2024-2025学年新教材高中数学第六章平面向量初步6.1.4数乘向量课时素养评价含解析新人教B版必修第二册

PAGE数乘向量(15分钟30分)1.点M在AB上,且=QUOTE,则等于 ()A.-3B.QUOTEC.-QUOTE D.3【解析】选B.如图=QUOTE,所以=QUOTE.【补偿训练】(2024·扬州高一检测)已知点P在直线AB上,且=4,设=λ,则实数λ=________.

【解析】因为,所以P是四等分点,因此=QUOTE.答案:QUOTE2.式子:①+=0,②0·=0,③-=,其中不正确的个数为 ()A.1 B.2 C.3 D.0【解析】选C.因为+=0≠0,0·=0≠0,-=,所以都不正确.3.点C在线段AB上,且=QUOTE,=λ,则λ为 ()A.QUOTEB.QUOTEC.-QUOTED.-QUOTE【解析】选D.由题意知=QUOTE,即=-QUOTE,所以=QUOTE×QUOTE=-QUOTE,故λ=-QUOTE.4.已知|a|=4,|b|=8,若两向量同向,则向量a与向量b的关系为b=________a.

【解析】由于|a|=4,|b|=8,则|b|=2|a|,又两向量同向,故b=2a.答案:25.已知点C在线段AB的延长线上(在B点右侧),且AB∶AC=2∶3.①用表示;②用表示.【解析】如图a,因为点C在线段AB的延长线上,且AB∶AC=2∶3,所以AB=2BC,AC=3BC.①如图b,向量与方向相同,所以=2;②如图c,向量与方向相反,所以=-3.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.如图,网格纸上小正方形的边长为1,D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点,则()A.=5且=2.5B.=5且=2C.=6且=2D.=6且=3【解析】选B.因为DE是△ABC的中位线,所以BC=2DE,即=2.依据勾股定理可求得=QUOTE=5.2.已知A,B,C三点共线,且C为线段AB的靠近B的五等分点,则下列结论正确的个数为 ()①=5;②∶=4∶1;③=-QUOTE.A.0B.1C.2D.3【解析】选C.由题意知,=-5,=-QUOTE,∶=4∶1,所以②③正确.3.(2024·苏州高一检测)在△ABC中,M是BC的中点.若=a,=b,则=()A.QUOTE(a+b) B.QUOTE(a-b)C.QUOTEa+b D.a+QUOTEb【解析】选D.在△ABC中,M是BC的中点,又=a,=b,所以=+=+QUOTE=a+QUOTEb.4.若5=-3,且||=||,则四边形ABCD是 ()A.平行四边形B.菱形C.矩形 D.等腰梯形【解析】选D.由5=-3知,∥且||≠||,故此四边形为梯形,又因为||=||,所以梯形ABCD为等腰梯形.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.向量a=2e,b=-6e,则下列说法正确的是 ()A.a∥bB.向量a,b方向相反C.QUOTE=3QUOTED.b=-3a【解析】选ABD.因为b=-6e=-3QUOTE=-3a,所以a∥b,a,b方向相反,且3QUOTE=QUOTE.6.(2024·泰安高一检测)设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是()A.若=QUOTE+QUOTE,则点M是边BC的中点B.若=2-,则点M在边BC的延长线上C.若=--,则点M是△ABC的重心D.若=x+y,且x+y=QUOTE,则△MBC的面积是△ABC面积的QUOTE【解析】选CD.A中:=QUOTE+QUOTE⇒QUOTE-QUOTE=QUOTE-QUOTE,即:=-QUOTE,则点M不是边BC的中点.B中:=2-⇒-=-,所以=,则点M在边CB的延长线上,所以B错误.C中:设BC中点D,则=--=+=2,由重心性质可知C成立.D中:=x+y且x+y=QUOTE⇒2=2x+2y,2x+2y=1,设=2,所以=2x+2y,2x+2y=1,可知B,C,D三点共线,所以△MBC的面积是△ABC面积的QUOTE.【光速解题】选CD.本题中CD选项较难推断,所以重点放在AB选项的推断上,通过AB推断(见本题解析)易知两选项不正确,所以用解除法选CD.三、填空题(每小题5分,共10分)7.已知=-QUOTE,=λ,则λ的值为________.

