作业01 等腰三角形与直角三角形-2021年八年级数学暑假作业（北师大版）（解析版）

作业01等腰三角形与直角三角形

注意事项：

本试卷满分120分，完成时间90分钟，试题共25题.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自

己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.

基础过关（70分）

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.（2020•江苏苏州中学初二期中）一个三角形分别符合下列条件：①有一个角等于60°的三角形；②有一

个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也

是这条腰上的高的等腰三角形，其中能判定是等边三角形的序号有（）

A.①0@B.②④C.③④D.②③④

【答案】D

【分析】根据等边三角形的判定选出正确选项.

【解析】解：①不可以，只有一个角是60°,条件不足；

②可以，一个角是60°的等腰三角形，即三个角都是60°,是等边三角形；

③可以，三个外角相等，即外角都是120°,则每个内角都是60°,是等边三角形；

④可以，腰上的中线也是腰上的高，说明另一个腰和底边相等，三个边都相等，是等边三角形；

②③④可以.故选：D.

【点睛】本题考查等边三角形的判定，解题的关键是掌握等边三角形的判定方法.

2.（2020•四川成都市♦天府七中）AABC中，ZA,DB,NC的对边分别记为a,b,c,由下列条件不

能判定AABC为直角三角形的是（）

A.NA=NB+NCB.ZA:Zfi:NC=1:1:2C.b2=a2+c1D.a：b：c=\：\：2

【答案】D

【分析】根据三角形内角和定理可判断A和B,根据勾股定理可判断C和D.

【详解】A.；ZA=ZB+NC,ZA+NB+NC=180°,.•.2ZA=180°,二ZA=90°,

.•.△ABC为直角三角形，不符合题意，故A错误；

B.vZA:Zfi:ZC=l:l:2,,-,ZA=ZB，ZC=2ZA，

又：Z4+NB+NC=180°,.-.ZA+ZA+2ZA=180o,ZA=45°,

.,.NC=2NA=90°,「.△ABC为直角三角形，不符合题意，故B错误；

..△AB。是直角三角形，不符合题意，故c错误；

D.•.•a：b：c=l:l:2,:.b=a,c=2a,：.a2+b2^c2<

.•.△ABC不是直角三角形，符合题意，故D正确.故选D.

【点睛】本题考查了三角形内角和定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握各知识点是解答本题的关键.如

果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，在一个三角形中.

3.（2020•宁波市海曙区储能学校初二期末）若AABC中刚好有NB=2NC,则称此三角形为“可爱三角

形”，并且NA称作“可爱角现有一个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明的同学们知道这个三角形的“可

爱角”应该是（）.

A.45°或36°B.72。或36°C.45°或72°D.36°或72°或45°

【答案】C

【分析】根据三角形内角和为180。且等腰三角形的两个底角相等，再结合题中一个角是另一个角的2倍即

可求解.

【解析】解：由题意可知：设这个等腰三角形为AABC,且NB=2NC,

情况一：当/B是底角时，则另一底角为NA,且NA=/B=2NC,

由三角形内角和为180°可知：ZA+ZB+ZC=180°,

，5NC=180。，Z.ZC=36°,NA=NB=72。，此时可爱角为NA=72°,

情况二：当NC是底角，则另一底角为/A,且NB=2NA=2NC,

由三角形内角和为180°可知：ZA+ZB+ZC=180°,.,.4ZC=180°,即NC=45。，

此时可爱角为/A=45。，故选：C.

【点睛】本题借助三角形内角和考查了新定义题型，关键是读懂题目意思，熟练掌握等腰三角形的两底角

相等及三角形内角和为180°.

4.（2021•保定市第十九中学初二期中）在△ABC中，ZA=30°,AC=4,BC=2近,那么N/LBC

为（）度.

A.45B.60或120C.45或135D.30

【答案】C

【分析】分NABC为锐角和钝角两种情况，运用直角三角形的知识进行解答即可.

【解析】解：如图1，当NABC为锐角时，

A

D

图1D'l图2

作CDJ_AB于D,VZA=30°,ACD=AC=2,又BC=20,

.•.BD=J（20『-22=2，，BD=CD,.•.△BCD是等腰直角三角形，.^.NABC=45。；

如图2,当/ABC为钝角时，同理可求出/CBD=45。，；./ABC=135。，故选：C.

【点睛】本题考查的是含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，以及分

类讨论的数学思想，正确作出辅助线、构造直角三角形、灵活运用直角三角形的知识求解是解题的关键.

5.（2020•哈尔滨市第三十九中学初二月考）如图，AABC顶角为120。，AB=AC,EC=4,现将△ABC

折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则OE的长为（）

A.1B.2C.夜D.6

【答案】A

【分析】根据等腰二角形的性质和三角形的内角和定理可得/B=NC=30。，根据折叠的性质可得NBAE=

ZB=30°,ED±AB,进而可得NEAC=90。，然后分别在直角^AEC和直角4ADE中利用30°角的直角三

角形的性质求解即可.

