新高考2025届高考数学小题必练13导数及其应用

2024年高考“2024年高考“最终三十天”专题透析好教化云平台——教化因你我而变．依据导数几何意义求解函数切线问题．2．依据导数正负求解函数单调性．3．利用函数极值点求函数最值．4．通过导数求出单调性和极值，分析函数图象探讨求解恒成立问题．1．【2024全国Ⅰ卷文】曲线的一条切线的斜率为，则该切线的方程为．【答案】【解析】由题意可得，设切点为，则，得，∴，∴切点坐标为，∴切线方程为，即．【点睛】设出切点，依据导数几何意义求出切点坐标，由点斜式求出切线方程．2．【2024全国Ⅲ卷文】设函数，若，则________．【答案】【解析】，，解得．【点睛】求出，依据，求出．一、单选题．1．若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】明显，不是函数的零点，令，得，构造函数，，则，令，得到；令，得到且，即函数在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，所以函数有微小值，画出函数的图象，如图所示，由图像可知，当时，直线与的图象不行能有两个交点；当，只需，的图象与直线即有两个不同的交点，即函数恰有两个不同的零点，∴的取值范围为，故选B．2．函数在区间上的最大值是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】对于函数，．当时，；当时，．所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．所以，，故选C．3．已知函数，则其单调增区间是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，函数定义域为，求导，令，得或（舍去），所以单调增区间是，故选A．4．函数是上的单调函数，则的范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】函数是上的单调函数，即或(舍)在上恒成立，，解得，故选D．5．已知函数，若直线过点，且与曲线相切，则直线的斜率为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设切点坐标为，，，直线的斜率为，所以，直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程得，解得，因此，直线的斜率为，故选B．6．已知函数的图像与x轴切于点，则的极值为（）A．极大值为，微小值为0 B．极大值为0，微小值为C．微小值为，极大值为0 D．微小值为0，极大值为【答案】A【解析】由题意，函数，则，因为函数的图像与轴切于点，则，且，联立方程组，解得，，即，则，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以函数的极大值为，微小值为，故选A．7．已知偶函数对于随意的满意（其中是函数的导函数），则下列不等式中成立的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】试题分析：令，因，故由题设可得，即函数在上单调递增且是偶函数．又因，故，即，所以，故应选D．8．已知函数，，若恰有个零点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由恰有个零点，即方程恰有个实数根．即函数的图像与的图像有三个交点，如图．与函数的图像恒有一个交点，即函数与有两个交点．设与函数相切于点，由，所以，得，所以切点为，此时，切线方程为，将向下平移可得与恒有两个交点，所以，故选D．二、多选题．9．关于函数，下列说法正确的是（）A．是的极大值点B．函数有且只有个零点C．存在正整数，使得恒成立D．对随意两个正实数，，且，若，则【答案】BD【解析】对于A选项，函数的的定义域为，函数的导数，∴时，，函数单调递减；时，，函数单调递增，∴是的微小值点，故A错误；对于B选项，，∴，∴函数在上单调递减，又∵，，∴函数有且只有1个零点，故B正确；对于C选项，若，可得，令，则，令，则，∴在上，，函数单调递增；上，，函数单调递减，∴，∴，∴在上函数单调递减，函数无最小值，∴不存在正实数，使得成立，故C错误；对于D选项，由，，可知，，要证，即证，且，由函数在是单调递增函数，所以有，由于，所以，即证明，令，则，所以在是单调递减函数，所以，即成立，故成立，所以D正确，综上，故正确的是BD，故选BD．10．设函数，若方程有六个不等的实数根，则实数a可取的值可能是（）A． B． C．1 D．2【答案】BC【解析】当时，，则，由，得，即，此时为减函数；由，得，即，此时为增函数，即当时，取得微小值，作出的图象如图：由图象可知当时，有三个不同的x与对应，设，方程有六个不等的实数根，所以在内有两个不等的实根，设，即，，，则实数a可取的值可能是，1，故选BC．11．对于函数，下列说法正确的是（）A．在处取得极大值 B．有两个不同的零点C． D．若在上恒成立，则【答案】ACD【解析】由题意，函数，可得，令，即，解得，当时，，函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减，所以当时，函数取得极大值，极大值为，所以A正确；由当时，，因为在上单调递增，所以函数在上只有一个零点，当时，可得，所以函数在上没有零点，综上可得函数在只有一个零点，所以B不正确；由函数在上单调递减，可得，由于，，则，因为，所以，即，所以，所以C正确；由在上恒成立，即在上恒成立，设，则，令，即，解得，所以当时，，函数在上单调递增；当时，，函数在上单调递减，所以当时，函数取得最大值，最大值为，所以，所以D正确，故选ACD．12．已知函数，则下列说法正确的是（）A．当时，在单调递增B．当时，在处的切线为轴C．当时，在存在唯一微小值点，且D．对随意，在肯定存在零点【答案】AC【解析】对于A，当时，，，因为时，，，即，所以在上单调递增，故A正确；对于B，当时，，，则，，即切点为，切线斜率为，故切线方程为，故B错误；对于C，当时，，，，当时，，，则恒成立，即在上单调递增，又，，因为，所以，所以存在唯一，使得成立，所以在上单调递减，在上单调递增，即在存在唯一微小值点，由，可得，因为，所以，则，故C正确；对于选项D，，，令，得，，，则，令，得，则，令，得，则，此时函数单调递减，令，得，则，此时函数单调递增，所以时，取得微小值，微小值为，在的微小值中，最小，当时，单调递减，所以函数的最小值为，当时，即时，函数与无交点，即在不存在零点，故D错误，故选AC．三、填空题．13．已知三个函数，，．若，，都有成立，求实数b的取值范围________．【答案】【解析】由题知，，．在上单调递增；在上单调递减，易知在区间上的最大值为，，，都有成立，即在上的最大值大于等于在上的最大值，即，即，解得，故答案为．14．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】当时，，明显恒成立，此时；当时，等价于；当，等价于．构造函数，求导得，当时，，此时函数单调递减，且，只需，即可满意恒成立；当时，，此时函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以在上的最小值为，只需，即可满意恒成立．综上，实数需满意，即，故答案为．15．已知函数恰有3个不同的零点，则的取值范围是_______．【答案】【解析】，，由，得或，此时函数单调递增，由，得，此时函数单调递减，即当时，函数取得极大值