浙江省宁波市余姚实验学校2023-2024学年上学期九年级期中数学试卷

2023-2024学年浙江省宁波市余姚实验学校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，每小题仅有一个正确选项，共30分）1．（3分）下列事件中，是必然事件的是A．同位角相等 B．打开电视，正在播出《新闻联播》 C．经过红绿灯路口，遇到绿灯 D．长度为4，6，9的三条线段可以围成一个三角形2．（3分）已知点是线段的黄金分割点，且，，则为A． B． C． D．0.6183．（3分）下列和之间的函数表达式中，是二次函数的是A． B． C． D．4．（3分）如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆分别交、于点、点，则弧的度数为A． B． C． D．5．（3分）下列说法中，正确的是A．长度相等的弧是等弧 B．平分弦的直径垂直于弦 C．三角形外心到三边距离相等 D．不在同一条直线上的三个点确定一个圆6．（3分）如图，在中，点在边上，若，，，则线段的长为A． B． C． D．7．（3分）一只不透明袋子中装有1个绿球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验，将口袋中的球拌匀，从中随机摸出个球，记下颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，获得数据如下：摸球的次数200300400100016002000摸到黑球的频数14218626066810641333摸到黑球的频率0.71000.62000.65000.66800.66500.6665该学习小组发现，摸到黑球的频率在一个常数附近摆动，由此估计这个口袋中黑球有个．A．4 B．3 C．2 D．18．（3分）如图，两个等圆和相交于、两点，且经过的圆心，则的度数为A． B． C． D．9．（3分）如图，抛物线交轴于点，，将该抛物线向右平移3个单位后，与原抛物线交于点，则点的纵坐标为A． B． C．3 D．10．（3分）在面积为144的正方形中放两个正方形和正方形（如图），重合的小正方形的面积为4，若点、、在同一直线，则阴影部分面积为A．36 B．40 C．44 D．48二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，共24分）11．（4分）某校准备从，两名女生和，两名男生中任选2人代表学校参加沈阳市初中生辩论赛，则所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率是．12．（4分）点到上各点的最大距离为5，最小距离为1，则的半径为．13．（4分）已知是二次函数，则．14．（4分）如图，在中，为上一点，连结并延长交延长线于点．如果，那么．15．（4分）如图，一张扇形纸片，，，将这张扇形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，则图中未重叠部分（即阴影部分）的面积为．16．（4分）如图，抛物线与轴交于点和点两点，与轴交于点，点为抛物线上第三象限内一动点，当时，点的坐标为．三、解答题（第17-18题各6分，第19-22题各8分，第23题10分，第24题12分）17．（6分）“青年北仑”建设是北仑建设的一大亮点，现将质地大小完全相同，上面标有“青”“年”“北”“仑”字样的四个彩球放入同一个袋子．（1）小慧在袋子中随机摸出一个彩球，记下字样后放回，搅匀，再摸出一个彩球，请用列表或画树状图的方法，写出所有的可能；（2）在（1）的条件下能拼出“北仑”（不分先后）的概率是多少？18．（6分）图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段，，的端点均在格点上，回答下列问题：（1）在图1中，，；（2）在图2中请用一把无刻度的尺子，画出线段三等分点，．（保留作图痕迹）19．（8分）抛物线与轴交于点、（点在右侧），与轴交于点，且点为抛物线的顶点，连接，．求的面积．20．（8分）如图，在矩形中，点为边上的一动点（点不与点，重合），连接，过点作，垂足为．（1）求证：△△；（2）若，，求的长．21．（8分）如图，是的直径，弦于点，连接，．（1）若，，求的长度；（2）若平分，求证：．22．（8分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元件，试营业阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．（1）请直接写出每天销售量（件与销售单价（元之间的函数关系式；（2）求出商场销售这种文具，每天所得的销售利润（元与销售单价（元之间的函数关系式（不必写出的取值范围）；（3）商场的营销部结合实际情况，决定该文具的销售单价不低于30元，且每天的销售量不得少于160件，那么该文具如何定价每天的销售利润最大，最大利润是多少？23．（10分）定义：两个角对应互余，且这两个角的夹边对应相等的两个三角形叫做余等三角形．如图1，在和中，若，且，则和是余等三角形．（1）图2，等腰直角，其中，，点是上任意一点（不与点、重合），则图中△和△是余等三角形，并求证：．（2）图3，四边形是的内接四边形，的半径为5，且，①求证：和是余等三角形．②图4，连接交于点，连接，为上一点，连接并延长交于点，若，，设，，求关于的函数关系式．24．（12分）如图1，在正方形中，点是边上一点，点为边上一点，交于点，已知，设，．（1）请直接写出，，（用或相关的代数式表示）；（2）作分别交、于、（如图，求的长；（3）连结，若，求的最小值；（4）在（3）的条件下，请直接写出的最小值时，．

