初二数学下册四边形综合测试题及答案

八年级数学下册四边形综合测试题（一）

（时间45分钟，共100分）

姓名:班级:得分:

一、选择题（每题5分，共30分）

1、十二边形的内角和为（)

A.1080°B.13600C、1620°D、1800°

2、能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（）.

(A)AB/7CD,AD=BC;(B)ZA=ZB,ZC=ZD;

(B)(C)AB=CD,AD=BC;(D)AB=AD,CB=CD

3、下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

（A）

4、菱形ABCD的对角线长分别为6cm和8cm,则菱形的面积为（

A.12,B.24C.36D.48

5.下列说法不正确的是（）

（A）对角线相等且互相平分的四边形是矩形；（B）对角线互相垂直平分的四边形是菱形;

（C）对角线垂直的菱形是正方形；（D）底边上的两角相等的梯形是等腰梯形

6、如图1,在平行四边形A6CO中，CELAB,E为垂足.如

果NA=125°,则NBCE=()

A.55°B.35°C.25°D.30°

二、填空题（每题5分，共30分）

7、顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是

8、如图2,矩形A6CD的对角线AC和

8。相交于点。，过点。的直线分别交

AD和BC于点E、F,AB=2,BC=3,

则图中阴影部分的面积为.

尸图2

9、如图3,若UABCD与UEBCF关于BC

所在直线对称，NABE=90°,则/

F=°

10、如^4,把一张矩形纸片A8C7）沿EE

折叠后，点C,。分别落在C',的位置

上，EC'交AO于点G.则4EFG形状为

11、如图5,在梯形ABCD中，

AD//BC

NB=4°,NC室9°,A©1,BD=4

则AB=________

12.如图6,AC是正方形ABCD的对角线，

AE平分/BAC,EF±AC交AC于点F,若BE=2,

则CF长为

三、解答题（每题10分，共40分）

13、（10分）已知：如图7,E、F是平行四边行ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF»

求证：ZCDF=ZABE

14、（10分）如图8,把正方形A8CO绕着点A,按顺时针方向旋转得到正方形AE尸G,

边FG与BC交于点、H.求证：HC=HF.DC

G

图8

E

15、（10分）已知：如图9,在△ABC中，AB=AC,ADLBC,垂足为点。，AN是△48

外角/C4A/的平分线，CELAN,垂足为点E,猜想四边形4OCE的形状，并给予证明.

N

图9

16、（10分）如图10,在梯形纸片ABCD中，AD//BC,AD>CD,

将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C处，折

痕DE交BC于点E,连结CE.

求证：四边形CDCE是菱形.

“拓展创新”时间30分钟,共50分,

・、选择及填空题（每题5分，共10分）

1、如图11,在菱形ABC。中，NBAD=

80°,4B的垂直平分线交对角线4c于

点E,交AB丁点凡尸为垂足，连接OE,

则ZCDE=度

2.如图12,四边形48co是矩形，F是AO上一点，E是C8延长线上一点，且四边形

AECF是等腰梯形.下列结论中不•定正确

的是().

(A)AE=FC(B)AD=BC

(C)ZAEB=ZCFD(D)BE=AF

二、填空题(每题5分，共10分)

3、如图13,已知：平行四边形ABCD中，

NBCD的平分线CE交边4。于E,

N/1BC的平分线8G交CE于F,交

AD于G.若AB=4cm,AD=6cm,贝lj

EG=cm.

4、将矩形纸片4BCO按如图14所示的方式折叠,得到菱形4ECF.若48=9,则AC的

长为_________

三、解答题(每题15分，共30分)

5、一次数学活动课上，老师留下了这样一道题“任画一个AABC,以BC的中点O为对

称中心，作4ABC的中心对称图形，问^ABC与它的中心对称图形拼成了一个什么形状

的特殊四边形？并说明理由

于是大家讨论开了，小亮说：“拼成的是平行四边形”；小华说：“拼成的是矩形”；

小强说：“拼成的是菱形”；小红说：“拼成的是正方形”；其他同学也说出了自己的

看法……你赞同他们中的谁的观点？为什么？若都不赞同，请说出你的观点(画出图形)，

并说明理由

6,如图15-1,已知点P是矩形ABCD内一点，PA、PB、PC、PD把矩形分割成四个三

角形，小东对该图形进行了研究。为了探究的需要，小东过点P作PE1AD交BC于F,

通过一番研究之后得出两条重要结论：（1）ACB=a.乂D3ABD，

毋曲

（2）P223cp22.

