2024-2025学年高中数学第3章直线与方程3.3.3-3.3.4点到直线的距离两条平行直线间的距离课时分层作业含解析新人教A版必修2

PAGE课时分层作业(二十二)点到直线的距离两条平行直线间的距离(建议用时：40分钟)一、选择题1．到直线3x－4y－11＝0的距离为2的直线方程为()A．3x－4y－1＝0B．3x－4y－1＝0或3x－4y－21＝0C．3x－4y＋1＝0D．3x－4y－21＝0B[设所求的直线方程为3x－4y＋c＝0.由题意eq\f(|c－（－11）|,\r(32＋（－4）2))＝2，解得c＝－1或c＝－21，即所求直线方程为3x－4y－1＝0或3x－4y－21＝0.故选B.]2．过两直线x－y＋1＝0和x＋y－1＝0的交点，并与原点的距离等于1的直线共有()A．0条B．1条C．2条D．3条B[联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋1＝0，,x＋y－1＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1.))∴两直线交点为(0，1)，由交点到原点的距离1，故只有1条．]3．已知点P(1＋t，1＋3t)到直线l：y＝2x－1的距离为eq\f(\r(5),5)，则点P的坐标为()A．(0，－2) B．(2，4)C．(0，－2)或(2，4) D．(1，1)C[直线l：y＝2x－1可化为2x－y－1＝0，依题意得eq\f(|2（1＋t）－（1＋3t）－1|,\r(22＋（－1）2))＝eq\f(\r(5),5)，整理得|t|＝1，所以t＝1或－1.当t＝1时，点P的坐标为(2，4)；当t＝－1时，点P的坐标为(0，－2)，故选C.]4．点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为()A．1B．eq\r(2)C．eq\r(3)D．2B[法一：由点到直线的距离公式知点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离d＝eq\f(|k·0＋（－1）·（－1）＋k|,\r(k2＋1))＝eq\f(|k＋1|,\r(k2＋1))＝eq\r(\f(k2＋2k＋1,k2＋1))＝eq\r(1＋\f(2k,k2＋1)).当k＝0时，d＝1；当k≠0时，d＝eq\r(1＋\f(2k,k2＋1))＝eq\r(1＋\f(2,k＋\f(1,k)))，要使d最大，需k>0且k＋eq\f(1,k)最小，∴当k＝1时，dmax＝eq\r(2)，故选B.法二：记点A(0，－1)，直线y＝k(x＋1)恒过点B(－1，0)，当AB垂直于直线y＝k(x＋1)时，点A(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离最大，且最大值为|AB|＝eq\r(2)，故选B.]5．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1，l2间的距离是(A．eq\f(4\r(2),3)B．eq\f(8\r(2),3)C．4eq\r(2)D．2eq\r(2)B[∵l1∥l2，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a（a－2）－3＝0，,2a－6（a－2）≠0，))解得a＝－1.∴l1的方程为x－y＋6＝0，l2的方程为－3x＋3y－2＝0，即x－y＋eq\f(2,3)＝0，∴l1，l2间的距离是eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(6－\f(2,3))),\r(12＋（－1）2))＝eq\f(8\r(2),3).]二、填空题6．点P(a，0)到直线3x＋4y－6＝0的距离大于3，则实数a的取值范围为________．a>7或a<－3[依据题意，得eq\f(|3a－6|,\r(32＋42))>3，解得a>7或a<－3.]7．与两平行线l1：3x＋4y－10＝0和l2：3x＋4y－12＝0距离相等的直线l的方程为________．3x＋4y－11＝0[设P(x，y)是所求直线上任一点，则eq\f(|3x＋4y－10|,\r(32＋42))＝eq\f(|3x＋4y－12|,\r(32＋42))，化简得3x＋4y－11＝0，即为所求直线的方程．]8．P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上随意一点，则|PQ|的最小值为________．3[直线6x＋8y＋6＝0可变形为3x＋4y＋3＝0，由此可知两条直线平行，它们的距离d＝eq\f(|－12－3|,\r(32＋42))＝3，∴|PQ|min＝3.]三、解答题9．在△ABC中，A(3，2)，B(－1，5)，C点在直线3x－y＋3＝0上，若△ABC的面积为10，求点C的坐标．[解]设C(x，y)，由|AB|＝5，△ABC的面积为10，得点C到直线AB的距离为4.又线段AB所在直线的方程为3x＋4y－17＝0，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(|3x＋4y－17|,\r(32＋42))＝4，,3x－y＋3＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,3)，,y＝8.))∴点C的坐标为(－1，0)或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，8)).10．如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l2的方程．[解]设l2的方程为y＝－x＋b(b>1)，则A(1，0)，D(0，1)，B(b，0)，C(0，b)，∴|AD|＝eq\r(2)，|BC|＝eq\r(2)b.梯形的高h就是A点到直线l2的距离，故h＝eq\f(|1＋0－b|,\r(2))＝eq\f(|b－1|,\r(2))＝eq\f(b－1,\r(2))(b>1)，由梯形面积公式得eq\f(\r(2)＋\r(2)b,2)×eq\f(b－1,\r(2))＝4，∴b2＝9，b＝±3.但b>1，∴b＝3.从而得到直线l2的方程是x＋y－3＝0.1．若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值是()A．3eq\r(2)B．2eq\r(3)C．3eq\r(3)D．4eq\r(2)A[由题意知，M点的轨迹为平行于直线l1，l2且到l1，l2距离相等的直线l，其方程为x＋y－6＝0，∴M到原点的距离的最小值为d＝eq\f(6,\r(2))＝3eq\r(2).]2．点P(2，3)到直线：ax＋(a－1)y＋3＝0的距离d为最大时，d与a的值依次为()A．3，－3B．5，2C．5C[直线恒过点A(－3，3)，依据已知条件可知当直线ax＋(a－1)y＋3＝0与AP垂直时，距离最大，最大值为5，此时a＝1.故选C.]3．直线3x－4y－27＝0上到点P(2，1)距离最近的点的坐标是________．(5，－3)[由题意知过点P作直线3x－4y－27＝0的垂线，设垂足为M，则|MP|为最小，直线MP的方程为y－1＝－eq\f(4,3)(x－2)，解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－4y－27＝0，,y－1＝－\f(4,3)（x－2），))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝－3.))∴所求点的坐标为(5，－3).]4．已知点P(a，b)在线段AB上运动，其中A(1，0)，B(0，1).试求(a＋2)2＋(b＋2)2的取值范围．[解]由(a＋2)2＋(b＋2)2联想两点间距离公式，设Q(－2，－2)，又P(a，b)，则|PQ|＝eq\r(（a＋2）2＋（b＋2）2)，于是问题转化为|PQ|的最大、最小值．如图所示：当P与A或B重合时，|PQ|取得最大值：eq\r(（－2－1）2＋（－2－0）2)＝eq\