2025版高考数学一轮复习练案28理+27文第四章平面向量数系的扩充与复数的引入第二讲平面向量的基本定理及坐标表示练习含解析新人教版

其次讲平面对量的基本定理及坐标表示A组基础巩固一、选择题1．在如图所示的平面直角坐标系中，向量eq\o(AB,\s\up6(→))的坐标是(D)A．(2,2) B．(－2，－2)C．(1,1) D．(－1，－1)[解析]因为A(2,2)，B(1,1)，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，－1)．故选D.2．(2024·巴中模拟)向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(4,7)，则eq\o(BC,\s\up6(→))等于(B)A．(－2，－4) B．(2,4)C．(6,10) D．(－6，－10)[解析]eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,4)．故选B.3．设向量a＝(2,4)与向量b＝(x,6)共线，则实数x＝(B)A．2 B．3C．4 D．6[解析]因为a∥b，所以2×6－4x＝0，解得x＝3.故选B.4．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内全部向量的一组基底的是(D)A．a＝(1,2)，b＝(0,0)B．a＝(1，－2)，b＝(3，－6)C．a＝(3,2)，b＝(9,6)D．a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，\f(1,2)))，b＝(－3，－2)[解析]在平面内，依据向量基底的定义知，两个向量不共线即可作为基底．故选D.5．(2024·抚州模拟)若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则c＝(B)A．3a＋b B．3aC．－a＋3b D．a＋3b[解析]解法一：设c＝ma＋nb，则(4,2)＝(m－n，m＋n)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－n＝4，,m＋n＝2，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝－1，))所以c＝3a－b.解法二：代入验证法对于A,3a＋b＝3(1,1)＋(－1,1)＝(2,4)≠c，故A不正确；同理选项C、D也不正确；对于B,3a－b＝(4,2)＝6．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则eq\f(λ,μ)＝(B)A．2 B．4C.eq\f(1,2) D．eq\f(1,4)[解析]以向量a和b的交点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形的边长为1)，则A(1，－1)，B(6,2)，C(5，－1)．所以a＝eq\o(AO,\s\up6(→))＝(－1,1)，b＝eq\o(OB,\s\up6(→))＝(6,2)，c＝eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－1，－3)．∵c＝λa＋μb，∴(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－λ＋6μ＝－1，,λ＋2μ＝－3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－2，,μ＝－\f(1,2)，))∴eq\f(λ,μ)＝4.7．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且|eq\o(MP,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(MN,\s\up6(→))|，则P点的坐标为(D)A．(－8,1) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))或(－8,1) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7，－\f(5,2)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,2)))[解析]设P(x，y)，则eq\o(MP,\s\up6(→))＝(x－3，y＋2)，而eq\f(1,2)eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(－8,1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，\f(1,2)))，当eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MN,\s\up6(→))时，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3＝－4，,y＋2＝\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－\f(3,2).))所以P点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,2))).同理当eq\o(MP,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(MN,\s\up6(→))时，可解得Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7，－\f(5,2))).故选D.8．(2024·江西新余第一中学模拟)如图，已知△OAB，若点C满意eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝(D)A.eq\f(1,3) B．eq\f(2,3)C.eq\f(2,9) D．eq\f(9,2)[解析]∵eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))，∴λ＝eq\f(1,3)，μ＝eq\f(2,3)，∴eq\f(1,λ)＋eq\f(1,μ)＝3＋eq\f(3,2)＝eq\f(9,2).故选D.二、填空题9．已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为__(2,4)__．[解析]∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，∴eq\o(DC,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→)).