数字信号处理（第2版）课件 第7章-数字信号处理系统的实现

2024/10/25dsp-chap7-20181第7章

数字信号处理系统的实现7.4数字滤波器的系数量化效应7.3输入信号的量化误差7.2数的表示与量化误差7.1数字滤波器结构7.6FFT实现中的量化效应7.5数字滤波器的运算量化效应7.7用Matlab分析数字信号处理系统与量化效应2024/10/25dsp-chap7-20182学习目标：熟练应用系统框图或信号流图描述数字信号处理的过程

（a）IIR数字滤波器的三种结构：直接型，级联型和并联型；

（b）FIR数字滤波器的结构：直接型，级联型，线性相位型，

频率取样型，频域快速卷积型；第7章

数字信号处理系统的实现2.了解数字信号处理中有限字长造成的影响和效应

（a）数的二进制表示法；

（b）A/D转换器的量化误差及量化效应统计分析；（c）数字滤波器系数量化所产生的误差及统计分析模型；（d）数字滤波器实现时的运算量化误差及统计分析模型；

极限环效应（e）FFT实现中的误差分析2024/10/25dsp-chap7-20183数字滤波器可以用差分方程、单位脉冲响应和系统函数来描述，但对于研究系统的实现，即它的运算结构来说，用方框图（或信号流图）表示最为直接。7.1数字滤波器结构E1(z1)x[n]x[n1]单位延时器x1[n]

x2[n]x1[n]+x2[n]加法器x[n]aax[n]数乘器X(z)Y(z)=z

1X(z)z

1X(z)Y(z)=aX(z)aX1(z)Y(z)=X1(z)+X2(z)X2(z)2024/10/25dsp-chap7-20184例1某离散系统的信号流图如下图所示，分析系统的系统函数，

并求解其冲激响应。7.1数字滤波器结构z1Y(z)W(z)z1z1423X(z)53Y(z)解：W(z)=X(z)

(3z1+5z2+3z3)W(z)Y(z)=(2z2+4z3)W(z)如果收敛域：2024/10/25dsp-chap7-20185IIR数字滤波器：其冲激响应h[n]是无限长度序列

；

或者系统函数H(z)至少有一个非零的极点。7.1.2IIR数字滤波器结构IIR数字滤波器的结构主要有三种形式：直接型，级联型，并联型。2024/10/25dsp-chap7-201867.1.2IIR数字滤波器结构1、IIR数字滤波器的直接I型结构（设M=N）图7.1-3直接I型结构方框图

b0x[n]

z

1

b1

z

1

b2

z

1bM

1++++

bM++

z

1

a1y[n]+

z

1

a2

z

1+

aN

1

aN图7.1-4直接I型信号流图aNy[n]a1z

1z

1z

1a2aN

1x[n]b0b1z

1z

1z

1b2bM

1bM特点：需要M+N个延时器

（存储器）2024/10/25dsp-chap7-201877.1.2IIR数字滤波器结构2、IIR数字滤波器的直接II型结构（设M=N）直接II性结构x[n]y[n]b0b1a1z

1z

1z

1b2bN

1bNa2aN

1aNW(z)特点：需要max（M，N）

个延时器（存储器）2024/10/25dsp-chap7-201887.1.2IIR数字滤波器结构3、转置型结构流图将方框图或信号流图中所有支路方向颠倒成反向，且输入输出的位置互相调换一下，得到系统的转置流图。以前述的直接II型为例：图7.1-6转置的直接II型信号流图

x[n]y[n]b0b1a1z

1z

1z

1b2bM

1bMa2aN

1aN2024/10/25dsp-chap7-201897.1.2IIR数字滤波器结构3、转置型结构流图直接I、II型结构都称为直接型结构。其优点是简单直观。缺点是：系数ai和bi对滤波器性能（零点和极点）的控制关系不直接，也就是说，当系数ai中有一个发生变化，则所有极点位置都会变化，系数bi对零点的影响也是如此。而且阶数N越大，影响也越大。所以高阶的IIR滤波器一般会采用级联或并联结构以减小上述影响。2024/10/25dsp-chap7-2018107.1.2IIR数字滤波器结构4、IIR数字滤波器的级联型结构图7.1-7级联型的二阶基本节Hi(z)1

1i

1iz

1z

1

2i

2i

H1(z)

H2(z)

HL(z)

y[n]

x[n]

A图7.1-8IIR数字滤波器的级联型结构2024/10/25dsp-chap7-2018117.1.2IIR数字滤波器结构5、IIR数字滤波器的并联型结构r0ir1i

1iz

1z

1

2iAigiz

1

y[n]

x[n]

C0图7.1-9IIR数字滤波器的并联型结构H1(z)

H2(z)

HP(z)

2024/10/25dsp-chap7-2018127.1.2IIR数字滤波器结构例7.1-1分别画出下式所描述系统的直接II型、并联型和级联型结构。解：(1)直接II型，如右图所示120.75z

1z

10.125x[n]y[n]1(2)并联型：x[n]0.25z

1y[n]

0.5z

1

251882024/10/25dsp-chap7-2018137.1.2IIR数字滤波器结构(2)并联型，也可以将上式的并联型变换一下：x[n]0.25z

1y[n]

0.5z

1

2526

4(3)级联型：x[n]0.25z

1y[n]