1）请你写出小东探究的过程.

2）当P在矩形外时，如图15-2,上述两个结论是否仍成立？若成立，请说明理由；

若不成立，请写出你猜想的结论（不必证明）

《“四边形”综合测试题（一）》参考答案

基础巩固

一、选择题

1,D2、C3、A4、B5、C.6、B

二、填空题

7、平行四边形8、3.9、45°10、等腰三角形11、3收12.2

三、解答题

13、证明：⑴：ABCD是平行四边形，.,.DC=AB,DC〃AB,

AZDCF=ZBAE，:AE=CF,AAADF^ACBE,ZCDF=ZABE

14、如图8,把正方形A6CO绕着点A,按顺时针方向旋转得到正方形AEFG,边FG与

BC交于点H.求证：HC=HF.

解：证明：连结A"，•.,四边形ABC。，AEFG都是正方形.

NB=NG=90°,AG=A6,BC=GF,又AH=AH.

.•.Rt△取困RtABH(HL),：.HG=HB,.,.HC=HF.

15、解：猜想四边形4OCE是矩形。

证明：在△ABC中，AB=AC,ADLBC.：.ZBAD=ZDAC.

AN是△A8C夕卜角乙CAM的平分线，/.

ZMAE=ZCAE.：.ZDA£=Z£)AC+ZCAE=lx180°=90°.又

2

AD1BC,CE1AN,：.NAOC=NCEA=90。，四边形AOCE

为矩形.

16、证明：根据题意可知ACSACD

则CD=C'D,4C'DE=4CDECE=C'E

VAD//BCAZC，DE=ZCED,AZCDE=ZCED；.CD=CE

.,.CD=C'D=C'E=CE四边形CDC'E为菱形

“拓展创新”，

二、选择题

1、60°2、D

三、填空题

3、2cm4、65/3

三、解答题

5、解：不赞同他们的观点，因为AABC形状不确定，所以应分情况讨论.

(1)若AABC中，A庠A(且N6A/史十寸，如图1、图2.4ABC与它的中心对称

图形拼成了一个平行四边形.理由：与C、A与D关于O对称，•••OA=OD,OB=OC,

，四边形ABDC是平行四边形.

(2)若aABC中，AB=AtaZBA=第时，如图3、图4.ZiABC与它的中心对称

图形拼成一个菱形.理由：：B与C、A与D关于O对称，，OA=OD,OB=OC,：A星A

...四边形ABDC是菱形.

B

（3）若AABC中，A摩A（且ZBA=T鼠时，如图5,4ABC与它的中心对称图形

拼成一个矩形.理由：VB与C、A与D关于0对称，OA=OD,OB=OC,:

ABtACZB.•.四边形ABDC是矩形.

（4）若AABC中，ARA（且ZB4=更1c（时，如图6,AABC与它的中心对称图形

拼成一个正方形.理由：：B与C、A与D关于O对称，...OA=OD,OB=OC,：A5=A（,

ZB4=纪七.•.四边形ABDC是正方形..

6,1)证明:(1),矩形ABCDW，PE±AD,四边形ABFE和四边形CDEF都是矩

n1

4鼠S

=尸

--矩

形，p^04D,,p方S&CP亍/S矩册B,>••

s^/2

+2ACBD9ASD°

(2)•.•矩形ABCD中，PE±AD,二由勾股定理，得

P2=A2+P%p2岸P24F七p22€P-BP2Hp2冉。I，

：.P2+P2=A2A)rP2ap2B-F2EP2mp2GB2mp2Hp2R

.四边形ABFE和四边形CDEF都是矩形，；.A=S：,LF=CE,：.

P2钟2£尸2曲2

2).当P在矩形外时，结论(1)不成立；应为结论SM^S.e?Sm-pS^

结论（2）仍然成立.

理由：同1）中证明（2）.

2013中考数学压轴题

安徽22.如图1,在△ABC中，D、E、尸分别为三边的中点，G点在边上，/XBDG

与四边形ACDG的周长相等，设AC=b,AB=c.

(1)求线段BG的长；(2)求证：OG平分/EOF;

(3)连接CG,如图2,若ABOG与△OFG相似，求证：BGLCG.

