共24分）11．（4分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥5．【解答】解：由题意得：x﹣5≥0，解得：x≥3，故答案为：x≥5．12．（4分）如果二次函数y＝（2a﹣1）x2的图象开口向下，则a的取值范围是．【解答】解：∵二次函数y＝（2a﹣1）x2的图象开口向下，∴2a﹣1＜7，∴．故答案为：．13．（4分）如图，在△ABC中，点D，BC的中点，连接DE．若DE＝1224．【解答】解：∵点D，E分别是AC，∴DE是△ABC的中位线，∴AB＝2DE＝24，故答案为：24．14．（4分）若m，n是一元二次方程x2﹣5x+2＝0的两个实数根，则m+（n﹣2）2的值为7．【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2﹣5x+8＝0的两个实数根，∴m2﹣4m+2＝0，m+n＝4，∴m2﹣5m＝﹣2，n＝5﹣m∴m+（n﹣2）6＝m+（3﹣m）2＝m8﹣5m+9＝﹣7+9＝7．故答案为：8．15．（4分）小华从家出发沿笔直的马路匀速步行去图书馆听讲座，几分钟后，爸爸发现小华忘带图书馆的出入卡，爸爸追上小华后以原速度沿原路回家．小华拿到出入卡后以原速度的1.2倍快步赶往图书馆，并在从家出发20min时到达图书馆（小华被爸爸追上时交流的时间忽略不计），小华与爸爸之间的距离y与小华离家的时间x的对应关系如图所示．（1）小华从家出发10min时，爸爸追上小华；（2）图书馆离小华家1760m．【解答】解：（1）由图象可知，小华从家出发10min时，即爸爸追上小华时；故答案为：10；（2）由图象可知，爸爸追上小华后用14﹣10＝4（min）回到家，∴小华提速前的速度与爸爸的速度比为4：10＝，设爸爸速度为xm/min，则小华提速前的速度为，提速后速度为xm/min，∴8（x+x）＝1184，解得x＝200，∴小华提速前的速度为x＝200×，提速后速度为＝96（m/min），∵10×80+（20﹣10）×96＝1760（m），∴图书馆离小华家1760m，故答案为：1760．16．（4分）函数，其中m是常数且m≠0，该函数的图象记为G．（1）当时，图象G与x轴的交点坐标为（3，0）．（2）若直线y＝m与该函数图象G恰好只有两个交点，则m的取值为3或﹣1．【解答】解：（1）当x≥0时，对称轴为直线x＝，当x＜0时，对称轴为直线x＝，又当m＝时，函数y＝，当x≥0时，令x2﹣7x﹣3＝0，∴（x﹣7）（x+1）＝0，∴x6＝3或x2＝﹣7（舍去），∴x≥0时，x＝3；当x＜5时，令﹣x2﹣2x﹣4＝0，∴x2+2x+3＝0，∵Δ＝2﹣12＜0，∴x＜0，无解，∴与x轴的交点坐标为（8，0）；（2）当m＞0时，图象大致如图6所示，当y＝m经过顶点时，恰有2个交点，∴当x＝﹣1时，y＝﹣8m+4m﹣3＝2m﹣3＝m，∴m＝3；∴当x＝7时，y＝2m﹣4m﹣4＝﹣2m﹣3＝m，∴m＝﹣8（舍去），当m＜0时，图象大致如图2所示，当y＝m经过顶点时，恰有2个交点，当x＝﹣1时，y＝﹣2m+8m﹣3＝2m﹣7＝m，∴m＝3（舍去），当x＝1时，y＝8m﹣4m﹣3＝﹣6m﹣3＝m，∴m＝﹣1，综上所述，m取值为8或﹣1．三.解答题（共86分）17．（8分）解下列方程：（1）（x﹣2）2﹣9＝0；（2）x2+3x﹣4＝0．【解答】解：（1）（x﹣2）2﹣6＝0；x﹣2﹣2＝0或x﹣2+3＝0，所以x1＝7，x2＝﹣1；（2）x2+3x﹣4＝8．（x+4）（x﹣1）＝8，x+4＝0或x﹣2＝0，所以x1＝﹣8，x2＝1．18．（8分）如图，在▱ABCD中，AC，点E，F在AC上（1）求证：四边形EBFD是平行四边形；（2）若∠BAC＝∠DAC，求证：四边形EBFD是菱形．【解答】证明：（1）在▱ABCD中，OA＝OC，∵AE＝CF．∴OE＝OF，∴四边形EBFD是平行四边形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠BAC＝∠DCA，∵∠BAC＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴DA＝DC，∴平行四边形ABCD为菱形，∴DB⊥EF，∴平行四边形EBFD是菱形．19．（8分）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：x…﹣3﹣2﹣101…y…0﹣3﹣4﹣30…（1）这个二次函数的解析式是y＝x2+2x﹣3；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（3）当﹣4＜x＜0时，y的取值范围为﹣4≤y＜5．【解答】解：（1）由题意可得二次函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4），设二次函数的解析式为：y＝a（x+5）2﹣4，把点（8，﹣3）代入y＝a（x+1）3﹣4，得a＝1，故抛物线解析式为y＝（x+5）2﹣4，即y＝x6+2x﹣3；（2）如图所示：（3）∵y＝（x+4）2﹣4，∴当x＝﹣5时，y＝（﹣4+1）6﹣4＝5，当x＝﹣7时，y＝﹣3，又对称轴为x＝﹣1，∴当﹣8＜x＜0时，y的取值范围是﹣4≤y＜6．20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0．（1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根；（2）若▱ABCD的两邻边AB，AD的长是该方程的两个实数根．当m取何值时，▱ABCD是菱形？求出此时菱形的边长．【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣m）2﹣4（m﹣7）＝m2﹣4m+7＝（m﹣2）2≥4，∴无论m取何值，方程总有两个实数根；（2）解：当AB＝AD时，▱ABCD是菱形，∴Δ＝（m﹣2）2＝5，解得m＝2，此时方程为x2﹣6x+1＝0，解得x2＝x2＝1，即此时菱形的边长为4．