0.5z

1注意：（a）级联和并联的子系统阶数必须低于整个系统的阶数；

（b）级联和并联子系统的各项系数必须为实数。2024/10/25dsp-chap7-201814FIR数字滤波器：其冲激响应h[n]是有限长度序列，

通常取0

n

N

1

；

从而其系统函数H(z)的极点全是0。7.1.3FIR数字滤波器结构另外，如果FIR数字滤波器的单位冲激响应满足对称或反对称特性，即h[n]=

h[N

1

n]，则FIR滤波器的相位响应具有线性特点。直接型，级联型，线性相位型，快速卷积型，频率取样型。所以，FIR滤波器一般具有如下结构：2024/10/25dsp-chap7-2018151、IIR数字滤波器的直接I型结构（设M=N）

h[0]x[n]

z

1

h[1]

z

1h[2]

z

1h[N2]++++

h[N1]y[n]y[n]x[n]h[0]h[1]z

1z

1z

1h[2]h[N2]h[N1]7.1.3FIR数字滤波器结构y[n]x[n]h[0]h[1]z

1z

1z

1h[2]h[N2]h[N1]2024/10/25dsp-chap7-2018162、FIR数字滤波器的级联型结构

1iz

1z

1

2i

0i

H1(z)

H2(z)

HL(z)

y[n]

x[n]

A7.1.3FIR数字滤波器结构图7.1-16FIR滤波器的级联型结构x[n]

01z

1z

1z

1

11

21z

1

02

12

22y[n]

z

1z

1

2L

1L

0L2024/10/25dsp-chap7-2018173、FIR线性相位数字滤波器的线性相位性结构7.1.3FIR数字滤波器结构h[n]=

h[N

1

n]，0

n

N

1当N为奇数时，当N为偶数时，2024/10/25dsp-chap7-2018183、FIR线性相位数字滤波器的线性相位性结构7.1.3FIR数字滤波器结构h[n]=

h[N

1

n]，0

n

N

1当N为奇数时，当N为偶数时，x[n]z

1z

1h[0]z

1

1y[n]

z

1z

1(a)z

1z

1z

1h[1]h[2]h[(N

1)/2]h[(N

3)/2]

1

1

1x[n]z

1z

1h[0]z

1

1y[n]

z

1z

1(b)z

1z

1z

1h[1]h[2]

1

1

1z

1

1h[(N/2)2]h[(N/2)1]2024/10/25dsp-chap7-2018194、FIR数字滤波器的快速卷积型结构7.1.3FIR数字滤波器结构假设输入信号x[n]长度为N1，如果取N

N1+N2

1，并假设x[n]和h[n]的N点DFT分别为X[k]和H[k]，则根据DFT的圆周卷积定理，有y[n]

Y[k]=H[k]X[k]也即：

y[n]=IDFT[H[k]X[k]]x[n]0

n

N1

1补零N点DFTh[n]0

n

N2

1he[n]0

n

N

1H[k]0

k

N

1

N点IDFTy[n]0

n

N1+N2

2补零N点DFTxe[n]0

n

N

1X[k]0

k

N

1H[k]X[k]0

k

N

12024/10/25dsp-chap7-2018205、FIR数字滤波器的频率采样型结构7.1.3FIR数字滤波器结构设h[n]的N点DFT为H[k]，则图7.1-18FIR滤波器的频率采样型结构x[n]y[n]

z

NH[N

1]z

1WN

(N

1)H[1]z

1WN

1H[0]z

1WN01/N（a）原理：2024/10/25dsp-chap7-2018215、FIR数字滤波器的频率采样型结构7.1.3FIR数字滤波器结构（b）特点：（1）Hc(z)是一个由N节延时单元组成的梳状滤波器，它在单位圆上有N个等分的零点，而一阶滤波器Hk(z)在单位圆上有一个对应的极点；（2）系数H[k]和WN

k都是复数，增加了运算的复杂性；（3）所有谐振器的极点都在单位圆上，由于量化效应的影响，系统的稳定性不能保证。2024/10/25dsp-chap7-2018225、FIR数字滤波器的频率采样型结构7.1.3FIR数字滤波器结构（c）修正的频率采样型结构：当N为偶数时，当N为奇数时，其中：r0k=2Re[H[k]]，r1k=

2Re[rH[k]WNk]2024/10/25dsp-chap7-201823例7.1-2已知FIR滤波器的系统函数为：

H(z)=(1+0.5z

1)(1+2z

1)(1

0.25z

1)(1

4z

1)

分别画出它的直接型、级联型、线性相位型和频率采样型结构。解：(1)直接型，如右图所示(2)级联型（一阶节级联）：7.1.3FIR数字滤波器结构H(z)=1

1.75z

1

8.625z

2

1.75z

3+z

4x[n]z

1y[n]

z

1z

1z

1

1.75

8.625

1.75(a)

x[n]z

1z

10.52y[n]

z

1

4z

1

0.25(b-1)2024/10/25dsp-chap7-201824(2)级联型，也可以将上式的级联型变换为二阶节的级联：H(z)=(1+2.5z

1+z

2)(1

4.25z

1+z

2)----线性相位7.1.3FIR数字滤波器结构(b-2)x[n]z

1z

1z

12.5z

1

4.25y[n]

(3)线性相位型结构：：H(z)=(1+z

4)

1.75(z

1+z

3)

