高中数学不动点与数列

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页不动点与数列一、什么是不动点取两根长短不一，有着同样刻度（但长度单位不同）的尺子（比如：一根长，一根长5寸），我们将其中较短的一根无论放在较长尺子的什么地方，只要短尺全部落在长尺内（图1-1），则两根尺子总有某刻度，它们的数值是相同的（如图中的“A”这一刻度），这个数值相同的刻度，就是这种移动变换下的一个不动点.一根橡皮绳子上打着许多结，当你均匀拉伸后，对称地放在原来的位置下面，再把绳子相应的结用线连接起来，其中必有一条与橡皮绳垂直（图中A），则这条垂线的结点，便是橡皮绳在拉伸变换下的不动点.“不动点”是一个重要的又十分有趣的数学概念，斯丕诺（Sperner）定理可以说是不动点在数学上有趣的应用：把任意分割成许多小三角形（如图所示），然后把的顶点分别涂上三种不同的颜色，再把这些小三角形的顶点也涂上这三色之一.规则是：若小三角形的顶点落在某条边上，则这个顶点，只能涂该边两端之一的颜色，若小三角形顶点落在内，则可以任意涂三色之一.无论如何分割，最后必有一个三角形（确切些，有奇数个小三角形）使它的三个顶点恰好涂有三种颜色.从不动点观念看，这个小三角形就是在“分割”、“着色”变换下的不动点.历史上证明了Sperner定理后，导出了布劳韦尔（Brouwer）不动点定理：“任意一个把n维球体变为自身的连续变换，至少有一个不动点”.定理的严格证明是艰深的.由于篇幅所限，不可能给出这个证明了，但是，我们可以看看布劳韦尔不动点定理最简单而又特殊的情况：定理：设是连续函数，其定义域为，值域，则必有不动点（即存在一点使）.预备知识：定义1对函数，若存在实数，满足，则称为的不动点.对此定义有两方面的理解：（1）代数意义：若方程有实数根，则有不动点.（2）几何意义：若函数与有交点，则为的不动点.利用递推数列的不动点，可以将某些由递推关系所确定的数列转化为较易求通项的数列（如等差数列或等比数列），这种方法称为不动点法.下面举例说明两种常见的递推数列如何用不动点法求其通项公式.定义2若数列满足，则称为数列的特征函数.定义3方程称为函数的不动点方程（特征方程），其根称为函数的不动点.具体应用：若数列的递推公式为，把此式中的、均换成，得方程，我们把方程的实数根称为数列的不动点.利用数列的非零不动点，可以转化求等比、等差数列，继而可求出数列的通项公式.命题1若，是的不动点，满足递推关系，则，即是公比为的等比数列.证明因为是的不动点，所以，所以.由得.所以是公比为的等比数列.命题2设，且只有两个相同的不动点，如果满足递推关系，初值条件，则.（这里）证明由得，整理得.所以，，所以.所以.令，则.命题3设，满足递推关系，初值条件，若有两个相异的不动点，，则.（这里）证明因为，是不动点，所以，所以.令，则.命题2、命题3的另一种证明方法：（1）推理当数列递归方程满足，若令，，根据不动点定义，即，可列出方程，整理得.①当判别式时，该数列具有一个不动点；当判别式时，该数列具有两个不动点，.两种情况均满足数列特征方程.②（2）验证将递归方程变形为，对比②式系数得.消去未知量，，推出等式，即特征方程①，证毕.命题4设函数有两个不同的不动点，，且由确定数列，那么当且仅当，时，.此时.知识延伸：利用函数不动点构造桥函数求数列的通项公式.定义2已知函数，记，，，则称为函数的次迭代.定义3已知函数和，若存在可逆函数（存在反函数），满足，则函数和互为相似函数，其中称为桥函数.说明（1）若，则且.（2）若的不动点为，则为函数的不动点.对于数列：已知首项，及递推公式，，则数列的通项公式即为.若能求出，则数列的通项公式即可很容易求出.而求关键是需要找到合适的桥函数，使得与相似的函数能比较简单（常为一次函数或反比例函数），从而求，再由求.而由说明（2）又启发我们可以利用函数的不动点去构造桥函数.桥函数的使用：已知数列满足：，，，求数列的通项公式.解令，则的不动点为，，构造桥函数，则，令,又，则,所以数列的通项公式为,说明（，，，为常数），则，其中是的不动点.最后我们来研究关于数列的周期性问题：对于方程；（1）若，则数列无周期.（2）若，则数列有周期的充要条件是，且周期.（3）若，则数列有周期的充要条件是（其中，为方程的两根.，），且周期.证明：（1）当时，方程的两根.因为，.对于，，显然,所以，故数列无周期.（2）若，则两根，因为，，所以数列有周期的充要条件是，，即.所以，但，所以，，注意到方程，，故.反之，若，则，（其中）所以，即①，自然也有②，②得，，于是，说明数列的奇数项、偶数项分别相同，故数列有周期.（3）若，则.由于，故可设.则为1的一个次方根，.反之，若是周期为的周期数列，则必有.于是.【强化训练1】1．已知数列的递推公式，且首项，求数列的通项公式.【强化训练2】2．已知数列的递推公式，且首项，求数列的通项公式.【强化训练3】3．设，数列满足，，求数列的通项公式．【强化训练4】4．已知首项为的数列，满足（a为常数）.当a确定后，数列由其首项确定，当时，通过对数列的探究，写出“是有穷数列”的一个真命题.【强化训练5】5．已知，，求的通项公式.【强化训练6】6．已知，，求的通项公式.【强化训练7】7．已知，求的通项公式.【强化训练8】8．已知函数，设曲线在点处的切线与x轴的交点为，已知.用表示，并求数列的通项公式.【强化训练9】9．已知数列满足：，，求数列的通项公式.【强化训练10】10．