21．（8分）刺绣是我国民间传统手工艺，湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，某国际旅游公司计划购买A、B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品．已知购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元．（1）求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元？（2）该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最多能购买A种湘绣作品多少件？【解答】解：（1）设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元，根据题意得：，解得：．答：A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣作品的单价为200元；（2）设购买A种湘绣作品m件，则购买B种湘绣作品（200﹣m）件，根据题意得：300m+200（200﹣m）≤50000，解得：m≤100，∴m的最大值为100．答：最多能购买100件A种湘绣作品．22．（10分）某果园收获了一批苹果，有2000个苹果作为大果装入包装盒进行销售．设苹果的果径为xmm，其中A款包装盒中的苹果果径要求是80≤x＜85，测量它们的果径（单位：mm），所得数据整理如下：8081828283848485868687878789909192929498（1）这20个苹果的果径的众数是87，中位数是86.5；（2）如果一个包装盒中苹果果径的方差越小，那么认为该包装盒中的苹果大小越均匀．从抽取的苹果中分别选出6个装入两个包装盒，其果径如表所示．包装盒1的苹果果径808182828384包装盒2的苹果果径868687878789其中，包装盒2中的苹果大小更均匀（填“1”或“2”）；（3）请估计这2000个苹果中，符合A款包装盒要求的苹果有多少个？【解答】解：（1）87出现的次数最多，故众数是87；把20个苹果的果径从小到大排列，排在中间的两个数分别是86，故中位数是；故答案为：87，86.5；（2）包装盒5的平均数为＝82，包装盒1的方差为：×[（80﹣82）2+（81﹣82）7+（82﹣82）2+（82﹣82）2+（83﹣82）5+（84﹣82）2]＝，包装盒2的平均数为＝87，包装盒8的方差为：×[8×（86﹣87）2+3×（87﹣87）7+（89﹣87）2]＝1；因为3＜，所以甲供应商供应的苹果大小更为整齐．故答案为：甲；（3）2000×＝700（个），答：估计符合A款包装盒要求的苹果有700个．23．（12分）如图，已知直线l1∥l2．（1）在l1，l2所在的平面内求作直线l，使得l∥l1∥l2，且l与l1间的距离恰好等于l与l2间的距离；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若l1与l2间的距离为2，点A，B，C分别在l，l1，l2上，且△ABC为等腰直角三角形，求△ABC的面积．【解答】解：（1）如图1，直线l即为所求作的直线；（2）①当∠BAC＝90°，AB＝AC时，∵l∥l1∥l7，直线l1与l2间的距离为3，且l与l1间的距离等于l与l2间的距离，根据图形的对称性可知：BC＝5，∴，∴，②当∠ABC＝90°，BA＝BC时，如图3，分别过点A8的垂线，垂足为M，N，∴∠AMB＝∠BNC＝90°，∵l∥l1∥l2，直线l2与l2间的距离为2，且l与l2间的距离等于l与l2间的距离，∴CN＝2，AM＝7，∵∠MAB+∠ABM＝90°，∠NBC+∠ABM＝90°，∴∠MAB＝∠NBC，∴△AMB≌△BNC（AAS），∴BM＝CN＝2，在Rt△ABM中，由勾股定理得AB2＝AM3+BM2＝17+22＝4，∴，∴，③当∠ACB＝90°，CA＝CB时，，综上所述，△ABC的面积为1或．24．（12分）综合与实践问题情境：如图1，矩形MNKL是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段AB组成的封闭图形，B在矩形的边MN上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉方案设计：如图2，AB＝6米，AB的垂直平分线与抛物线交于点P，点P是抛物线的顶点，且PO＝9米．欣欣设计的方案如下：第一步：在线段OP上确定点C，使∠ACB＝90°，用篱笆沿线段AC，种植串串红；第二步：在线段CP上取点F（不与C，P重合），过点F作AB的平行线，交抛物线于点D，CF将线段AC，BC与抛物线围成的区域分隔成三部分方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步△ABC区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，欣欣在图2中以AB所在直线为x轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题：（1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式；（2）求6米材料恰好用完时DE与CF的长；（3）种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，另外两个顶点分别在线段AC，BC上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值．【解答】解：（1）建立如图所示的平面