8.625z

2(c)x[n]z

1z

1

y[n]

z

1

1.75

8.625

z

12024/10/25dsp-chap7-201825(4)频率采样型结构：取H(z)的8等分点采样值为：H[k]={

10.125，j11.10，10.625，

j6.15，

3.125，j6.15，10.625，

j11.10}，0

k

77.1.3FIR数字滤波器结构设修正半径r=1（即不修正极点位置）y[n]

x[n]

z

81/821.251.414

115.695

8.696z

1z

1

1z

1z

1

1

3.125z

1

10.125z

1

1.414

1z

1z

12024/10/25dsp-chap7-201826数的记录与表示：7.2数的表示与量化误差如：123.456=1102+2101+3100+4101+5102+6103日常记数法：十进制，包含十个不同的数码0，1，2，…，9；基：10；高位低位整数小数（尾数）权位数字信号处理中：二进制，包含二个不同的数码0，1；基：2；如：11001.1101=124+123+022+021+120

+121+122+023+124为缩短二进制表示的长度或快速读写二进制数：八进制，十六进制如：11001.1101=（31.64）8=（1A.E）162024/10/25dsp-chap7-2018271.定点二进制数：小数点位置固定不动7.2.1二进制数的表示再如：（11001.1101）2=（25.8125）10，用定点小数（二进制）表示：（25.8125/32）10=（0.806640625）10=（0.110011101）2但为了运算方便，通常定点制都把数

a限制在

1之间，即

1<a<1。这时，小数点固定在分数的第一位二进码之前，而整数位定义为“符号位”，代表数的正负(“0”表示正数，“1”表示负数)，小数部分称为“尾数”。如：（0.101）2=（0.625）10定点数有三种编码方式：（1）原码：也称“符号-幅度码”；（2）补码：也称“2的补码”；（3）反码：也称“1的补码”；三种编码对于正数来说，完全相同；但是对于负数，则有不同的表示。例：（

0.625）10=（

1.101）2原=（

1.011）2补=（

1.010）2反2024/10/25dsp-chap7-2018281.定点二进制数：小数点位置固定不动7.2.1二进制数的表示特点：定点数做加减法运算其结果可能或超出

1的范围，称为“溢出”。定点数做乘法运算不会造成溢出，但是字长却要增加一倍，一般在定点乘法运算以后需要对尾数做截尾或舍入处理，以保证字长不变，但是这样处理后会带来截尾误差或舍入误差。2.浮点二进制数：x=M

2c，M是它的尾数部分，2c是它的指数部分，c是阶数，称为“阶码”。尾数和阶码都用带符号的定点数表示，通常M的范围是0.5

|M|<1特点：浮点数做加减法运算：需要对阶，然后再做加减；其动态范围很大，不会出现“溢出”。浮点数做乘法运算时：阶码相加，尾数相乘但不论做加减或乘法运算，都存在尾数的截尾或舍入处理而带来误差的问题。2024/10/25dsp-chap7-2018291.截尾误差7.2.2定点制的量化误差当定点系统采取截尾处理时，对于正数，三种码的表示法是相同的，因而量化的影响也是相同的。设

x是(b1+1)位的正数：即其十进制的数值为：截尾后字长为b位，显然b<b1，对x截尾后的量化值用QT[x]表示为截尾的量化误差用ET表示，为当

i=0，i=b+1，b+2，

，b1时，取等号，即ET=0当

i=1，i=b+1，b+2，

，b1时，误差达到最大值，即2024/10/25dsp-chap7-2018301.截尾误差7.2.2定点制的量化误差对于负数，三种码的表示法各不相同，因而量化产生的误差也各不相同。设

x是(b1+1)位的负数。（a）负数原码：截尾的量化误差用ET表示，为令q=2

b，它是(b+1)位(含符号位)字长正数的最小值，这个值称为“量化宽度”或“量化阶”。定点正数的截尾误差为：

q<ET

0定点负数原码的截尾误差为：

0

ET<q2024/10/25dsp-chap7-2018311.截尾误差7.2.2定点制的量化误差对于负数，三种码的表示法各不相同，因而量化产生的误差也各不相同。设

x是(b1+1)位的负数。（b）负数反码：截尾的量化误差用ET表示，为定点负数反码的截尾误差为：

0

ET<q2024/10/25dsp-chap7-2018321.截尾误差7.2.2定点制的量化误差对于负数，三种码的表示法各不相同，因而量化产生的误差也各不相同。设

x是(b1+1)位的负数。（c）负数补码：截尾的量化误差用ET表示，为定点负数反码的截尾误差为：

q<ET

0归结起来，定点表示法的截尾误差为：正数及负数补码的截尾误差为负数，其范围：

q<ET

0；负数原码与负数反码的截尾误差为正数，其范围：0

ET<q。2024/10/25dsp-chap7-2018332.舍入误差7.2.2定点制的量化误差对字长为(b1+1)位的定点数作舍入处理时，是通过对尾数的第(b+1)位加1，然后截取到b位实现的。舍入之后的量化间距为q=2

b，即两个数间最小非零差是q。无论是原码、反码还是补码，其误差总是在

q/2之间。以QR[x]表示对x作舍入处理，ER表示舍入误差，则有

q/2<ER

q/2例7.2-1

若寄存器字长b=2的数字系统，当经过运算处理后字长增加到b1=4。现有运算后的三个数：

负数原码x1B=1.1001，负数反码x2反=1.1010，和负数补码x3补=1.1010（1）若采用截尾处理，分别求出上述三数所引起的误差；（2）若采用舍入处理，分别求出上述三数所引起的误差。解：（1）采用截尾处理：x1B=1.1001，QT[x1]

B=1.10，即

x1D=

0.5625，

QT[x1]

D=

0.5；所以：ET=QT[x1]

