通信与信息基础教学部-1

通信与信息基础教学部1信号与系统

(Signals&systems)第一章通信与信息基础教学部2教师:庄陵办公室:逸夫楼509电话:62468658通信与信息基础教学部3课程介绍信号与系统问题无处不在通信类、电类、控制类专业基础课是学习数字信号处理、系统论等课程的基础需要一定的高等数学和电路分析知识考研课程主要内容:信号与线性系统的基本理论和分析方法通信与信息基础教学部4学习方法与考核标准学习方法多想、多问课前预习、认真听讲、课后复习独立自觉地完成老师布置的作业多联系对比(时域－变换域；连续－离散)考核标准统一出题、统一考试、统一阅卷、统一评分平时30％＋期末70％平时成绩:作业、点名、平时表现通信与信息基础教学部5参考书目沈元隆周井泉.《信号与系统》.人民邮电出版社刘永健.《信号与线性系统》.人民邮电出版社管致中夏恭恪《信号与线性系统》.高等教育出版社出版郑君里编《信号与系统》高等教育出版社吴大正主编《信号与线性系统》.高等教育出版社出版朱宗霖《信号与线性系统分析》通信与信息基础教学部6信号与系统课程的主线通信与信息基础教学部7第一章信号与系统概论1.1绪言1.2信号的描述及分类1.3典型信号1.4信号的基本运算1.5信号的分解1.6系统的描述及其分类1.7系统的时域模拟1.8信号与系统分析方法及应用概述通信与信息基础教学部8绪言消息（Message）在通信技术中,一般将语言、文字、图像或数据等统称为消息信息（Information）如果消息所包含的内容是人们所需要的,我们就说它包含了某种信息。信号（Signal）光信号电信号声信号是随时间变化的某种物理量。信号是消息的表现形式,消息则是信号的具体内容。信号的基本特性时域特性信号可以表示为时间t的函数,信号在某一时刻强度的大小、持续时间的长短、以及变化的快慢都可以从波形上反映出来频域特性信号还可以表示为不同频率的信号分量相叠加的形式,不同频率处分量的大小及其变化都可以从信号的频谱上表现出来通信与信息基础教学部9系统（System）广义地说,由一些“单元”按一定规则相互连接而成的具有一定功能的有机整体。单元与系统之间没有明显的界限,是一个相对的概念；各单元之间的连接是有一定规则的,连接方式不同,所组成的系统也不同；系统的功能是指在给定激励（输入）下,达到怎样的响应（输出）。通信与信息基础教学部10通信系统模型信源信源变换器发信变换器信道收信变换器信宿变换器信宿图1-1通信系统模型通信与信息基础教学部11系统的框图模型模型（Model）模型是实际系统的近似化、理想化,它既能在一定条件下表征由本质性因素决定的系统的主要特性,又能使分析不过于复杂。系统分析的过程是首先对实际的系统建立数学模型,在数学模型的基础上,再根据系统的初始状态和输入激励,运用数学方法对其解答,最后又回到实际系统,对结果作出物理解释,并赋予物理意义。系统分析的着眼点是分析系统输入和输出的关系,而不涉及系统内部情况,因此在分析过程中,也可以用一个方框图表示系统。Sx(t)y(t)S[q(0)]x(t)y(t)通信与信息基础教学部121.2信号的描述及分类确定信号(Determinatesignal)是时间t的确定函数。对于指定的某一时刻,信号有确定的值。如正弦信号、周期脉冲信号等随机信号(Randomsignal)不是时间t的确定函数。常表现出一定的统计规律。如噪音信号一般的通信信号都是随机信号通信与信息基础教学部13连续信号(Continuoussignal)除不连续点外,任何其它时刻都有定义。离散信号(Discretesignal)仅在离散时刻有定义。f(t)t0通信与信息基础教学部14时限信号定义域有时间限制。无时限信号定义域无时间限制。通信与信息基础教学部15周期信号(Periodicsignal)每隔一定时间T（称为周期）重复变化，周而复始且无始无终的信号。f(t)＝f(t+nT)其中:n为整数；满足此关系式的最小T值称为信号的周期。非周期信号(Aperiodicsignal)无周期性f(t+T)f(t)也可以看作为一个周期T趋于无穷大时的周期信号通信与信息基础教学部16周期分别为T1和T2的两个或多个周期信号相加，可能是周期信号，也可能不是周期信号，这主要取决于这两个周期T1和T2之间是否有最小公倍数。若存在最小公倍数，则一定满足T1/T2=有理数。例：下列信号是否周期信号？若是，计算周期。通信与信息基础教学部17信号f（t）的总能量和平均功率能量信号(Energysignal):E为有限值，P＝0功率信号(Powersignal):P为有限值，E∞非功非能信号(Non-power&non-energysignal)E∞；P∞通信与信息基础教学部18一个信号,不可能既是能量信号又是功率信号。直流信号与周期信号都是功率信号。非周期信号可能是能量信号,也可能是功率信号,也可能是非功非能信号。属于能量信号的非周期信号称为脉冲信号（它在有限时间范围内有一定的数值；而当t→∞时,数值为0）。属于功率信号的非周期信号是|t|→∞时仍然为有限值的一类信号。通信与信息基础教学部19例：判断下列信号是否为能量信号或功率信号？解:通信与信息基础教学部20t0t0t0t0通信与信息基础教学部211.3典型信号复指数信号（Complexexponentialsignal）Aest其中s=+j,称s为复频率Aest＝Aetejt=Aetcost+Ajetsints=0时,Aest＝A为直流信号；＝0时,Aest＝Aet为单调增长或衰减的实指数信号；＝0时,Aest＝Aejt=Acost+Ajsint由于复指数信号能概括多种情况,所以可利用它来描述多种基本信号,如直流信号、指数信号、等幅、增幅或减幅正弦或余弦信号。因此,它是信号与系统分析中经常遇到的重要信号。通信与信息基础教学部220x1

