2024-2025学年高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象课时素养评价含解析新人教A版必修4

PAGE正切函数的性质与图象(20分钟35分)1.若f(x)=tan(ωx)(ω>0)的最小正周期为1,则fQUOTE的值为 ()A.-QUOTEB.-QUOTEC.QUOTED.QUOTE【解析】选D.依题意知,T=QUOTE=1,ω=π,f(x)=tanQUOTE,所以fQUOTE=tanQUOTE=QUOTE.2.函数y=QUOTE的奇偶性是 ()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数,又是偶函数D.既不是奇函数,也不是偶函数【解析】选A.由1+cosx≠0,即cosx≠-1,得x≠2kπ+π,k∈Z.又tanx中,x≠kπ+QUOTE,k∈Z,所以函数y=QUOTE的定义域关于(0,0)对称.又f(-x)=QUOTE=-f(x),所以f(x)为奇函数.3.已知a=tanQUOTE,b=cosQUOTE,c=cosQUOTE,则 ()A.b>a>c B.a>b>cC.b>c>a D.a>c>b【解析】选D.a=tanQUOTE>1,b=cosQUOTE<0,1>c=cosQUOTE=cosQUOTE>0,所以a>c>b.4.若函数f(x)=-2tanx+m,x∈QUOTE有零点,则实数m的取值范围是.

【解析】函数f(x)=-2tanx+m有零点,即方程2tanx=m有解.因为x∈QUOTE,所以tanx∈[-1,QUOTE],所以m∈[-2,2QUOTE].答案:[-2,2QUOTE]5.已知函数f(x)=tan(x+φ),|φ|<QUOTE的图象的一个对称中心为QUOTE,则φ的值为.

【解析】由于QUOTE是函数的对称中心,故QUOTE+φ=QUOTEπ(k∈Z),φ=QUOTEπ-QUOTE(k∈Z),由于QUOTE<QUOTE,故取k=0,1时,φ=-QUOTE或φ=QUOTE符合题意.答案:QUOTE或-QUOTE6.已知-QUOTE≤x≤QUOTE,f(x)=tan2x+2tanx+2,求f(x)的最值及相应的x值.【解析】因为-QUOTE≤x≤QUOTE,所以-QUOTE≤tanx≤1,f(x)=tan2x+2tanx+2=(tanx+1)2+1,当tanx=-1即x=-QUOTE时,f(x)有最小值1,当tanx=1即x=QUOTE时,f(x)有最大值5.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列函数中,同时满意:①在QUOTE上是增函数,②为奇函数,③以π为最小正周期的函数是 ()A.y=tanx B.y=cosxC.y=tanQUOTE D.y=|sinx|【解析】选A.阅历证,选项B,D中所给函数都是偶函数,不符合;选项C中所给的函数的周期为2π.2.在区间QUOTE内,函数y=tanx与函数y=sinx的图象交点的个数为 ()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.在同一坐标系中画出正弦函数与正切函数的图象(如图所示),可以看到在区间QUOTE内二者有三个交点.3.若函数y=tanQUOTE在QUOTE上为减函数,且在QUOTE上的最大值为QUOTE,则ω的值可能为 ()A.-QUOTE B.QUOTE C.-1 D.1【解析】选A.由题意,函数y=tanQUOTE在QUOTE上为减函数,可得ω<0且-QUOTEω+QUOTE=QUOTE+kπ(k∈Z),解得ω=-QUOTE-3k(k∈Z),当k=0时,解得ω=-QUOTE.4.设a=sin(-1),b=cos(-1),c=tan(-1),则有 ()A.a<b<c B.b<a<cC.c<a<b D.a<c<b【解析】选C.因为-QUOTE<-1<-QUOTE,所以a=sin(-1)∈QUOTE,b=cos(-1)>0,c=tan(-1)<-1.因此,可得c<a<b.5.下列关于函数y=tanQUOTE的说法正确的是 ()A.图象关于点QUOTE成中心对称B.图象关于直线x=QUOTE成轴对称C.在区间QUOTE上单调递增D.在区间QUOTE上单调递增【解析】选D.由题意可知,对于A,当x=QUOTE时,函数y=tanQUOTE=-QUOTE,所以点QUOTE不是函数的对称中心,所以A不正确;对于B,依据正切函数的性质可知,函数y=tanQUOTE的图象没有对称轴,所以B不正确;对于C,令-QUOTE+kπ<x+QUOTE<QUOTE+kπ,k∈Z,解得-QUOTE+kπ<x<QUOTE+kπ,k∈Z,即函数的单调递增区间为QUOTE,k∈Z,当k=1时,函数的单调递增区间为QUOTE,所以C不正确;当k=0时,函数的单调递增区间为QUOTE,所以D正确.二、填空题(每小题5分,共15分)6.函数y=QUOTE的定义域是.