D

x1D=0.0625>02024/10/25dsp-chap7-2018347.2.2定点制的量化误差解：（1）采用截尾处理：类似地x2反=1.1010,QT[x2反]

B=1.10，即

x2D=

0.3125，QT[x2]

D=

0.25；所以：ET=QT[x2]

D

x2D=0.0625>0x3补=1.1010，

QT[x3补]

B=1.10，即

x3D=

0.375，

QT[x3]

D=

0.5；所以：ET=QT[x3]

D

x3D=

0.125<0（2）采用舍入处理：x2反=1.1010,QR[x2反]

B=1.10，即

x2D=

0.3125，QR[x2]

D=

0.25；所以：ER=QR[x2]

D

x2D=0.0625>0x3补=1.1010，

QR[x3补]

B=1.11，即

x3D=

0.375，

QR[x3]

D=

0.25；所以：ER=QR[x3]

D

x3D=0.125>0x1B=1.1001，QR[x1]

B=1.10，即

x1D=

0.5625，

QR[x1]

D=

0.5；所以：ER=QR[x1]

D

x1D=0.0625>02024/10/25dsp-chap7-201835常用的数字信号处理框图如下图1所示：7.3输入信号的量化误差A/D转换器数字信号处理器D/A转换器图1数字信号处理系统的简单方框图xa(t)ya(t)x[n]y[n]冲激串转换为序列x[n]xa(t)xs(t)x[n]=xa(nT)量化编码模数(A/D)转换器是将模拟信号xa(t)转换为(b+1)位数字信号输出的器件。在原则上可把转换视为两级过程：第一级采样，由模拟信号xa(t)产生序列x[n]=xa(t)|t=nT=xa(nT)，这里x[n]以无限精度表示；第二级量化，即将采样序列的每个样本x[n]进行截尾或舍入的量化处理，从而得到有限字长的数字信号2024/10/25dsp-chap7-201836分析A/D转换器量化效应的目的在于选择合适的信号字长，以满足信号处理（主要是信噪比）指标。7.3.1A/D转换的量化效应在具体讨论A/D转换器量化效应之前，对模拟信号作一些规定：（1）为使采样后不造成混叠失真，模拟信号xa(t)必须是带限的。

否则A/D转换器前一般都加一个前置的模拟低通滤波器；（2）要求模拟信号规格化。

如假设量化器输出值表示成(b+1)位的补码定点小数，为了保证未量化的采样值x[n]都处在(b+1)位数的数值范围内，则要求输入模拟波形必须被规格化成由于量化时，字长有限，从而产生量化误差(也称量化噪声)：2024/10/25dsp-chap7-2018377.3.1A/D转换的量化效应A/D转换器的量化噪声模型：采样量化xa(t)x[n]=xa(nT)采样xa(t)x[n]=xa(nT)e[n]7.3.2量化误差统计模型及信噪比实际的量化过程是非线性过程，但为简化分析，我们通常将其视为线性过程，其量化采样值表示为2024/10/25dsp-chap7-2018387.3.2量化误差统计模型及信噪比进行统计分析时，通常假设误差e[n]具有如下的统计特性：（1）e[n]是平稳随机序列；（2）e[n]与采样序列x[n]不相关；（3）e[n]序列本身的任意两个值之间不相关，也即e[n]是白噪声序列；（4）e[n]在误差范围内均匀分布。根据这样的假定，量化误差就是一个与信号序列完全不相关的白噪声序列，因此也称为量化噪声，它与信号的关系是相加的。应用概率论和随机过程的分析方法，采用平均值、方差等来描述噪声序列e[n]的特征：对于定点舍入情况，误差序列eR[n]的概率密度函数为eR[n]图7.3-2舍入噪声的概率分布P[eR[n]]1/q

q/2q/2O

2024/10/25dsp-chap7-2018397.3.2量化误差统计模型及信噪比对于定点舍入情况，误差序列eR[n]的概率密度函数为eR[n]图7.3-2舍入噪声的概率分布P[eR[n]]1/q

q/2q/2O

对于定点截尾情况，误差序列eT[n]的概率密度函数为eT[n]图7.3-3补码截尾噪声的概率分布1/q

q/2O

P[eT[n]]2024/10/25dsp-chap7-2018407.3.2量化误差统计模型及信噪比舍入和补码截尾的量化误差，其均值不同，但方差相同，都为q2/12，显然，字长越长，q越小，量化噪声（功率）越小。我们关心的是量化噪声所造成的对信号的影响，这种影响是通过“信噪比”这一指标进行衡量。设信号的功率是

x2，则信噪比定义为信号功率与噪声功率之比，即实用中，常用分贝表示（取对数），则为①信号功率越大，即

x2越大，信噪比越大；②随着字长的增加，信噪比增大，且字长每增加1位，信噪比约提高6dB。2024/10/25dsp-chap7-2018417.3.2量化误差统计模型及信噪比当输入信号超过A/D转换器的量化动态范围时，必须压缩输入信号幅度，也就是说对Ax[n](0<A<1)作量化处理，而Ax[n]的功率为A2