解（1）；£＞、（7、尸分别是448。三边中点

又•:ABDG与四边形ACDG

BD+DG+BG=AC+CD+DG+AG

：.BG=AC+AG"：BG=AB-AG：.BG=

,、、T“r>b+ch+ccb

（2）证明：BG=-------，FG=BG-BF=--------

2222

,.FG=DF,：.ZFDG=ZFGD又\：DEMNB

：.ZEDG=ZFGDNFDG=NEDG二。6平分/EOF

(3)在△DFG中，ZFDG=ZFGD,丛DFG是等腰三角形，

■:4BDG与△QFG相似,「.△BOG是等腰三角形，,NB=ZBGD,：.BD=DG,

则CO=BO=OG,，8、CG、三点共圆，BGC=90°,：.BGLCG

23.如图，排球运动员站在点。处练习发球，将球从。点正上方2m的A处发出，把球看

成点，其运行的高度y(〃?)与运行的水平距离x(〃?)满足关系式尸i(x—6)2+瓦已知球网与0

点的水平距离为9机，高度为2.43机，球场的边界距。点的水平距离为18,“。

(I)当6=2.6时，求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值范围)

(2)当〃=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；

(3)若球一定能越过球网，又不出边界，求人的取值范围。

23解(1)把)=0,了=2,及〃=2.6代入至1」)，=。(犬-6)2+〃即2="(0—6)?+2.6,/.a=——

60

y=——(x-6)2+2.6

(2)当h=2.6时，尸—--(x-6)2+2.6x=9时，y=---(9-6)2+2.6=2.45>2.43

©®

球能越过网

x=18时，y=---(18-6)2+2.6=0.2>0球会过界

©

边界

----------A

18x

2-h

(3)x=0,y=2,代入至！］y=d(x—6)2+A得a=----；

36

2-h2+3h2-h

x=9时，y=----(9—6)2+/Z=---:—>2.43①x=18B寸，v=-----(18—6)2+h8—3/?

36435

Q

>0②由①②得后一

3

［匕京8.小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头所示方向经过点

8跑到点C,共用时30秒.他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程.设小

翔跑步的时间为f（单位：秒），他与教练的距离为y（单位：米），表示y与r的函数关

系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的

D.点。

d12345678910II1213x

【解析】D

12.在平面直角坐标系X。），中，我们把横纵坐标都是整数的点叫做整点.已知点

4（0,4）,点8是x轴正半轴上的整点,记4408内部（不包括边界）的整点个数为

机.当机=3时点8的横坐标的所有可能值是；当点B的横坐标为4〃（〃

为正整数）时，加=（用含”的代数式表示.）

【解析】3或4；6”-3

北京24.在△ABC中，BA=BC,ZBAC=a,M是AC的中点，P是线段上的动

点，将线段PA绕点P顺时针旋转2a得到线段PQo

（1）若a=60。且点P与点M重合（如图1）,缰CQ的延长线交射线BM于点D,

请补全图形，并写出NCD8的度数；

（2）在图2中，点尸不与点8,M重合，线段C。的延长线与射线交于点。,

猜想NCD8的大小（用含a的代数式表示），并加以证明；

（3）对于适当大小的a,当点尸在线段上运动到某一位置（不与点2,M重

合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D,且P。=。。，请直接

写出a的范围。

【解析】

图1

NCDB=3()。

⑵连接PC,AO,

乙PAD=ZPCD

又PQ=PA：.PQ=PC,ZADC=2ZCDB,APQC=ZPCD=ZPAD

：.ZPAD+ZPQD=Z.PQC+ZPQD=180°

，AAPQ+/ADC=360°-(/PAD+PQD)=180°

ZADC=1800-ZAPQ=180°-2a/.2ZCDB=180°-2a

ZCDB=900-a

(3)NCDB=90°-a,且PQ=QD

：.4PAD=NPCQ=ZPQC=2NCDB=1800-2a

•.•点P不与点B,M重合AABAD>ZPAD>ZMADA2a>180°-2a>a

，45°<a<60°

25.在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点4（再，y）与乙（乙，为）的“非常距离”，给出