-

2

-2

-3

3

抽样信号（Samplingfunction）通信与信息基础教学部23单位阶跃信号ε(t)（Unitstepsignal）有些教材用U(t)表示t01t01

1.3.2奇异函数通信与信息基础教学部24单位冲激信号

(t)（Unitimpulsesignal）

(t)t0(1)工程定义:且A(t)t0(A)图中标出的（1）表示冲击信号的强度是1,即对这个信号在全时域上的积分是1,如果标出的是（A）,则表示这个冲击函数的强度是A,即在全时域上的积分为A通信与信息基础教学部25由以上定义，可得:

(t-t0)t0(1)t0通信与信息基础教学部26物理意义

δ(t)对集中于一瞬间或一点出现的物理量是最好的描述。uc1VK(t=0)C=1Fi(t)uc(0-)=0

i(t)=

(t)

通信与信息基础教学部27冲激函数广义函数（或:分配函数）这类函数的数学定义不是像普通函数那样，由对应于自变量的变化值所取的函数值来定义，而是由它对另一个函数（常称“测试函数”）的作用效果来定义的。也就是说，不是用它“是”什么来定义，而是用它能“做”什么来定义。证明两个广义函数相等的方法:如果两个函数作用于同一个函数上，如果所得到的结果完全相同，则表示这两个函数的作用效果是相同的，即:这两个函数是相等的。通信与信息基础教学部28单位冲激函数筛选性质/取样性质/抽样性质数学定义:作用于任意在0时刻连续的普通函数所产生的效果是对赋予下面的值:通信与信息基础教学部29冲激函数的性质抽样性质如果φ(t)在t=0处连续，则有:如果φ(t)在t=t0处连续，则有:通信与信息基础教学部30冲激函数的性质加权特性如果f(t)在t0处连续，则有:特殊证明通信与信息基础教学部31冲激函数的性质例：求以下各式的值

通信与信息基础教学部32

是偶函数冲激函数的性质通信与信息基础教学部33

的展缩性冲激函数的性质（a和t0为常数,且a≠0。）通信与信息基础教学部34冲激函数的性质(1)f(t)t0-1121(1)(-3)

例:如图所示信号，求f(t)。

与的关系f(t)t0-11221-1通信与信息基础教学部35冲激函数的性质例：求以下各式的值

通信与信息基础教学部36冲激函数的性质积分范围如果不包含t0

则积分结果为0。如果积分范围包含t0

则积分结果为f(t0)通信与信息基础教学部37冲激函数的性质通信与信息基础教学部38单位二次冲激函数（冲激偶）

(t)