x2，所以此时的信噪比应为由于0<A<1，则log10A为负数，因此压缩信号幅度，将使信噪比受到损失。例7.3-1已知x[n]在

1之间均匀分布，且均值E[x[n]]=0，

求A/D转换器的信噪比。解：当A/D转换器的字长b为10时，信噪比SNR

66dB。2024/10/25dsp-chap7-2018427.3.3量化误差通过线性系统引起数字系统误差的因素有多种，总的来说，大致分为三类：①由系统本身参数的数字化而产生；②由系统运行中的数学计算产生；③输入信号量化产生。对于线性系统，可以认为这三种误差在输出端所产生的误差输出是相互独立的，而且和系统本身的输出信号也是不相关的，这样就可以分别考虑各种因素所造成的误差输出，再经叠加得到系统的总输出误差。设单位脉冲响应为h[n]的LTI离散时间系统，h[n]是实序列，当经A/D转换后的量化信号经过此系统时，系统实际输出为：因为x[n]和e[n]互不相关，h[n]x[n]图7.3-4量化噪声通过线性系统e[n]2024/10/25dsp-chap7-2018437.3.3量化误差通过线性系统其中：y[n]=h[n]

x[n]；ef[n]=h[n]

e[n]，或者如果e[n]是舍入噪声，则输出噪声的方差为：（假设系统是因果系统）由于e[n]是白噪声，所以根据Parseval定理，所以2024/10/25dsp-chap7-2018447.3.3量化误差通过线性系统例7.3-2某一阶因果LTI系统可用下式差分方程描述

y[n]+ay[n

1]=x[n]，|a|<1假设一个(b+1)位的A/D转换器，其输出通过上述系统后。求此系统输出端的量化噪声方差

f2。解：由于A/D转换器的量化效应，输入此滤波器的噪声方差为对于上述一阶系统，其冲激响应为h[n]=anu[n]，从而其输出噪声的方差为2024/10/25dsp-chap7-201845设N阶IIR数字滤波器的系统函数为：7.4数字滤波器的系数量化效应实际实现时，字长总是有限的，即ai和bi并不能准确的取所要求的值，导致实际滤波器的极点和零点位置与理论设计的发生偏离而产生误差，解：理想条件下，系统的极点为p1=0.902，p2=0.943，

因而系统稳定；例7.4-1理想条件下，因果LTI离散系统的系统函数为：实际实现时，小数点后只能保留两位有效数字，分析该系统在理想条件下和实际实现时的极点位置和稳定性问题。2024/10/25dsp-chap7-2018467.4数字滤波器的系数量化效应实际实现此系统时，假设采用舍入处理，则系统函数成为实际实现时，系统的极点为即在实际实现时，极点出现在单位圆上，而成了临街稳定系统（不稳定系统，收敛域不包含单位圆）。理想状况下（无限精度）：系统的单位冲激响应为：

h[n]=[23

(0.943)n

22

(0.902)n]u[n]实际状况下（有限精度）：系统的单位冲激响应为：2024/10/25dsp-chap7-2018477.4.1系数量化对零、极点位置的影响极点位置灵敏度：是指每个极点位置对各系数偏差的敏感程度。理想精度下的系统函数：有限精度下的系统函数：其中：讨论系数量化对极点的影响。设系统H(z)的极点位于p=pk，k=1，2，…，N，则系统函数的分母多项式为（无限精度下）：有限精度下系统函数的极点成为：2024/10/25dsp-chap7-2018487.4.1系数量化对零、极点位置的影响极点pk的位置误差

pk与各系数误差

ai的关系为由于：所以故：因为所以：2024/10/25dsp-chap7-2018497.4.1系数量化对零、极点位置的影响极点pk的位置误差

pk与各系数误差

ai的关系为上式表示了第k个极点pk对H(z)的分母多项式中第i个系数ai变化(误差)的灵敏度。但它只对单阶极点有效，多阶极点可以进行类似推导。上式中分母的每一个因子(pk

pm)都是由极点pm指向极点pk的矢量，即整个分母为所有极点指向该极点pk的矢量积。这些矢量越长，即极点彼此间距离越远时，极点位置灵敏度就越低；这些矢量越短，即极点彼此越密集时，极点位置灵敏度就越高。在相同程度的系数量化误差水平下，极点灵敏度越高，系数量化误差对极点偏移造成的影响就越大。高阶直接型结构滤波器极点数目多而密集，低阶直接型滤波器极点数目少而稀疏，因此高阶直接型滤波器的极点位置灵敏度要比低阶的敏感得多（大得多）。2024/10/25dsp-chap7-2018507.4.1系数量化对零、极点位置的影响例7.4-2试确定数字滤波器系数量化所需的最小字长，

要求保持极点位置误差小于0.5%，已知系统函数为解：系统的极点为

p1=

0.85+j0.15，p2=

0.85

j0.15

设

a1=

1.7，a2=

0.745，b=0.0373。

根据式(7.4-6)，求得a2对极点p1和p2的影响：假设系数a1没有量化误差，即

a1=0，从而根据式(7.4-4)，有如果采用定点制的舍入误差处理，设小数点后为b位，利用式(7.2-6)，系数量化阶q=2|

a2|=2.590

10

3>2

b，从而系数量化所需的最小字长b应为9。2024/10/25dsp-chap7-2018517.4.2系数量化效应的统计分析理想精度下的系统函数：有限精度下的系统函数：其中：假设量化后系数采用小数点后b位字长，则在舍入量化情况下，每个误差在(

q/2，q/2)间隔内均匀分布，误差的平均值为零，方差为q2/12。

从而系统在有限精度实现时和无限精度计算时输出信号的偏差为：2024/10/25dsp-chap7-2018527.4.2系数量化效应的统计分析如果忽略二阶误差：对上式取z变换，则有：其中：而：Y(z)=H(z)X(z)=[B(z)/A(z)]X(z)2024/10/25dsp-chap7-2018537.4.2系数量化效应的统计分析记：无限精度滤波器H(z)偏差滤波器HE(z)图7.4-1系数量化后滤波器的等效模型y[n]e[n]x[n]2024/10/25dsp-chap7-2018547.4.2系数量化效应的统计分析有限精度下（实际滤波器）的系统函数：有限精度下（实际滤波器）的频率响应：偏差滤波器的频率响应：以频响特性的均方误差