如下定义：

若IX,-人以%-丫2I，则点吊与点鸟的“非常距离”为II；

・

若I±-X?1<1yl-y2\，则点［与点£的“非常距离”为I%-丫21

例如：点£（1,2）,点舄（3,5）,因为11-31<12-51,所以点勺与点鸟的“非常距离”

为12-51=3,也就是图1中线段6。与线段优。长度的较大值（点。为垂直于），轴的

直线耳。与垂直于x轴的直线鸟。的交点）。

（1）已知点A（-；,0）,8为y轴上的一个动点，

①若点A与点B的“非常距离''为2,写出一个满足条件的点B的坐标；②直接写出点4与

点8的“非常距离”的最小值；

（2）已知C是直线y=±x+3上的一个动点，

4

①如图2,点。的坐标是（0,1）,求点C与点。的“非常距离”的最小值及相

应的点C的坐标：

②如图3,E是以原点。为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的

“非常距离”

的最小值及相应的点E和点C的坐标。

图2图3

⑵①设C坐标(%,|x0+3)...当3-...距离为号此时

-x=jx()+2止匕时x

0077

815

C一,—

77

8

--x0=-x0+3--Xc

@Trt5°4050=",•rr?

最小值10

重庆10.已知二次函数），=，+汝+。（〃刈）的图象如图所示对称轴为.下列结论

中，正确的是（)

A.abc>0B.a+b=OC.2b+c>0D.4a+c<2b

解答：解：A、：开口向上，.与y轴交与负半轴，...cVO,

•.•对称轴在y轴左侧，二-&VO,二6>0,温<0,故本选项错误：

2a

B、:对称轴：x=--^-=-^,：.a=b,故本选项错误；C、当x=l时，a+b+c=2b+c<0,故

2a2

本选项错误；

。、；对称轴为X=-1,与无轴的一个交点的取值范围为X|>1,二与x轴的另一个交点的

2

取值范围为X2<-2,

...当x=-2时，4a-2b+c<0,即4a+c<2b,故本选项正确.故选。.

16.甲、乙两人玩纸牌游戏，从足够数量的纸牌中取牌.规定每人最多两种取法，甲每次

取4张或(4-k)张，乙每次取6张或(67)张(女是常数，0<k<4).经统计，甲共

取了15次，乙共取了17次，并且乙至少取了一次6张牌，最终两人所取牌的总张数恰好

相等，那么纸牌最少有108张.

分析：设甲a次取(4-A)张，乙b次取(67)张，则甲(15-«)次取4张，乙(17

-b)次取6张，从而根据两人所取牌的总张数恰好相等，得出。之间的关系，再有取

牌总数的表达式，讨论即可得出答案.

解答：解：设甲〃次取(4-i1)张，乙b次取(6-k)张，则甲(15-a)次取4张，

乙(17-/J)次取6张，

则甲取牌(60-ka)张，乙取牌(102-妨)张，则总共取牌：N=a(4-k)+4(15-a)

+b(6-&)+6(17-b)=-*(a+b)+162,

从而要使牌最少，则可使N最小，因为左为正数，函数为减函数，则可使(a+b)尽可能

的大，由题意得，a<15,后16,

又最终两人所取牌的总张数恰好相等，故k*-a)=42,而0VY4,b-a为整数，

则由整除的知识，可得k可为1,2,3,

①当k=l时，b-a-42,因为aW15,b<\i),所以这种情况舍去；

②当k=2时，b-a=21,因为aW15,把16,所以这种情况舍去；

③当上3时，b-a=\4,此时可以符合题意，

综上可得:要保证好15,区16,匕-a=14,（a+b）值最大,则可使6=16,。=2；珠15,。=1；

b=14,<7=0；

当岳46,a=2时，a+b最大，a+b=18,继而可确定k=3,（a+b）=18,所以N=-3x18+162=108

张.

故答案为：108.

重庆企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过

企业的自身设备进行处理.某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试

阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行.1至

6月，该企业向污水厂输送的污水量力（吨）与月份x（l<r<6,且x取整数）之间满足的

函数关系如下表：

月份X（月）123456

输送的污水量力（吨）1200060004000300024002000

7至12月，该企业自身处理的污水量”（吨）与月份x（7<r<12,且x取整数）之间满足

二次函数关系式为力=。2后c（awO）.其图象如图所示.1至6月，污水厂处理每吨污

水的费用：z,（元）与月份x之间满足函数关系式：该企业自身处理每吨污水

2

31,

的费用：（元）与月份x之间满足函数关系式：d=-x--X2；7至12月，污水厂

-412

处理每吨污水的费用均为2元，该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元.