是奇函数

(t)t0通信与信息基础教学部39例:求以下各式的值通信与信息基础教学部40离散时间信号通信与信息基础教学部41

数值序列如：k=0的位置,即f(0)=-2

函数解析式如：

图形如离散时间信号常用的三种表示方法通信与信息基础教学部42又如:通信与信息基础教学部43典型离散信号1.单位序列δ(k)（单位函数信号/单位样值序列）通信与信息基础教学部442.单位阶跃序列ε(k)通信与信息基础教学部45

常用序列之间的关系解:例：例：通信与信息基础教学部464.斜变序列kε(k)解:例：解:例：通信与信息基础教学部476.正弦序列通信与信息基础教学部48通信与信息基础教学部49通信与信息基础教学部507、复指数序列为实指数序列通信与信息基础教学部51通信与信息基础教学部521.4信号的基本运算1.4.1信号的相加与相乘1.4.2信号的反折、平移与压扩1.4.3连续信号的导数与积分1.4.4离散信号的差分和累加通信与信息基础教学部531.4.1信号的相加与相乘信号的相加与相乘两个信号在同一瞬间的值相加（相乘）。+×通信与信息基础教学部54

序列相加

序列相乘两序列同序号的数值逐项对应相加两序列同序号的数值逐项对应相乘试求和例：已知序列，解:通信与信息基础教学部551.4.2信号的反折、平移与压扩信号的平移f(t)

f(t+t0)将f(t)沿横轴向左移t0单位（t0>0）f(t)

f(t-t0)将f(t)沿横轴向右移t0单位（t0>0）-111t0f

(t)-21t0f

(t＋1)-121t0f

(t-1)1通信与信息基础教学部56信号的折叠f(t)

f(-t)将f(t)以纵轴为对称轴对折f[-(t+t0)]

f(-t-t0)将f(-t)的波形向左移动t0单位（t0>0）f[-(t-t0)]

f(-t+t0)将f(-t)的波形向右移动t0单位（t0>0）-111t0f

(t)-111t0f

(-t)通信与信息基础教学部57信号的尺度变换（压扩）f(t)f(at):将横坐标变为原来的1/a倍a是常数,称为尺度变换系数;a>1时,将横坐标进行压缩;a<1时,将横坐标进行扩展;-111t0f

(t)-0.50.51t0f

(2t)-221t0f

(0.5t)通信与信息基础教学部58

序列折叠与位移序列f(k)逐项依次前移/左移m位序列f(k)逐项依次后移/右移m位序列f(k)相对于纵轴折叠通信与信息基础教学部59通信与信息基础教学部60又如:已知f(k)如图所示，试画出f(-k+1)的波形。通信与信息基础教学部61信号的综合运算综合运算例:已知f(t)如图所示，试画出f(-2t-2)、f(-0.5t＋2)的波形。-111t0f

(t)求f(-2t-2)有如下几种可能的步骤:f(t)f(t-2)f(2t-2)f(-2t-2)f(t)f(t-2)f(-t-2)f(-2t-2)f(t)f(-t)f(-t-2)f(-2t-2)f(t)f(-t)f(-2t)f(-2t-2)f(t)f(2t)f(-2t)f(-2t-2)f(t)f(2t)f(2t-2)f(-2t-2)通信与信息基础教学部62信号的综合运算131t0f

(t-2)21.51t0f

(2t-2)0.51-1.51t0f

(-2t-2)-0.5-1

-111t0f

(t)f(t)

f(t-2)f(2t-2)f(-2t-2)通信与信息基础教学部63信号的综合运算求f(-0.5t+2)有如下几种可能的步骤:f(t)f(t+2)f(0.5t+2)f(-0.5t+2)f(t)f(t+2)f(-t+2)f(-0.5t+2)f(t)f(-t)f(-t+2)f(-0.5t+2)f(t)f(-t)f(-0.5t)f(-0.5t+2)f(t)f(0.5t)f(-0.5t)f(-0.5t+2)f(t)f(0.5t)f(0.5t+2)f(-0.5t+2)通信与信息基础教学部64信号的综合运算