2023-2024学年浙江省宁波市余姚实验学校九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，每小题仅有一个正确选项，共30分）1．（3分）下列事件中，是必然事件的是A．同位角相等 B．打开电视，正在播出《新闻联播》 C．经过红绿灯路口，遇到绿灯 D．长度为4，6，9的三条线段可以围成一个三角形【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．【解答】解：、同位角相等，是随机事件，不符合题意；、打开电视，正在播出特别节目新闻联播》，是随机事件，不符合题意；、经过红绿灯路口，遇到绿灯，是随机事件，不符合题意；、因，所以长度为4，6，9的三条线段可以围成一个三角形，故此事件是必然事件，符合题意；故选：．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．2．（3分）已知点是线段的黄金分割点，且，，则为A． B． C． D．0.618【分析】直接根据黄金分割的定义求解．【解答】解：点是线段的黄金分割点，且，，而，．故选：．【点评】本题考查了黄金分割：把一条线段分成两条线段，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么叫把着个点叫这条线段的黄金分割点，且较长线段等于整个线段的倍．3．（3分）下列和之间的函数表达式中，是二次函数的是A． B． C． D．【分析】利用二次函数的定义分别分析得出即可．【解答】解：、，是二次函数，所以选项正确；、，最高次数是3，不是二次函数，所以选项错误；、，最高次数是1，不是二次函数，所以选项错误；、，右边不是整式，不是二次函数，所以选项错误．故选：．【点评】此题主要考查了二次函数的定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．4．（3分）如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆分别交、于点、点，则弧的度数为A． B． C． D．【分析】先利用互余计算出，再利用半径相等和等腰三角形的性质得到，则根据三角形内角和定理可计算出，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数求解．【解答】解：，，，，，，的度数为．故选：．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．5．（3分）下列说法中，正确的是A．长度相等的弧是等弧 B．平分弦的直径垂直于弦 C．三角形外心到三边距离相等 D．不在同一条直线上的三个点确定一个圆【分析】根据确定圆的条件，等弧的定义，三角形外心的性质，逐一判断即可解答．【解答】解：、在同圆或等圆中，能够完全重合的弧是等弧，故不符合题意，、不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故不符合题意；、三角形外心到三个顶点的距离相等，故不符合题意；、不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故符合题意；故选：．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，角平分线的性质，圆的认识，垂径定理，确定圆的条件，熟练掌握这些数学概念的解题的关键．6．（3分）如图，在中，点在边上，若，，，则线段的长为A． B． C． D．【分析】过点作，易证，从而得，可求得，再证明，得，，从而可证得，通过转化可得，从而可求解．【解答】解：过点作，如图所示：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，解得：．故选：．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解答的关键是作出正确的辅助线，并对相似三角形的判定条件与性质的掌握与应用．7．（3分）一只不透明袋子中装有1个绿球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验，将口袋中的球拌匀，从中随机摸出个球，记下颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，获得数据如下：摸球的次数200300400100016002000摸到黑球的频数14218626066810641333摸到黑球的频率0.71000.62000.65000.66800.66500.6665该学习小组发现，摸到黑球的频率在一个常数附近摆动，由此估计这个口袋中黑球有个．A．4 B．3 C．2 D．1【分析】该学习小组发现，摸到黑球的频率在一个常数附近摆动，这个常数约为0.667，据此知摸出黑球的概率为0.667，继而得摸出绿球的概率为0.333，求出袋子中球的总个数即可得出答案．【解答】解：该学习小组发现，摸到黑球的频率在一个常数附近摆动，这个常数约为0.667，估计摸出黑球的概率为0.667，则摸出绿球的概率为，袋子中球的总个数为，由此估出黑球个数为，故选：．【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．8．（3分）如图，两个等圆和相交于、两点，且经过的圆心，则的度数为A． B． C． D．【分析】连接，，可得△是等边三角形，再根据圆周角定理即可解答．【解答】解：连接，，和是等圆，，△是等边三角形，，，，（圆周角定理）．