2024-2025学年高中数学第一章立体几何初步1.5.2平行关系的性质学案含解析北师大版必修2

PAGE5.2平行关系的性质考纲定位重难突破1.理解直线与平面平行和平面与平面平行的性质定理的含义．2.能用文字语言、符号语言、图形语言精确地描述两个平行关系的性质定理．3.能运用两个平行关系的性质定理证明一些空间线面平行、面面平行关系的简洁问题.重点：直线与平面平行和平面与平面平行性质定理的应用．难点：利用直线与平面平行的性质定理时，“协助平面”的作法，以及利用面面平行性质定理时，“第三个平面”的选择．疑点：解题时易把异面直线当成同一平面内的直线而出错.授课提示：对应学生用书第16页[自主梳理]一、直线与平面平行的性质文字语言图形表示符号语言假如一条直线与一个平面平行，那么过该直线的随意一个平面与已知平面的交线与该直线平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α,aβ,α∩β＝b,))⇒a∥b二、平面与平面平行的性质文字语言图形表示符号语言假如两个平行平面同时与第三个平面相交那么它们的交线平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,γ∩α＝a,γ∩β＝b))⇒a∥b[双基自测]1．已知直线a，b和平面α，β，则下列结论正确的是()A．若a∥β，α∥β，则a∥αB．若α∥β，aα，则a∥βC．若α∥β，aα，bβ，则a∥bD．若a∥β，b∥α，α∥β，则a∥b解析：选项A中a可能在α内；选项C中a，b可能异面；选项D中，a，b也可能异面或相交；选项B中，α∥β，aα，则a与β无公共点，所以a∥β.答案：B2．两个平行平面与另两个平行平面相交所得四条直线的位置关系是()A．两两相互平行B．两两相交于同一点C．两两相交但不肯定交于同一点D．两两相互平行或交于同一点解析：依据面面平行的性质，知四条交线两两相互平行，故选A.答案：A3．如图，ABCD­A1B1C1D1是正方体，若过A、C、B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与解析：因为AC∥平面A1B1C1D1，由线面平行的性质定理知l∥AC.答案：平行4.如图，过正方体ABCD­A1B1C1D1的顶点B1，D1与棱AB的中点P的平面与底面ABCD所在平面的交线记为l，则l与B1D1的位置关系为________．解析：如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面B1D1P∩平面A1B1C1D＝B1D1，平面B1D1P∩平面ABCD＝l，所以l∥B1D1.答案：l∥B1D15.如图，异面直线AB，CD被三个平行平面α，β，γ所截．A，D∈α，B，C∈γ，AC，AB，DB，DC分别交β于点E，F，G，H，试推断四边形EFGH的形态，并说明理由．解析：四边形EFGH是平行四边形．理由如下：∵β∥γ，平面ABC∩β＝EF，平面ABC∩γ＝BC，∴EF∥BC.同理GH∥BC.∴EF∥HG.同理可证EH∥FG.∴四边形EFGH是平行四边形．授课提示：对应学生用书第17页探究一线面平行性质定理的应用[典例1]如图，已知ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.[证明]如图，连接AC交BD于点O，连接MO，∵ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点．又M是PC的中点，∴AP∥OM.依据直线和平面平行的判定定理，知PA∥平面BMD.∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，依据直线和平面平行的性质定理，得PA∥GH.利用线面平行的性质定理解题的步骤1.如图所示，在三棱锥A­BCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下面结论正确的是()A．E，F，G，H肯定是所在边的中点B．G，H肯定分别是CD，DA的中点C．EB∶AE＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GCD．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC解析：由BD∥平面EFGH，得BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC，故选D.答案：D探究二面面平行性质定理的应用[典例2]已知α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且SA＝8，SB＝9，CD＝34，求当S在α，β之间时SC的长．[解析]如图所示．∵AB与CD相交于S，∴AB，CD可确定平面γ，且α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.∵α∥β，∴AC∥BD，∴eq\f(SA,SB)＝eq\f(SC,SD)，∵eq\f(SA,SA＋SB)＝eq\f(SC,CD)，即eq\f(SC,34)＝eq\f(8,17)，解得SC＝16.利用面面平行的性质定理证明线线平行的基本步骤(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条；(2)判定这两个平面平行；(3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面内；(4)由定理得出结论．2．如图，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点(不在α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D.(1)求证：AC∥BD；(2)若PA＝4cm，AB＝5cm，PC＝3cm，求PD的长．