-3-11t0f

(t+2)-2

311t0f

(-t+2)2461t0f

(-0.5t+2)2-111t0f

(t)

f(t)

f(t+2)f(-t+2)f(-0.5t+2)通信与信息基础教学部65信号的综合运算例:已知f(1-2t)的波形如图所示，试画出f(t)的波形。11t0f

(1-2t)0.521t0f

(1-t)1-21t0f

(1+t)-1-1f

(t)1t01

f(1-2t)

f(1-t)f(1+t)f(t)通信与信息基础教学部66信号的综合运算例:已知f(t)如图所示，试画出f(-0.5t＋2)的波形。-111t0f

(t)abcd461t0f

(-0.5t+2)2abcdf(t)f(-0.5t+2)

a

t=-1t=6bt=0t=4

c,dt=1t=2

通信与信息基础教学部67连续信号的微分与积分信号的微分与积分微分：或记作积分：或记作通信与信息基础教学部68t0f(t)11-12-12t0f(1)(t)-112(1)(-3)(1)(1)t0f(-1)(t)1-12321通信与信息基础教学部69

离散序列差分序列f(k)的一阶前向差分序列f(k)的一阶后向差分序列f(k)的二阶前向差分序列f(k)的二阶后向差分通信与信息基础教学部70

离散序列求和（累加）通信与信息基础教学部71

f(t)为偶谐函数:f(t)＝f(t

T/2)原波形移动T/2与原波形重合,这种函数称为偶谐函数。偶谐函数的付氏级数中无奇次谐波项,即a２k+1=0,b２k+1=0,只含有偶次谐波分量。

f(t)为奇谐函数:f(t)＝-f(t

T/2)原波形移动T/2后再上下翻转与原波形重合,这种函数称为奇谐函数。奇谐函数的付氏级数中无偶次谐波项,即a２k=0,b２k=0,只含有奇次谐波分量。通信与信息基础教学部720123k0t()tftDtD2tDktD+)1(k()0f()tDf()tDkf()()tD+1kfLL信号的时域分解---用

(t)函数序列表示任意信号第0个脉冲:第1个脉冲:……第k个脉冲:步长Δτ:矩形脉冲宽度f(kΔτ):矩形脉冲高度用矩形脉冲序列近似表示：通信与信息基础教学部73无穷小，取极限:

d

,k

,无穷项求和,区间无穷小,转化为求积分。取极限对于因果信号,t<0时f(t)=0,则通信与信息基础教学部74上式说明了任意波形信号可以表示为具有强度为的冲激信号的积分,也就是说,任意波形的信号可以分解为连续的加权冲激信号之和。通信与信息基础教学部75信号的时域分解通信与信息基础教学部76上式说明了任意波形信号可以表示为具有强度为的冲激信号的积分,也就是说,任意波形的信号可以分解为连续的加权冲激信号之和。通信与信息基础教学部771.6系统的描述及分类S1S2S3通信与信息基础教学部78如图所示的电路中，电压源所提供的电压是这个系统的激励，而电路中的电流作为这个系统的响应。这个系统数学模型为:系统的数学模型V=x(t)R通信与信息基础教学部79系统的分类连续时间系统（Continuoussystem）输入和输出均为连续时间信号。实例:模拟通信系统数学模型:微分方程离散时间系统（Discretesystem）输入和输出均为离散时间信号。实例:数字通信系统数学模型:差分方程通信与信息基础教学部80系统的分类时不变系统（Timeinvariantsystem）只要初始状态不变,系统的输出波形仅取决于输入波形而与输入的起始作用时刻无关,这种特性称为时不变性。具有时不变性的系统为时不变系统。x(t)y(t);x(t-td)y(t-td)时变系统（Timevaryingsystem）不具有时不变特性的系统称为时变系统。通信与信息基础教学部81系统的时不变性通信与信息基础教学部82例：试判别下列系统是否为时不变系统？y(t)=tx(t)y(t)=x(t)y(t)=x(t)＋2y(t)=x(t-t0)y(t)=x(2t)（时变系统）（时不变系统）（时不变系统）（时不变系统）（时变系统）通信与信息基础教学部83系统的分类线性系统（Linearsystem）齐次性（Homogeneity）x(t)y(t);kx(t)ky(t)叠加性（Superpositionproperty）x1(t)y1(t),x2(t)y2(t);x1(t)+x2(t)y1(t)+y2(t)线性x1(t)y1(t),x2(t)y2(t);k1x1(t)+k2x2(t)k1y1(t)+k2y2(t)信号与系统中的线性系统一般必须具有:分解性y(t)=yzs(t)+yzi(t)零输入线性仅有初始状态而激励为零的响应，称为零输入响应yzi(t)零状态线性仅有激励而初始状态为零的响应，称为零状态响应yzs(t)非线性系统（Nonlinearsystem）通信与信息基础教学部84系统的分类通信与信息基础教学部85通信与信息基础教学部86通信与信息基础教学部87例:判断如下系统是否为线性系统y(t)=x(t)＋2y(t)=x(t-t0)y(t)=|x(t)|y(t)=q(0)+x(t)y(t)=q2(0)+x(t)y(t)=q(0)+x2(t)y(t)=q(0)x(t)（非线性）（线性）（非线性）（线性）（非线性）（非线性）（非线性）通信与信息基础教学部88例：某线性系统，输入x(t)=ε(t)，初始状态q1(0)=1，q2(0)=2时，输出y1(t)=6e-2t-5e-3t。初始状态不变，x(t)=3ε(t)时，y2(t)=8e-2t-7e-3t。（1）求x(t)=0，q1(0)=1，q2(0)=2时，y(t)＝？（2）求x(t)=2ε(t)，q1(0)=q2(0)=0时，y(t)＝？解:设x(t)=ε(t)，q1(0)=q2(0)=0时的响应为yzs(t);x(t)=0，q1(0)=1，q2(0)=2时的响应为yzi(t);依题意知