（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知

识，分别直接写出口，为与x之间的函数关系式；

（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W（元）最多，并求出这个最多费

用；

（3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水

全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加“％,同

时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加(a-30)%,为鼓励节能降耗，减

轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助.若该企业每月的污水处理费用

为18000元，请计算出a的整数值.(参考数据：V231~15.2,V419~20.5,V809-28.4)

解答：解(1)根据表格中数据可以得出xy=定值，则为与x之间的函数关系为反比例函

数关系：yi=h,将(1,12000)代入得：k=1x12000=12000,故、尸丝咽(1<X<6,且x

xx

取整数)；

根据图象可以得出：图象过(7,10049),(12,10144)点，代入y2=ax2+c(a#0)得：

fl0049=49a+c

i10144=144a+c'

解得：,故丫2=:+10000(73勺2,且x取整数)；

lc=10000

120QQ

(2)当0W6,且x取整数时：W=yixi+(12000-yi)»X2-dv+(12000-

x2x

•昌,X2),

412

=-10007+10000A--3000,'：a=-1000<0,x=-至=5,但6,.•.当x=5时，叩最大=22000

2a

(元)，

当7人12时，且x取整数时，W=2x(12000-y})+1.5y2=2x(12000-7-10000)+1.5

(x2+10000),=-1X2+1900,

2

•.•0=-工<0,x=-_L=O,当7勺饪12时，W随x的增大而减小，...当x=7时，+地大=18975.5

22a

(元)，V22000>18975.5,

去年5月用于污水处理的费用最多，最多费用是22000元；

(3)由题意得:12000(1+a%)xl.5x[l+(a-30)%]x(1-50%)=18000,设f=a%,整

理得：10产+17「13=0,

17±

解得：t-V809t•.♦J§5^28.4,.•工户0.57,々<-2.27(舍去)，.\a~57,

20

答：〃的值是57.

26.已知：如图，在直角梯形A8C£>中，AD//BC,ZB=90°,AD=2,BC=6,AB=3>.E为

BC边上一点，以BE为边作正方形8EFG,使正方形8EFG和梯形ABC。在BC的同侧.

(1)当正方形的顶点尸恰好落在对角线AC上时，求BE的长；

(2)将(1)问中的正方形BEFG沿BC向右平移,记平移中的正方形BEFC为正方形B'EFG,

当点E与点C重合时停止平移.设平移的距离为/,正方形BEFG的边£尸与AC交于点

M,连接BY),B'M,DM,是否存在这样的r,使是直角三角形？若存在，求出，

的值：若不存在，请说明理由：

(3)在(2)问的平移过程中，设正方形9EFG与AAOC重建部分的面积为S,请直接写

出S与r之间的函数关系式以及自变量，的取值范围.

解答：解(1)如图①，设正方形BEFG的边长为x,贝IJ8E=FG=8G=x,

：A8=3,BC=6,：.AG=AB-BG=3-x,

VGF//BE,：./\AGF^/\ABC,旭旦，即三W?,解得：x=2,即8E=2；

ABBC36

(2)存在满足条件的f,

理由：如图②，过点。作Q4_LBC于"则B〃=A£)=2,DH=AB=3,

由题意得：BB'=HE=t,HB'=\t-21,£C=4-t,

在RfZXB'ME中，B'M2=ME2+B'E1=21+(2-工力2=^r-2f+8,

24

•：EF//AB,.♦.△MECSAABC,.X里，即座\：.ME=2-^t,

ABBC362

在RtADHB，中,B'D2=DH2+B'H2=32+(/-2)2=t2-4r+13,过点M作于N,

则MN=HE=t,NH=ME=2-h,：.DN=DH-NH=3-(2-A/)」/+],在Rt丛DMN中,

222

DM2=DN2+MN2=^t2+t+1,

4

即也产+竹仁(Ar-2r+8)+(』-4f+13),解

(I)若/£)8'M=90°,则DM2=B'M2+B'£>2,

44

得：仁义，

7

(II)若/B'WD=90°,则B'D2^B'M2+DM2,即r-4f+13=(―r-2f+8)+(—?+/+!),

44

解得：a=-3+417,?2=_3-V17(舍去),•*-t=-3+VT7；

2

(III)若NB，DM=90。,则8'〃2=8'。2+。/\即：Ar-2t+8=(？-4r+13)+(^r+z+i),

44

此方程无解，

综上所述，当仁干或-3+JF时，△B75M是直角三角形;