【解析】因为=-QUOTE,所以P,P1,P2三点共线,且P2在线段PP1的反向延长线上,所以=QUOTE,所以λ=QUOTE.答案:QUOTE【补偿训练】已知点M是△ABC所在平面内的一点,若满意6--2=0,且S△ABC=λS△ABM,则实数λ的值是________.

【解析】记2=,因为-+2-2=0,所以=2,S△ABC=QUOTES△ABN.又因为S△ABM=QUOTES△ABN,所以S△ABC=3S△ABM,从而有λ=3.答案:38.已知平面上不共线的四点O,A,B,C,若-3+2=0,则=______

,=________.

【解析】因为-3+2=0,所以-=2(-),所以=2,所以=2.答案:22四、解答题(每小题10分,共20分)9.点E,F分别为四边形ABCD的对角线AC,BD的中点,设=a,=b,试用a,b表示.【解析】如图,取AB的中点P,连接EP,FP,在△ABC中,因为EP是△ABC的中位线,所以=QUOTE=QUOTEa,在△ABD中,因为FP是△ABD的中位线,所以=QUOTE=-QUOTEb,在△EFP中,=+=-QUOTEa-QUOTEb=-QUOTE(a+b).10.已知a,b是两个非零向量,推断下列各命题的真假,并说明理由.(1)QUOTEa的方向与a的方向相同,且QUOTEa的模是a的模的QUOTE倍.(2)-3a的方向与6a的方向相反,且-3a的模是6a的模的QUOTE.(3)-4a与4a是一对相反向量.(4)a-b与-(b-a)是一对相反向量.(5)若a,b不共线,则0·a与b不共线.【解析】(1)真命题.因为QUOTE>0,所以QUOTEa与a同向.因为|QUOTEa|=QUOTE|a|,所以QUOTEa的模是a的模的QUOTE倍.(2)真命题.因为-3<0,所以-3a与a方向相反且|-3a|=3|a|.又因为6>0,所以6a与a方向相同且|6a|=6|a|,所以-3a与6a方向相反且模是6a的模的QUOTE.(3)真命题.由数乘定义和相反向量定义可知.(4)假命题.因为a-b与b-a是相反向量,所以a-b与-(b-a)是相等向量.(5)假命题.0·a=0,所以0·a与b共线.1.庄重漂亮的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征,正五角星是一个特别美丽的几何图形,且与黄金分割有着亲密的联系.在如图所示的正五角星中,以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形,且QUOTE=QUOTE.下列关系中正确的是()A.-=QUOTEB.+=QUOTEC.-=QUOTED.+=QUOTE【解析】选A.在题干所示的正五角星中,以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形,且QUOTE=QUOTE.在A中,-=-==QUOTE,故A正确;在B中,+=+==QUOTE,故B错误;在C中,-=-=QUOTE,故C错误;在D中,+=+,QUOTE==-,若+=QUOTE,则=0,不合题意,故D错误.2.设V是平面对量的集合,映射f:V→V满意f(a)=QUOTE则对随意的a,b∈V,λ∈R.求证:f(|a|·a)=f(a).【证明】若a=0,则f(|a|·a)=f(a)=0;若a≠0,则f(|a|·a)=QUOTE·a=QUOTEa,且f(a)=QUOTEa,所以f(|a|·a)=f(a).综上可得对随意向量a,均有f(|a|·a)=f(a).【补偿训练】(多选题)瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理:“三角形的外心、垂心和重心都在同始终线上,而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半”这就是闻名的欧拉线定理.设△ABC中,点O,H,G分别是外心、垂心、重心,下列四个选项中结论错误的是 ()A.=2