2作为频响特性偏差的度量，则一般地，

ai，

bi值并不能准确知道，而我们已假设它们都是独立的均匀分布的随机变量，在舍入的情况下，它们的平均值和方差分别为E[

ai]=E[

bi]=0，和

2=E[(

ai)2]=E[(

bi)2]=q2/12。这样，对偏差

2求数学期望，得到频响特性偏差的均方值为2024/10/25dsp-chap7-2018557.4.2系数量化效应的统计分析频响特性偏差的均方值为：利用：偏差滤波器的频率响应：如果：r和u分别是系统函数H(z)的分母和分子多项式的非零、非1系数的数目，2024/10/25dsp-chap7-2018567.4.2系数量化效应的统计分析例7.4-3分析一阶滤波器在系数A和a量化条件下偏差滤波器的方差

2。

已知一阶滤波器的系统函数为解：偏差滤波器的方差：如果极点p

=a接近单位圆时，即|a|

1，则上式中第二项将变得很大，此时略去第一项，并取1+a

2和1+a2

2，则得到2024/10/25dsp-chap7-201857滤波器实现过程中，有乘系数、相加和延迟运算：延迟则是迟后一个采样周期取出，不造成字长变化；乘系数运算会出现字长超长，所以需要作舍入或截尾处理；相加运算，对于定点制来讲，可能产生溢出。对浮点制则会造成字长超长。所以在滤波器实现过程中，要注意处理两个问题：①采用定点制时，防止加法溢出；②对超长的数必须随时进行舍入或截尾处理。7.5数字滤波器的运算量化效应①

确定信号的动态范围，以保证不产生溢出误差；

②合理选择量化字长，以尽量减小因尾数处理而产生的误差，以满足信噪比指标要求。2024/10/25dsp-chap7-2018587.5数字滤波器的运算量化效应研究定点实现相乘运算的流图如下图7.5-1所示。图中(a)表示无限精度的乘积运算；

图

(b)表示有限精度乘积，[

]表示量化处理；

(c)表示有限精度乘积运算的噪声统计模型。（a）x[n]ay[n]

x[n]ay[n]

[

]

（b）x[n]ae[n]

（c）（a）理想相乘；(b)有限精度实现的相乘；(c)统计分析模型图7.5-1定点相乘运算的流图表示

本教材中以运算误差舍入量化噪声为例进行分析。并对噪声e[n]的统计特性作如下假设（1）e[n]是平稳随机序列；（2）e[n]是白噪声序列，在量化间隔上均匀分布；（3）e[n]中任意两个来自不同的噪声互不相关；（4）e[n]与采样序列x[n]及中间计算结果都不相关。对于舍入量化处理，e[n]的均值为0，方差为

e2=q2/12。2024/10/25dsp-chap7-2018597.5.1IIR数字滤波器的运算量化效应1．乘法运算误差对输出信号的影响设IIR数字滤波器的系统函数为其直接型I型结构如图所示(假设M=N)：aN图7.5-2直接I型运算量化噪声统计模型b0b1a1z

1z

1z

1z

1z

1z

1b2bM

1bMa2aN

1x[n]y[n]e0[n]e1[n]e2[n]eM

1[n]eM[n]eM+N[n]eM+1[n]eM+2[n]eM+N

1[n]对于舍入量化处理，其中每一个噪声（误差）ei[n]均值都为：0，方差为：

e2=q2/12。那么总的噪声是所有噪声ei[n]之和：me

=E[e[n]]=0

e总2=E[e2[n]]=(M+N+1)

e2=(M+N+1)

q2/122024/10/25dsp-chap7-2018607.5.1IIR数字滤波器的运算量化效应1．乘法运算误差对输出信号的影响aNb0b1a1z

1z

1z

1z

1z

1z

1b2bM

1bMa2aN

1x[n]y[n]那么总的噪声是所有噪声ei[n]之和：me

=E[e[n]]=0

e总2=E[e2[n]]=(M+N+1)q2/12e[n]从而乘法运算噪声在输出端产生的输出为：输出噪声ef[n]的均值和方差分别为：2024/10/25dsp-chap7-2018617.5.1IIR数字滤波器的运算量化效应例7.5-1采用定点制算法，尾数作舍入处理，分析系统的直接型、级联型

和并联型结构的算术运算误差所产生的输出噪声方差

2。

设系统函数为解：（1）直接型结构：系统的乘法运算噪声模型如图所示，e0[n]0.041.7z

1z

1

0.72e1[n]e2[n]x[n]2024/10/25dsp-chap7-2018627.5.1IIR数字滤波器的运算量化效应（2）级联型结构：设e0[n]0.040.9z

1z

10.8e1[n]e2[n]x[n]2024/10/25dsp-chap7-2018637.5.1IIR数字滤波器的运算量化效应（3）并联型结构：e0[n]0.360.9z

1z

10.8e1[n]e2[n]x[n]