(3)①如图③，当尸在CO上时，EF：DH=CE：CH,即2：3=CE：4,.\CE=^,

3

t=BB'=BC-B'E-EC=6-2-'：ME=2-^t,：.FM=lt,当g小时,

33223

S=S△FMN—1xrx°r_1「,

224

②当G在ACtf^,f=2,：EK=EC”a〃NCCB=EQ以/(4-r)=3-af,；.FK=2-EK-^

CH444

■：NL=^AD=^,：.FL=t-9,.I单〈二2时，S=S&FMN-S^FKL=^r-1(r-(^r-1)=

33334234

③如图⑤，当G在CD上时，B'C：CH=B'G：DH,即8C：4=2：3,解得：B'C=^,

3

：.EC=4t=B'C-2=^,•••B'N=^B'C=1(6-Z)=3-1/,GN=GB'-B'N=^t-1,

332222

*'•当2Vzs学1寸，S=S梯形GNMF-S△尸KL="^X2X(a/-1号力一兴一家鲁一”一表2,

_—5t

3

④如图⑥，当也〈华4时，"：B'L=^B'C=^(6-r),EK^EC=^-(4-z),B'N=^B'C=^(6

3444422

-/)EM」EC」(4-r),

22

S=S梯形MNLK=S悌形ZfEKL-S梯形8'£MN=综上所述:

22

当/小时，5=工/，当g＜二2时:5=-1*+「2；当2c标刃时，S=--r+2t-当M

一一343833833

〈也4时，S=3.

图①图②

图③图④

图⑤图⑥

福建福州10.如图，过点C(l,2)分别作X轴、y轴的平行线，交直线y=-x+6于A、

B两点，若反比例函数y=kx(x>0)的图像与△ABC有公共点，则上的取值范围是

A.2<k<9B.2<k<SC.2<k<5D.5<k<S

解答：解：：点C(l,2),BC〃y轴，AC〃龙轴，，当x=l时，，y=-l+6=5,

当y=2时，-x+6=2,解得x=4,点A、8的坐标分别为A(4,2),8(1,

5)，

根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点C相交时，*=1x2=2最

小，

设与线段48相交于点(x,—x+6)时出值最大，则左=x(—x+6)=—』+6x=一

(X-3)2+9,

Vl^-<4,当x=3时，k值最大，此时交点坐标为(3,3),因此，k的取值

范围是2必W9.

故选A.

15.如图，已知△ABC,AB=AC=\,NA=36。，/A8c的平分线B。交AC于点O,则

力。的长是,caM的值是.(结果保留根号)

解答：：△ABC,AB=AC=1,ZA=36°,,NABC=/AC8=18(T—NA2=72。.

：B£>是NABC的平分线，；.NA8O=NOBC=12NA8C=36。.NA=NQBC=36。，

又：NC=NC,Z./\ABC^^\BDC,：,ACBC=BCCD,

设4O=x,贝ij8D=BC=x.贝ijlx=xl-x,解得：x=5)+12(舍去)或5)-12.故x=5)

-12.

如右图，过点。作OEJ_AB于点E,：

为AB中点,BPAE=12AB=i2.在K〃\ABD中,cosA=AEAD=12\r(52=5)+14.

故答案是:5)-12：5)+14.

福建福州21.如图①，在放ZXABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,匈点、P从点A开

妁沿边4c向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点。从点C开始沿边CB向点B以

每秒2个单位长度的速度运动，过点？作「。〃8(7,交AB于点D,连接PQ.点尸、。分

别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为

1秒(仑0).

(1)直接用含f的代数式分别表示：QB=,PD=.

(2)是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说

明理由.并探究如何改变点Q的速度(匀速运动)，使四边形PDBQ在某一时刻为

菱形，求点。的速度；

(3)如图②，在整个运动过程中，求出线段P。5点M所经过的路径长.

解答：解：(l)0B=8-2f,PD=43t.

Q）不存在.