【解析】由已知,得QUOTE,即QUOTE,则x≠kπ+QUOTE,k∈Z.答案:QUOTE7.满意tanx<QUOTE且x∈QUOTE的x的集合为.

【解析】函数y=tanx,x∈QUOTE的图象为由图象可知:0<x<QUOTE或QUOTE<x<π时tanx<QUOTE.答案:QUOTE或QUOTE8.y=tanQUOTE满意下列哪些条件(填序号).

①在QUOTE上单调递增;②为奇函数;③以π为最小正周期;④定义域为QUOTE.【解析】当x∈QUOTE时,y=tanQUOTE在QUOTE上单调递增,正确;tanQUOTE=-tanQUOTE,故y=tanQUOTE为奇函数,因此①②正确;T=QUOTE=2π,所以③不正确;由QUOTE≠QUOTE+kπ,k∈Z,得{x|x≠π+2kπ,k∈Z},所以④不正确.答案:①②三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知函数f(x)=x2+2xtanθ-1,x∈[-1,QUOTE],其中θ∈QUOTE.(1)当θ=-QUOTE时,求函数f(x)的最大值与最小值.(2)求使y=f(x)在区间[-1,QUOTE]上是单调函数的θ的取值范围.【解析】(1)当θ=-QUOTE时,f(x)=x2-QUOTEx-1=QUOTE-QUOTE,x∈[-1,QUOTE].所以当x=QUOTE时,f(x)取得最小值,为-QUOTE;当x=-1时,f(x)取得最大值,为QUOTE.(2)函数f(x)=(x+tanθ)2-1-tan2θ的图象的对称轴为x=-tanθ.因为y=f(x)在区间[-1,QUOTE]上单调,所以-tanθ≤-1或-tanθ≥QUOTE,即tanθ≥1或tanθ≤-QUOTE.又θ∈QUOTE,所以θ的取值范围是QUOTE∪QUOTE.10.已知函数f(x)=3tanQUOTE.(1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间.(2)试比较fQUOTE与fQUOTE的大小.【解析】(1)因为f(x)=3tanQUOTE=-3tanQUOTE,所以函数的最小正周期T=4π.由kπ-QUOTE<QUOTE-QUOTE<kπ+QUOTE,k∈Z,得4kπ-QUOTE<x<4kπ+QUOTE,k∈Z,所以函数y=3tan(QUOTE-QUOTE)的单调增区间为QUOTE,k∈Z,所以函数y=-3tan(QUOTE-QUOTE)的单调减区间为QUOTE,k∈Z,即f(x)的单调减区间为QUOTE,k∈Z.(2)f(π)=3tanQUOTE=3tanQUOTE=-3tanQUOTE,fQUOTE=3tanQUOTE=3tanQUOTE=-3tanQUOTE.因为0<QUOTE<QUOTE<QUOTE,所以tanQUOTE<tanQUOTE,所以-3tanQUOTE>-3tanQUOTE,即f(π)>fQUOTE.1.函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|在区间QUOTE内的图象是 ()【解析】选D.当QUOTE<x<π时,tanx<sinx,y=2tanx;当x=π时y=0;当π<x<QUOTE时tanx>sinx,y=2sinx.依据正弦函数和正切函数图象知D正确.2.若函数f(x)=tan2x-atanxQUOTE的最小值为-6.求实数a的值.【解析】设t=tanx,因为|x|≤QUOTE,所以t∈[-1,1].则原函数化为:y=t2-at=QUOTE-QUOTE,对称轴t=QUOT