已知数列中，，求的通项.【强化训练11】11．在数列中，，且，求其通项公式.【强化训练12】12．已知数列满足，首项，求其通项公式.【强化训练13】13．已知数列满足，求数列的通项公式.【强化训练14】14．已知数列满足，判断数列的周期性.【强化训练15】15．数列满足，判断数列的周期性.【强化训练16】16．数列满足，试研究数列的周期性.【强化训练17】17．已知，且，求的解折式.【强化训练18】18．求数列：的周期.【强化训练19】19．已知函数，求证：为周期函数.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．【分析】令，求出数列的不动点，据此变形递推关系式，可构造等差数列，即可求出数列通项公式.【详解】令.先求出数列的不动点，解得.将不动点代入递推公式，得，整理得，，∴.令，∴，.∴数列是以为首项，以1为公差的等差数列.∴的通项公式为.将代入，得.∴.2．【分析】在或时，直接可计算得出；在且且时，推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得.综合可得结果.【详解】解：当时，，，，以此类推可知；当时，，，，以此类推可知；当且且时，特征方程为，即，解得或，因为且且，且且，可知对任意的，且.构造数列，则，所以，数列为等比数列，且该数列的首项为，公比为，所以，，解得.综上所述，.3．【分析】将递推得到两边取倒数得到，令，则，当时是等差数列，求出通项公式进而求出的通项公式；当时利用构造法求出通项公式进而求出的通项公式.【详解】解：，两边取倒数得到令，则，当时，，数列是首项为，公差为的等差数列．．当时，，则，数列是以为首项，为公比的等比数列．，，4．答案见解析【分析】根据题意中的递推公式，利用取倒数法可得，数列为等比数列，根据等比数列的通项公式可得，进而求出；令可得，结合充要条件的概念即可得出结论.【详解】由，由得.两边同时取倒数，得，有，所以是首项为，公比为的等比数列，所以所以，.令，则，即第项为-1，有穷数列在第项停止.综上：写出的真命题为：数列是有穷数列的充要条件是：存在使得某项，所以，即，且有穷数列的项数为m.5．【分析】根据不动点法求出不动点为3，进而可得数列{}是以为首项、为公差的等差数列，利用等差数列的通项公式即可求出.【详解】设，即，解得，即不动点为，，可变形为，即数列是以为首项，为公差的等差数列，其通项公式，得.6．.【分析】先将条件进行变形，化简为，进而变形为，然后通过等比数列的概念求得答案.【详解】由题意，，所以，则，而，故是以为首项，3为公比的等比数列.于是.【点睛】是的一种变形，首先，进而可以将它变形为等比数列，然后求得答案.因此我们可以将原式作如下处理：，并且要求，现将x=2代入或4（x=4亦可，无根的情况和分母为0的情况均不在此考虑之列），，进而转化为等比数列解得答案.7．.【分析】将已知式子变形为，进而根据等比数列的定义求得答案.【详解】根据题意变形为，则，而，所以是以2为首项，2为公比的等比数列.于是.8．，【分析】求导,在处的切线方程，令求解.【详解】因为，则，所以在处的切线方程为，令，得，（易知），所以,所以，从而，所以.9．【分析】由题设中的递推关系可得数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式.【详解】因为，故且，故，而，故，故，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，解得.10．【分析】利用不动点法求出不动点为1和2，进而可得数列是公比为的等比数列，利用等比数列的通项公式求出即可.【详解】因为的特征函数为，则特征方程为，即，解得，则，①.②则①÷②得，∴数列是公比为的等比数列，∴.∵，∴，即.11．【分析】根据特征方程解出，令，得到，利用取倒数法求出，即可求出的通项公式.【详解】因为，所以特征方程为，解得.令，代入原递推式得.因为，所以，故.因此，，从而.又因为，所以.12．【分析】先由，求得不动点为,进而得到求解.【详解】特征方程为，得，则，故是函数的两个不动点.则，①.②则①÷②得，所以由迭代法得，则.13．.【分析】先将式子变形为，进而根据等比数列的定义求得答案.【详解】根据题意，，则，又因为，所以是以2为首项，为公比的等比数列.于是.【点睛】是的一种变形，首先，进而可以将它变形为等比数列，然后求得答案.因此我们可以将原式作如下处理：，并且要求或x=3，现将x=3代入（x=2亦可，无根的情况和分母为0的情况均不在此考虑之列），，进而转化为等比数列解得答案.14．不是周期数列.【分析】根据题意，先求出数列的通项公式，然后再假设数列的最小正周期为T，进而根据判断问题.【详解】由题意，，所以，进一步化简为：，而，所以是以为首项，为公比的等比数列，于是.假设该数列的最小正周期为T，则，所以，显然T不为定值，即该数列不是周期数列.【点睛】本题求解数列的通项公式是难点.是的一种变形，首先，进而可以将它变形为等比数列，然后求得答案.因此我们可以将原式作如下处理：，并且要求或，现将代入（亦可，无根的情况和分母为0的情况均不在此考虑之列），，进而转化为等比数列求出该数列的通项公式.15．周期为2.【分析】通过递推公式列举出数列的项，进而发现周期，然后再进行证明即可.【详解】因为，所以，，则猜想该数列的周期为2.下面进行证明：根据题意，.于是数列的周期为2.16．周期为4