0.32e3[n]比较该系统三种实现结构的运算噪声误差，可以看出直接型结构的输出误差最大，级联型次之，并联型最小。2024/10/25dsp-chap7-2018647.5.1IIR数字滤波器的运算量化效应2．加法运算误差对输入信号的要求（动态范围）在滤波器实现中必有加法器，而定点加法运算虽不出现舍入误差，但却可能出现溢出，为了避免溢出，希望信号的幅度不要过大；而A/D转换器为了得到高的数据精度，又要求信号幅度尽可能大，这是一对矛盾。设x[n]是滤波器的输入，yk[n]表示第k个节点上的输出，hk[n]表示从输入信号到第k个节点的单位脉冲响应，假设若x[n]是有界的，满足|x[n]|

xmax，则有为防止溢出，要求|yk[n]|<1，所以必须要求在所有节点处满足2024/10/25dsp-chap7-2018657.5.1IIR数字滤波器的运算量化效应2．加法运算误差对输入信号的要求（动态范围）（1）当输入信号是宽带信号，即近似广义平稳白噪声信号时，假设输入x[n]是均为分布的广义平稳白噪声信号，其值范围为(

xmax，xmax)。为防止溢出，要求

xmax=（1|a|），从而输入信号的方差为：而系统输出信号的方差（功率）为：（a）一阶系统：

单位脉冲响应：

h[n]=anu[n]，系统函数：az

1e[n]x[n]2024/10/25dsp-chap7-2018667.5.1IIR数字滤波器的运算量化效应2．加法运算误差对输入信号的要求（动态范围）（1）当输入信号是宽带信号，即近似广义平稳白噪声信号时，假设输入x[n]是均为分布的广义平稳白噪声信号，其值范围为(

xmax，xmax)。系统输出信号的方差（功率）为：当采用(b+1)位舍入时，由乘法运算量化噪声经系统处理后的输出方差为（a）一阶系统：

单位脉冲响应

h[n]=anu[n]，系统函数：az

1e[n]x[n]输出端信噪比2024/10/25dsp-chap7-2018677.5.1IIR数字滤波器的运算量化效应2．加法运算误差对输入信号的要求（动态范围）（1）假设输入x[n]是均为分布的广义平稳白噪声信号，

其值范围为(

xmax，xmax)。当采用(b+1)位舍入时，由乘法运算量化噪声经系统处理后的输出方差为为防止溢出，要求（b）二阶系统（因果系统）：

系统函数：假设一对复数极点：p1,2=re

j

2rcos

z

1e1[n]x[n]e2[n]r2z

12024/10/25dsp-chap7-2018687.5.1IIR数字滤波器的运算量化效应2．加法运算误差对输入信号的要求（动态范围）系统输出信号的方差（功率）为：（b）二阶系统（因果系统）：系统函数：输出端信噪比2rcos

z

1e1[n]x[n]e2[n]r2z

1从而输入信号的方差为：2024/10/25dsp-chap7-2018697.5.1IIR数字滤波器的运算量化效应2．加法运算误差对输入信号的要求（动态范围）（2）当输入信号是等幅正弦序列时，假设输入x[n]=Acos

0n

。（a）一阶系统：

单位脉冲响应：

h[n]=anu[n]，系统函数：滤波器的稳态输出仍是同频率的正弦序列y[n]=Bcos(n

0+

)。为使输出信号能量最大，要求B尽量大；但为防止溢出，B又必须小于1。为此，选择A以使B=1，这时y[n]=cos(n

0+

)，可以得到最小的噪声信号比。输出y[n]的方差为：

y2=E[y2[n]]=E[cos2(n

0+

)]=0.5az

1e[n]x[n]当采用(b+1)位舍入时，由乘法运算量化噪声经系统处理后的输出方差为2024/10/25dsp-chap7-2018707.5.1IIR数字滤波器的运算量化效应2．加法运算误差对输入信号的要求（动态范围）（2）当输入信号是等幅正弦序列时，假设输入x[n]=Acos

0n

。（a）一阶系统：

输出的运算舍入误差方差与输出信号方差之比为（b）二阶系统（因果系统）：

系统函数：输出的运算舍入误差方差与输出信号方差之比为2rcos

z

1e1[n]x[n]e2[n]r2z

12024/10/25dsp-chap7-2018717.5.2FIR数字滤波器的运算量化效应与IIR数字滤波器相比，FIR滤波器的直接型、和级联型结构少了反馈单元，其余和IIR滤波器的结构相同，因而前述的IIR滤波器对于乘法运算和加法运算的分析方法，可以直接用于FIR数字滤波器的分析，而相似的分析思想也可以用于FIR滤波器的其他实现结构。假设一个N

1阶FIR滤波器的单位脉冲响应为h[n]，0

n

N

1，则在其实现时，采用有限精度的舍入处理方法，得到直接型结构的运算噪声统计模型如图7.5-9所示：图7.5-9FIR滤波器直接型结构的运算噪声统计模型x[n]h[0]z

1=y[n]+ef[n]z

1z

1z

1h[1]h[2]h[N

3]h[N

2]h[N

1]e0[n]e1[n]e2[n]eN

3[n]eN

2[n]eN

1[n]2024/10/25dsp-chap7-2018727.5.2FIR数字滤波器的运算量化效应FIR滤波器的实际输出为输出噪声为输出噪声的方差为FIR滤波器直接型结构的运算噪声输出方差既与字长b有关，也与阶数N

