2024-2025学年新教材高中数学第七章三角函数7.1.2蝗制及其与角度制的换算同步作业含解析新人教B版必修第三册

PAGE课时作业(二)弧度制及其与角度制的换算一、选择题1．－eq\f(25π,6)的角是()A．第一象限的角B．其次象限的角C．第三象限的角D．第四象限的角2．若2rad的圆心角所对的弧长为4cm，则这个圆心角所对的扇形面积是()A．4cm2B．2cm2C．4πcm2D．2πcm23．与30°角终边相同的角的集合是()A．{α|α＝k·360°＋eq\f(π,6)，k∈Z}B．{α|α＝2kπ＋30°，k∈Z}C．{α|α＝2k·360°＋30°，k∈Z}D．{α|α＝2kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z}4．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为()A．2B．4C．6D．8二、填空题5．(1)把67°30′化成弧度＝________.(2)把eq\f(3,5)π化成度＝________.6．把－570°写成2kπ＋α(k∈Z，α∈(0,2π))的形式是________．7．已知一扇形的周长为eq\f(π,3)＋4，半径r＝2，则扇形的圆心角为________．三、解答题8．已知角α的终边与－eq\f(25,3)π的终边关于x轴对称，求角eq\f(α,3)在(－π，π)内的值．9．已知一个扇形的周长是40，(1)若扇形的面积为100，求扇形的圆心角；(2)求扇形面积S的最大值．[尖子生题库]10．已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.课时作业(二)弧度制及其与角度制的换算1．解析：因为－eq\f(25π,6)＝－eq\f(π,6)－4π，所以－eq\f(25π,6)与－eq\f(π,6)的终边相同，为第四象限的角．答案：D2．解析：r＝eq\f(l,|α|)＝eq\f(4,2)＝2(cm)，S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×4×2＝4(cm2)．答案：A3．解析：∵30°＝30×eq\f(π,180)rad＝eq\f(π,6)rad，∴与30°终边相同的全部角可表示为α＝2kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z，故选D.答案：D4．解析：设扇形的半径为r，弧长为l，则由扇形面积公式可得2＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2＝eq\f(1,2)×4×r2，解得r＝1，l＝αr＝4，所以所求扇形的周长为2r＋l＝6.答案：C5．解析：(1)67°30′＝67.5°＝67.5×eq\f(π,180)＝eq\f(3,8)π.(2)eq\f(3,5)π＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,5)×\f(180,π)))°＝108°.答案：(1)eq\f(3,8)π(2)108°6．解析：－570°＝－(570×eq\f(π,180))rad＝－eq\f(19,6)πrad，－eq\f(19,6)π＝－4π＋eq\f(5,6)π.答案：－4π＋eq\f(5,6)π7．解析：设扇形的圆心角为α，则eq\f(π,3)＋4＝2r＋2α.又∵r＝2，∴α＝eq\f(π,6).答案：eq\f(π,6)8．解析：∵eq\f(25,3)π与－eq\f(25,3)π的终边关于x轴对称，且eq\f(25,3)π＝8π＋eq\f(π,3)，∴α与eq\f(π,3)的终边相同．∴α＝2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)，eq\f(α,3)＝eq\f(2kπ,3)＋eq\f(π,9)(k∈Z)．∵－π<eq\f(α,3)<π，∴－π<eq\f(2kπ,3)＋eq\f(π,9)<π.当k＝－1时，eq\f(α,3)＝－eq\f(5π,9)∈(－π，π)；当k＝0时，eq\f(α,3)＝eq\f(π,9)∈(－π，π)；当k＝1时，eq\f(α,3)＝eq\f(7π,9)∈(－π，π)．∴在(－π，π)内eq\f(α,3)的值有三个，它们分别是－eq\f(5π,9)，eq\f(π,9)和eq\f(7π,9).9．解析：(1)设扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α，则由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(l＋2r＝40，,\f(1,2)lr＝100，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(l＝20，,r＝10，))则α＝eq\f(l,r)＝2(rad)．故扇形的圆心角为2rad.(2)由l＋2r＝40得l＝40－2r，故S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)(40－2r)·r＝20r－r2＝－(r－10)2＋100，故r＝10时，扇形面积S取最大值100.10．解析：(1)由⊙O的半径r＝10＝AB，知△AOB是等边三角形，∴α＝∠AOB＝60°＝eq\f(π,3).(2)由(1)可知α＝eq\f(π,3)，r＝10，∴弧长l＝α·r＝eq\f(π,3)×10＝eq\f(10π,3)，∴S扇形＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×eq\f(10π,3)×10＝eq\f(50π,3)，而S△AOB＝eq\f(1,2)·AB·5e