在中，ZC=90°,AC=6,8c=8,AB=10.

VPD//BC,：./\APD^/\ACB,二ADAB=APAC,即：AD10=t6,AAD

=53t,BD=AB~AD=\0~53t.

'：BQ//DP,：.当BQ=DP时，四边形PDBQ是平行四边形，即8—2[=43,,

解得：f=125.

当f=125时，PO=43xl25=165,80=10—53x125=6,，DP,BD,：.nPDBQ

不能为菱形.

设点。的速度为每秒v个单位长度，则8。=8—必PO=43t,8。=10—53f.

要使四边形PO8Q为菱形，贝IJPO=8O=8Q,

当产。=8。时,即43r=10—53/,解得：f=103.

当尸。=8。时，1=103时，即43xl03=8—103v,解得：v=1615.

(3)解法一：如图2,以C为原点，以AC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系.

依题意，可知0SW4,当f=0时，点切的坐标为(3,0)；

当f=4时,，点的坐标为(1，4).设直线的解析式为y=H+b,

3k+b=0k+b=4),解得：k=-2b=6).A直线“幽2的解析式为丫=一

2x+6.

•.•点2(0,2r),尸(6—f,0),二在运动过程中，线段尸。中点的坐标为

(6~t2,r).

把尤=6—12,代入y=-2r+6,得y=-2x6—t2+6=r.点M3在直线

MIM2±.

〃2N_LX

过点“2作轴于点N,则M：N=4,MiN=2.M,M2=25.

•••线段PQ中点M所经过的路径长为25单位长度.

解法二：如图3,设E是AC的中点，连接ME.

当f=4时，点。与点B重合，运动停止.设此时P。的中点为尸，连接EF.

过点“作MV_LAC,垂足为N,则MN〃BC.A/\PMN^/\PDC.

：.MNQC=PNPC=PMPQ,B[J：MN2t=PN6—1=12.；.MN=t,PN=3-12t,：.CN

=PC-PN=(6-f)-(3—12r)=3—12r.

EN=CE-CN=3-(3—12r)=⑵.S”/MEN=MNEN=2.

的值不变，，点M在直线E尸上.

过尸作F〃_LAC,垂足为“.则E”=2,FH=4.：.EF=25.

,：当，=0时，点M与点E重合；当1=4时，点M与点尸重合，；.线段PQ中点/所

经过的路径长为25单位长度.

22.如图①，已知抛物线y=af+加S知)经过A。，0)、8(4,4)两点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D,

求机的值及点。的坐标;

(3)如图②，若点N在抛物线匕且NNBO=NAB。，则在(2)的条件下，求出所有满

足△POQs^NOB的点尸的坐标(点尸、0、。分别与点N、0、8对应).

解：(1)：抛物线y=o?+皿帕))经过点—(3,0)、8(4,4).

9a+3b=016a+4b=4),解得：a=lb=­3).抛物线的解析式是y=

X2—3X.

(2)设直线OB的解析式为y=Ex,由点8(4,4),得：4=4"解得自=1.二直线

OB的解析式为y=x.

直线向下平移机个单位长度后的解析式为：y=x-m.

,/点。在抛物线y=f—3x上.；.可设Q(x,X2-3X).又点。在直线y=x

~m上，

X2~3X—x~m,即/一4x+m=0.

,/抛物线与直线只有一个公共点，..•Z\=16—4〃?=0,解得：%=4.

此时修=孙=2,y=j?—3x=—2,，。点坐标为(2,—2).

(3)V直线OB的解析式为y=x,且A(3,0),...点A关于直线。8的对称点4

的坐标是(0，3).

设直线A3的解析式为y=Bx+3,过点8(4,4),4&+3=4,解得：幻=

14.

，直线A3的解析式是y=14x+3.

■:/NBO=NABO,：.点N在直线A5上，设点N(〃，14〃+3),又点N

在抛物线y=?-3x上，

14〃+3=〃2—3”,

解得：«i=-34,“2=4(不合题意，会去)，，点N的坐标为(-34,4516).

方法一：如图1,将△N08沿x轴翻折，得到△NQ团,则州(一34,—4516),

Bi(4.-4),

二0、D、Bi都在直线丫=一》上.

V/XP\OD^/XNOB,:.丛P\ODS/\N\OB\,OP1ON1=ODOB1=12,

点Pi的