1有关，且阶数越高(N

1越大)，字长越短(b越小)，量化噪声越大。FIR滤波器的输入信号的动态范围：假设输入信号x[n]是有界信号，满足|x[n]|

xmax，则要求

|y[n]|<1，对输入x[n]采用标度因子A，使得2024/10/25dsp-chap7-2018737.5.3IIR数字滤波器的极限环振荡效应对于无限精度运算的IIR数字滤波器，只要它的极点在单位圆内部，总是稳定的。实际上，当该IIR滤波器以有限精度的运算实现时，由于运算过程中的尾数处理和溢出，导致系统的输出永远不能归零，或停留在某一数值上，或在一个固定数区间振荡，这种现象称之为极限环振荡。1．低电平极限环振荡设一阶IIR数字滤波器的系统函数为在无限精度下，其输出为：y[n]=ay[n

1]+x[n]在定点有限精度下，其输出为（假设采用舍入处理）：2024/10/25dsp-chap7-201874如采用字长

b=3，滤波器系数a=0.110（二进制）当输入信号

x[n]=0.101

[n]无限精度实现时：

y[n]=0.625an=0.625

(0.75)n

0（n

）。有限精度实现时，输出见下表所示：7.5.3IIR数字滤波器的极限环振荡效应nx[n]00.1010.0000.0000.0000.101=(0.625)D10.0000.1010.0111100.1000.100=(0.500)D20.0000.1000.0110000.0110.011=(0.375)D30.0000.0110.0100100.0100.010=(0.250)D40.0000.0100.0011000.0100.010=(0.250)D2024/10/25dsp-chap7-201875因为7.5.3IIR数字滤波器的极限环振荡效应舍入处理就使系数a失效，或者说相当于使a换成了一个绝对值为1的等效系数a

，满足|a

|=1，且a

=a/|a|。这也使得系统函数等效为极点由|a|<1移到了单位圆上|a

|=1，系统失去稳定，因此出现振荡。进一步分析极限环的振荡幅度与字长的关系。由于舍入误差的绝对值在q/2以内：增加字长可以减弱极限环振荡。2024/10/25dsp-chap7-2018767.5.3IIR数字滤波器的极限环振荡效应2．大信号极限环振荡设二阶IIR数字滤波器的系统函数为在无限精度下，其输出为：y[n]=a1y[n

1]+a2y[n

2]+x[n]其极点可以是实数，也可以是共轭的复数，记为：在IIR滤波器的定点运算补码实现时，如果其加法运算出现溢出，则在输入信号比较大时也会引起系统振荡，称为大信号极限环振荡或溢出振荡。根据稳定系统要求，即|p1,2|<1，

故|a2|<1（p1

p2=

a2）；(1

p12)

(1

p22)>0，即1+p12p22>p12+p222024/10/25dsp-chap7-201877所以：(1+p1p2)2>(p1+p2)2。由于a1、a2都是实系数，故有(1

a2)2>a12，即1

a2>|a1|或者|a1|+a2<1此二阶滤波器要稳定，则其系数a1、a2必须满足以下不等式|a1|+a2<1及|a2|<1对于定点补码运算，由于2的补码加法器的作用，对真实总和作非线性变换，其特点是：只有当各输入之和x满足|x|

<1时，加法器才作真正的加法运算。假设输入信号为零，则其输出为：7.5.3IIR数字滤波器的极限环振荡效应图7.5-13补码加法器的输入输出特性Ox

1f[x]121

1y[n]=a1y[n

1]+a2y[n

2]经补码加法器后，其真实输出为：y[n]=f[a1y[n

1]+a2y[n

2]]2024/10/25dsp-chap7-2018787.5.3IIR数字滤波器的极限环振荡效应对于二阶IIR滤波器，只有分母系数满足|a1|+|a2|<1，即处于图7.5-12中正方形FBCD的内部阴影区域内，在采用补码加法器时，才不会产生溢出。图7.5-12二阶IIR滤波器的稳定区域Oa1A(

2,

1)a2B(

1,0)C(0,

1)D(1,0)E(2,

1)F(0,1)2024/10/25dsp-chap7-201879FFT是DFT的快速算法，它的基本运算是由复数乘法和复数加法构成的蝶形运算。因而与数字滤波器相似，FFT实现中也存在着由有限字长引起的量化误差。7.6FFT实现中的量化误差分析7.6.1定点FFT计算中量化效应分析以基2-DIT-FFT算法系统为例，讨论其运算舍入误差和系数量化误差：设长度为N=2

的序列x[n]的N点DFT为X[k]，0

k

N

1。若用FFT算法实现DFTX[k]的计算，则需要蝶形运算的级数为

=log2N级，其中第m级的迭代公式为Xm[i]=Xm

1[i]+Xm

1[j]WNrXm[j]=Xm

1[i]

Xm

1[j]WNr

1WNrXm

1[i]e[m,j]Xm

1[j]图中，e[m,j]复数乘法引入的舍入误差源，是复数，由于每个复数乘包括4个实数乘，因此e[m,j]中包含四个实数误差源。2024/10/25dsp-chap7-2018807.6FFT实现中的量化误差分析7.6.1定点FFT计算中量化效应分析[Xm

1[j]WNr]R={Re[Xm

1[j]]Re[WNr]+e1

Im[Xm

1[j]]Im[WNr]+e2}+j{Re[Xm

1[j]]Im[WNr]+e3+Im[Xm

1[j]]Re[WNr]+e4}=Xm

1[j]WNr+e[m,j]也即：e[m,j]=(e1+e2)+j(e3+e4)噪声方差为：E[|e[m,j]|2]=q2/3=

B2x[0]W8

0W8

0W8

0W8

0

1

1W8

0

1W8

0W8

0

1x[4]x[2]x