故选：．【点评】此题主要考查了相交两圆的性质以及等边三角形的判定与性质，得出△是等边三角形是解题关键．9．（3分）如图，抛物线交轴于点，，将该抛物线向右平移3个单位后，与原抛物线交于点，则点的纵坐标为A． B． C．3 D．【分析】将抛物线向右平移3个单位后得到，然后联立组成方程组求解即可．【解答】解：将抛物线向右平移3个单位后得到，根据题意得：，解得：，交点的坐标为，，故选：．【点评】考查了抛物线与坐标轴的交点坐标等知识，解题的关键是了解抛物线平移规律，并利用平移规律确定平移后的函数的解析式．10．（3分）在面积为144的正方形中放两个正方形和正方形（如图），重合的小正方形的面积为4，若点、、在同一直线，则阴影部分面积为A．36 B．40 C．44 D．48【分析】根据题意和图形，可以求得和的长，然后根据图形可知，阴影部分的面积就是正方形的面积减去正方形的面积和正方形的面积，再加上正方形的面积，然后代入数据计算即可．【解答】解：由题意可得，，，设正方形的边长为，则，，，，，，，，，即，解得，，（舍去），即，则，阴影部分的面积是：，故选：．【点评】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，共24分）11．（4分）某校准备从，两名女生和，两名男生中任选2人代表学校参加沈阳市初中生辩论赛，则所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率是．【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出所选代表恰好为1名女生和1名男生的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：根据题意画图如下：共有12种等可能的情况数，其中恰好为1名女生和1名男生的有8种，则所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率是．故答案为：．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求事件或的概率．12．（4分）点到上各点的最大距离为5，最小距离为1，则的半径为3或2．【分析】当点在圆内时，最大距离与最小距离之和就是圆的直径，可以求出圆的半径．当点在圆外时，最大距离与最小距离之差就是圆的直径，可以求出圆的半径．【解答】解：当点在圆内时，因为点到圆上各点的最大距离是5，最小距离是1，所以圆的直径为6，半径为3．当点在圆外时，因为点到圆上各点的最大距离是5，最小距离是1，所以圆的直径为4，半径为2．故答案为：3或2．【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，根据点到圆上各点的最大距离和最小距离，可以得到圆的直径，然后确定半径的值．13．（4分）已知是二次函数，则．【分析】利用二次函数的定义，可得出及，解之即可得出结论．【解答】解：是二次函数，，解得：．故答案为：．【点评】本题考查了二次函数的定义，牢记“一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数”是解题的关键．14．（4分）如图，在中，为上一点，连结并延长交延长线于点．如果，那么．【分析】由四边形是平行四边形，可得，，即可证得，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求得答案．【解答】解：四边形是平行四边形，，，，，，，．故答案为：．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度不大，注意面积比等于相似比的平方是解题的关键．15．（4分）如图，一张扇形纸片，，，将这张扇形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，则图中未重叠部分（即阴影部分）的面积为．【分析】根据阴影部分的面积等于扇形面积减去弓形面积计算即可．【解答】解：由折叠可知，，，，，为等边三角形，，，，，，，阴影部分的面积，故答案为：．【点评】本题考查了扇形面积与等边三角形的性质，熟练运用扇形公式是解题的关键．16．（4分）如图，抛物线与轴交于点和点两点，与轴交于点，点为抛物线上第三象限内一动点，当时，点的坐标为．【分析】由抛物线的解析式求得、、的坐标，利用勾股定理的逆定理证得，即可得出，由，得出，作轴，交的延长线与，作的平分线，交于，则，根据轴对称的性质得出，从而求得，利用待定系数法求得直线的解析式，与二次函数解析式联立，解方程组即可求得的坐标．【解答】解：抛物线与轴交于点和点两点，当时，，解得或1，，，，当时，，，，，，，，，，，，作轴，交的延长线与，作的平分线，交于，则，，，，，设直线的解析式为，把的坐标代入得，，，直线的解析式为，解得或，点的坐标为，故答案为：．【点评】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，证得是解题的关键．三、解答题（第17-18题各6分，第19-22题各8分，第23题10分，第24题12分）17．（6分）“青年北仑”建设是北仑建设的一大亮点，现将质地大小完全相同，上面标有“青”“年”“北”“仑”字样的四个彩球放入同一个袋子．（1）小慧在袋子中随机摸出一个彩球，记下字样后放回，搅匀，再摸出一个彩球，请用列表或画树状图的方法，写出所有的可能；（2）在（1）的条件下能拼出“北仑”（不分先后）的概率是多少？【分析】（1）根据题意列表得出所有等可能的结果数即可；（2）从（1）中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得．