解析：(1)证明：∵PB∩PD＝P，∴直线PB和PD确定一个平面γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.又∵α∥β，∴AC∥BD.(2)由(1)得AC∥BD，∴eq\f(PA,AB)＝eq\f(PC,CD).∴eq\f(4,5)＝eq\f(3,CD)，∴CD＝eq\f(15,4)(cm)．∴PD＝PC＋CD＝eq\f(27,4)(cm)．探究三平行关系的综合应用[典例3]如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.(1)求证：l∥BC；(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．[解析](1)证明：因为AD∥BC，AD平面PBC，BC平面PBC，所以AD∥平面PBC.又因为平面PBC∩平面PAD＝l，所以l∥AD∥BC.(2)平行．证明如下：设Q是CD的中点，连接NQ，MQ，因为M、N分别是AB、PC的中点，所以MQ∥AD，NQ∥PD.因为MQ平面PAD，NQ平面PAD，AD平面PAD，PD平面PAD，且MQ∩NQ＝Q，AD∩PD＝D，所以平面MNQ∥平面PAD.因为MN平面MNQ，所以MN∥平面PAD.证明面面平行，转化为证明线面平行，而要证线面平行，转化为证明线线平行．在立体几何中，通过线线、线面、面面间的位置关系相互转化，使问题顺当得到解决．娴熟驾驭这种转化的思想方法，就能找到解题的突破口．这是高考重点考查的证明平行的方法，应引起重视．3.如图所示，斜三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1(1)当eq\f(A1D1,D1C1)等于何值时，BC1∥平面AB1D1?(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求eq\f(AD,DC)的值．解析：(1)如图所示，连接A1B交AB1于点O，连接OD1.由棱柱的性质知，四边形A1ABB1为平行四边形，∴点O为A1B的中点．∵BC1平面A1BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝OD1，BC1∥平面AB1D1，∴BC1∥OD1.又在△A1BC1中，点O为A1B的中点，∴D1为A1C1的中点．故当eq\f(A1D1,D1C1)＝1时，BC1∥平面AB1D1.(2)∵平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，∴BC1∥D1O，同理可得AD1∥DC1，∴eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(A1O,OB)，eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(DC,AD)，∴eq\f(A1O,OB)＝eq\f(DC,AD)，又eq\f(A1O,OB)＝1，∴eq\f(DC,AD)＝1，即eq\f(AD,DC)＝1.函数思想在线面平行中的应用[典例]如图所示，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大．[解析]因为AB∥平面EFGH，平面EFGH与平面ABC和平面ABD分别交于FG、EH.所以AB∥FG，AB∥EH，所以FG∥EH.同理可得EF∥GH，所以截面EFGH是平行四边形．设AB＝a，CD＝b，∠FGH＝α(α即为异面直线AB和CD所成的角或其补角)．又设FG＝x，GH＝y，则由平面几何学问可得eq\f(x,a)＝eq\f(CG,BC)，eq\f(y,b)＝eq\f(BG,BC)，两式相加得eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，即y＝eq\f(b,a)(a－x)，所以S▱EFGH＝FG·GH·sinα＝x·eq\f(b,a)·(a－x)·sinα＝eq\f(bsinα,a)x(a－x)＝eq\f(b,a)sinαeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))2＋\f(a2,4)))(0<x<a)．所以当x＝eq\f(a,2)时，S▱EFGH最大＝eq\f(absinα,4)，即当截面EFGH的顶点E、F、G、H分别为棱AD、AC、BC、BD的中点时，截面面积最大．[感悟提高](1)对于立体几何中的有关最值问题，当利用几何性质不能断定时，常转化为考虑函数方法求解．(2)利用函数思想解立体几何问题时，首先应把立体几何问题转化为平面问题，再利用函数的有关学问解决相应问题．[随堂训练]对应学生用书第18页1．下列说法中正确的是()①一条直线假如和一个平面平行，它就和这个平面内的多数条直线平行；②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点；③过直线外一点有且仅有一个平面和已知直线平行；④假如直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内．A．①②③④ B．①②③C．②④ D．①②④解析：由线面平行的性质定理知①④正确；由直线与平面平行的定义知②正确；经过直线外一点可作一条直线与已知直线平行，而经过这条直线可作多数个平面，故③错．选D.答案：D2．与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是()A．都平行 B．都相交C．在两个平面内 D．至少和其中一个平行解析：它可以在一个平面内与另一个平面平行，也可以和两个平面都平行．答案：D3.如图是长方体被一个平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形态为________．解析：由于原来的几何体是长方体，所以平面ABFE∥平面DCGH，从而可得EF∥HG，同理可得HE∥GF，故EFGH是平行四边形．答案：平行四边形4.如图，在四棱锥O­ABCD