设点D的坐标为(x，y)，则eq\o(DC,\s\up6(→))＝(4,2)－(x，y)＝(4－x,2－y)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－x＝2，,2－y＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4，))故点D的坐标为(2,4)．10．(2024·广西贺州联考)已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝(m，n)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(2,1)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(3,8)，则mn＝__7__.[解析]∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝(m＋2，n＋1)＝(3,8)，∴m＋2＝3，n＋1＝8，∴m＝1，n＝7，∴mn＝7.11．设向量a＝(3,2)，b＝(－1,3)，向量λa－2b与a＋b平行，则实数λ＝__－2__.[解析]∵a＝(3,2)，b＝(－1,3)，∴λa－2b＝(3λ＋2,2λ－6)，a＋b＝(2,5)，又λa－2b与a＋b平行，所以5(3λ＋2)＝2(2λ－6)整理得11λ＝－22，即λ＝－2.12．(2024·江西南昌模拟)已知向量a＝(m，n)，b＝(1，－2)，若|a|＝2eq\r(5)，a＝λb(λ<0)，则m－n＝__－6__.[解析]∵a＝(m，n)，b＝(1，－2)，∴由|a|＝2eq\r(5)，a＝λb(λ<0)，得m2＋n2＝20①，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<0，n>0，,－2m－n＝0))②，联立①②，解得m＝－2，n＝4.∴m－n＝－6.三、解答题13．已知向量a＝(1,0)，b＝(2,1)．求：(1)|a＋3b|；(2)当k为何实数时，ka－b与a＋3b平行，平行时它们是同向还是反向？[解析](1)因为a＝(1,0)，b＝(2,1)，所以a＋3b＝(7,3)，故|a＋3b|＝eq\r(72＋32)＝eq\r(58).(2)ka－b＝(k－2，－1)，a＋3b＝(7,3)，因为ka－b与a＋3b平行，所以3(k－2)＋7＝0，即k＝－eq\f(1,3).此时ka－b＝(k－2，－1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,3)，－1))，a＋3b＝(7,3)，则a＋3b＝－3(ka－b)，即此时向量a＋3b与ka－b方向相反．14．(2024·河北六校第三次联考)已知向量a＝(2＋sinx,1)，b＝(2，－2)，c＝(sinx－3,1)，d＝(1，k)，x∈R，k∈R.(1)若x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，且a∥(b＋c)，求x的值；(2)是否存在实数k，使得(a＋d)⊥(b＋c)？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．[解析](1)b＋c＝(sinx－1，－1)，因为a∥(b＋c)，所以－(2＋sinx)＝sinx－1，即sinx＝－eq\f(1,2).又x∈[－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)]，所以x＝－eq\f(π,6).(2)a＋d＝(3＋sinx,1＋k)，b＋c＝(sinx－1，－1)，若(a＋d)⊥(b＋c)，则(a＋d)·(b＋c)＝0，即(3＋sinx)(sinx－1)－(1＋k)＝0，所以k＝sin2x＋2sinx－4＝(sinx＋1)2－5，由sinx∈[－1,1]，可得k∈[－5，－1]，所以存在k∈[－5，－1]，使得(a＋d)⊥(b＋c)．B组实力提升1．(2024·吉林重点中学月考]如图，若eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，B是线段AC靠近点C的一个四等分点，则下列等式成立的是(C)A．c＝eq\f(2,3)b－eq\f(1,6)a B．c＝eq\f(4,3)b＋eq\f(1,3)aC．c＝eq\f(4,3)b－eq\f(1,3)a D．c＝eq\f(2,3)b＋eq\f(1,6)a[解析]本题考查向量的线性运算．c＝eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(4,3)eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)b－eq\f(1,3)a.2．(2024·湖北四校调研)如图所示，在△ABC中，点D在线段BC上，且BD＝3DC.若eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，则eq\f(λ,μ)＝(B)A.eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．2 D．eq\f(2,3)[解析]本题考查向量的线性运算.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以λ＝eq\f(1,4)，μ＝eq\f(3,4)，从而求得eq\f(λ,μ)＝eq\f(1,3)，故选B.3．(2024·甘肃西北师大附中模拟)已知向量a＝(2，－1)，b＝(6，x)，且a∥b，则|2a－bA．5 B．2eq\r(5)C.eq\r(5) D．4[解析]本题考查向量模的计算，向量平行的坐标运算，因为a∥b，所以2x＋6＝0，解得x＝－3，故b＝(6，－3)．所以2a－b＝(4，－2)－(6，－3)＝(－2,1)．所以|2a－b|＝eq\r(－22＋12)＝eq\r(5).4．(理)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，其中a＝(3,1)，b＝(1,3)．若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λa＋μb，且0≤λ≤μ≤1，则C点全部可能的位置区域用阴影表示正确的是(A)(文)(2024·宁波模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为(B)A．30° B．60°C．90° D．120°[解析](理)由题意知eq\o(OC,\s\up6(→))＝(3λ＋μ，λ＋3μ)，取特别值，λ＝0，μ＝0，知所求区域包含原点，取λ＝0，μ＝1，知所求区域包含(1,3)，从而选A.(文)由题意得(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，得a2＋b2－c2