【解答】解：（1）列表如下：青年北仑青青青青年青北青仑年年青年年年北年仑北北青北年北北北仑仑仑青仑年仑北仑仑由表可知共有16种等可能的结果数；（2）共有16种等可能的结果数，其中能拼出“北仑”（不分先后）的有2种结果，能拼出“北仑”（不分先后）的概率为．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．18．（6分）图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段，，的端点均在格点上，回答下列问题：（1）在图1中，，；（2）在图2中请用一把无刻度的尺子，画出线段三等分点，．（保留作图痕迹）【分析】（1）构建直角三角形解决问题求出，利用相似三角形的性质求出相似比．（2）利用平行线等分线段定理解决问题即可．【解答】解：（1），，，．故答案为：，3．（2）如图，，即为所求作．【点评】本题考查作图应用与设计作图，等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．19．（8分）抛物线与轴交于点、（点在右侧），与轴交于点，且点为抛物线的顶点，连接，．求的面积．【分析】求出，，三点的坐标，根据，再求出三角形的面积，根据可求出答案．【解答】解：（1）连接，令，，解得或1，，，令，，得，，顶点，，，．的面积为3．【点评】本题考查二次函数与轴交点、二次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握求抛物线与坐标轴的交点，学会利用分割法求四边形的面积．20．（8分）如图，在矩形中，点为边上的一动点（点不与点，重合），连接，过点作，垂足为．（1）求证：△△；（2）若，，求的长．【分析】（1）利用矩形的性质可得出，由可得出，利用等角的余角相等可得出，进而可证出△△；（2）利用相似三角形的性质可得出，进而可得出，再在△中，通过解直角三角形即可求出的长．【解答】（1）证明：四边形为矩形，．，垂足为，．，，．△△．（2）解：△△，，．在△中，，，，即的长为2．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解题的关键是：（1）利用两个角对应相等的三角形相似，证出△△；（2）在△中，通过解直角三角形求出的长．21．（8分）如图，是的直径，弦于点，连接，．（1）若，，求的长度；（2）若平分，求证：．【分析】（1）根据垂径定理得出，再由已知条件得出圆的半径为5，在中，由勾股定理得出即可，从而得出；（2）过点作，垂足为，由角平分线的性质得出，从而得出．【解答】解：（1）是的直径，弦，，，，，，在中，，，；（2）过点作，垂足为，平分，，．【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理以及勾股定理，掌握定理的内容并熟练地运用是解题的关键．22．（8分）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元件，试营业阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．（1）请直接写出每天销售量（件与销售单价（元之间的函数关系式；（2）求出商场销售这种文具，每天所得的销售利润（元与销售单价（元之间的函数关系式（不必写出的取值范围）；（3）商场的营销部结合实际情况，决定该文具的销售单价不低于30元，且每天的销售量不得少于160件，那么该文具如何定价每天的销售利润最大，最大利润是多少？【分析】（1）根据题意，可以写出每天销售量（件与销售单价（元之间的函数关系式；（2）根据利润（售价成本）销售量，可以写出每天所得的销售利润（元与销售单价（元之间的函数关系式；（3）将（2）中函数关系式化为顶点式，再根据该文具的销售单价不低于30元，且每天的销售量不得少于160件，可以得到的取值范围，然后根据二次函数的性质，即可得到该文具如何定价每天的销售利润最大，最大利润是多少．【解答】解：（1）由题意可得，，即每天销售量（件与销售单价（元之间的函数关系式是；（2）由题意可得，，即每天所得的销售利润（元与销售单价（元之间的函数关系式是；（3），该函数图象开口向下，当时，随的增大而增大，该文具的销售单价不低于30元，且每天的销售量不得少于160件，且，解得，当时，取得最大值，此时，答：该文具定价为34元件时，每天的销售利润最大，最大利润是2240元．【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质解答．23．（10分）定义：两个角对应互余，且这两个角的夹边对应相等的两个三角形叫做余等三角形．如图1，在和中，若，且，则和是余等三角形．（1）图2，等腰直角，其中，，点是上任意一点（不与点、重合），则图中△和△是余等三角形，并求证：．（2）图3，四边形是的内接四边形，的半径为5，且，①求证：和是余等三角形．②图4，连接交于点，连接，为上一点，连接并延长交于点，若，，设，，求关于的函数关系式．【分析】（1）由是等腰直角三角形，根据余等三角形定义，可得和是余等三角形，过作于，过作于，证明和是等腰直角三角形，得，，，中，用勾股定理即可得；（2）①连接并延长交于，连接、，根据，可得，从而，可得，，同理可得：，而，根据余等三角形，可知和是余等三角形；②连接、，过作于，过作于，证明是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，可得，由，有，，从而，得，设，，则，，在中，得，在中，，得，故，而．【解答】解：（1）是等腰直角三角形，