yzs(t)＋yzi(t)＝y1(t)=6e-2t-5e-3t3yzs(t)＋yzi(t)＝y2(t)=8e-2t-7e-3t

（1）x(t)=0,q1(0)=1,q2(0)=2时

y

(t)＝yzi(t)＝5e-2t-4e-3t（2）x(t)=2ε(t),q1(0)=q2(0)=0时

y

(t)＝2yzs(t)＝2e-2t-2e-3t通信与信息基础教学部89例题通信与信息基础教学部90例:试判断下列系统的因果性。y(t)=3x(t)+x(t-2)y(t)=x(t-1)+x(t+1)因果系统（Causalsystem）响应不会领先于激励的一类系统。即:它在任何时刻的响应只取决于激励的现在与过去值，而不取决于激励的将来值。激励是产生响应的原因，响应是激励引起的结果。如果t<t0时系统的激励信号为0，则输出信号在t<t0也等于0。实际物理系统均是因果系统。非因果系统（Non-causalsystem）响应能领先于激励的系统，它的输出取决于输入的将来值。非因果系统是一种非真实系统，是理想系统。（因果系统）（非因果系统）通信与信息基础教学部91稳定系统不稳定系统例:判断如下系统是否为因果稳定系统y(t)=ex(t)y(t)=sintx(t)y(t)=x2(t)y(t)=x(t-1)+x(1-t)通信与信息基础教学部921.7系统的时域模拟1.7.1基本运算器1.7.2连续系统的模拟图1.7.3离散系统的模拟图系统的模拟不是对系统的仿制，而是数学意义上的等即:使模拟系统与实际系统具有相同的数学表达式。模拟系统的框图称为系统的模拟图，它是若干基本运算器的框图组合，可以由给定的系统方程直接绘出。通信与信息基础教学部93连续时间系统基本运算器

x1(t)x2(t)y(t)=x1(t)+x2(t)ax

(t)y(t)=ax(t)加法器标量乘法器积分器

x

(t)

y(t0)

x

(t)通信与信息基础教学部94离散时间系统基本运算器

x1(k)x2(k)y(k)=x1(k)+x2(k)加法器ax

(k)y(k)=ax(k)标量乘法器Dx

(k)y(k)=x(k-1)延时器Dx

(k)y(k)=x(k-1)+y(0)Σy(0)通信与信息基础教学部95连续系统的模拟一阶系统:y(t)+a0y(t)=x(t)y(t)=x(t)-a0y(t)

x

(t)y(t)

-a0通信与信息基础教学部96二阶系统:y(t)+a1y(t)+a0y(t)=x(t)y(t)=x(t)-a0y(t)-a1y(t)

x

(t)y(t)

-a1

-a0通信与信息基础教学部97构成系统模拟图的规则把微分方程输出函数的最高导数项保留在等式左边,把其它各项移到等式右边；把