【解析】解：；NBAC=120。，AB^AC,.,.ZB=ZC=30°,

:将AABC折叠，使点3与点A重合，折痕为OE，

/.ZBAE=ZB=30°,ED1AB,/.ZEAC=120°-30°=90°,

VEC=4,：.AE=-EC=2,在AADE中，；/ADE=90。，ZDAE=30°,：.DE=-AE=\.故选：A.

22

【点睛】本题考查J’折叠的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理以及30。角的直角三角形的性质，

熟练掌握以上知识是解题的关键.

6.（2020•保定市第一中学分校初二期末）如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在AB上的点E

处，已知8C=12,ZB=30%则。E的长是（)

A.6B.4C.3D.2

【答案】B

【分析】根据折叠的性质可得^ADE丝AADC,从而得出AD平分NBAC,NC=/AED=90°,根据角平

分线的性质和30°所对直角边等于斜边的一半求解.

【解析】解：折叠的性质可得4ADE丝AADC,；.AD平分/BAC,ZC=ZAED=90°,DE=DC,

VZB=30°.-.DE=-BD.-.DC=-BD

22

VBC=12A3DC=12DC=4/.DEM.故选：B

【点睛】本题考查了酬折变换，直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是本题关键.

二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）

6.（2020•江阴市长寿中学初二月考）如图，ZiABC中，AB=8,AC=6,NABC和/ACB的平分线交于

点O,过O点作MN〃BC,分别交AB、AC于M、N点，则AAMN的周长为.

【答案】14.

【分析】根据角平分线的定义可得NABO=NOBC,再根据两直线平行，内错角相等可得NOBC=NBOM,

从而得到/ABO=/BOM,根据等角对等边的性质可得BM=OM,同理可得CN=ON,然后求出AAMN的

周长=AB+AC,代入数据进行计算即可.

【解析】解：YOB平分NABC,.,.ZABO=ZOBC,

VMN//BC,AZOBC=ZBOM,六NABO=NBOM,，BM=OM,

同理可得CN=ON,.♦.△AMN的周长=AM+MO+ON+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC,

VAB=8,AC=6,...△AMN的周长=8+6=14.故答案是：14.

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及平行线的性质，用到的知识点是等角对等边，两直线平行，内错

角相等，熟记性质是解题的关键.

7.（2021•河南商丘市•八年级期末）如图，在小人笈。中，乙4cB=90。,4。=8。,。七_18及。后与43相

交于点凡且CD=BE,则NACD、NCBA、NOA尸之间的数量关系是

【答案】ZACD=ZCBA+ZDAF

【分析】先利用同角的余角相等得到NACD=NCBE,再通过证AAC*ACBE，得到

NADC=NCEB=9O。即NADP=NCE3=90。，再利用三角形内角和得

180°-ZA77）-ZADF=180°-NEFB-NFEB可得ND4E=ZEB/，最后利用角的和差即可得到答案,

ZACD=NCBE=NCBA+NEFB=NCBA+NDAF.

【详解】证明：•••NACB=90°，CELBE

：.ZACD+NECB=90°,NCBE+NECB=90°；,ZACD=ZCBE

又AC=BC，CD=BE:.AAC哈ACBE：.NADC=NCEB=90。即NADF=NCEB=90。

,//AFD=ZEFB1800-ZAFD-ZADF=1800-ZEFB-ZFEB即/DAF=ZEBF

：.ZACD=NCBE=NCBA+NEFB=ZCBA+ZDAF故答案为：ZACD=ZCBA+ZDAF.

【点睛】本题考查了直角三角形的性质、内角和定理以及全等三角形的判定和性质，能通过性质找到角与

角之间的关系是解答此题的关键.

9.（2020•山东招远•初一期末）已知NAOB=60。，OC是NAOB的平分线，点D为OC上一点，过D作直

线DE_LOA,垂足为点E,且直线DE交OB于点F,如图所示，若DE=4,则DF=—.

【答案】8

【分析】根据角平分线求出NEOOuNbOOuBO。，在30°的吊AEOD中易求8和OE的长，同理在

R?AEO尸求出EF的长,即可得出答案.

【解析】•.•NAQB=60°，OC是NAOB的平分线.•.NEOD=NR9D=30°

在R^EOD中,NEOD=30°,DE=4-QD=S,OE=yJOD2-ED1=

在Rt^EOF中，/EOF=60°,OE=4石/.ZEFO=30°,OF=8百

/.EF=y]OF2-OE2=12，09=瓦'一。后=12—4=8故答案为：8.

【点睛】本题考查角平分线的定义、含30。的直角三角形的解法，掌握30。直角三角形的特征是解题关键.

10.（2020•内蒙古凉城•初二期末）如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若

【解析】设NA=x,

AP产P|P2=P2P3j..=P|3P14=P14A,NA=NAP2P尸NAP|3P|4=X.

...NP2Plp3=/P|.lP14Pl2=2X,/P2P3P4=/Pl3P12Pl0=3X,.......,ZP?PftP8=Z?8?9?7=7X.

...NAP7P8=7X,NAP8P7=7X.

在AAP7P8中，ZA+ZAP7P8+ZAPSP7=180°,即X+7X+7X=180°.

解得x=12°,即NA=12°.

三、解答题（本大题共5小题，共40分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程

或演算步骤）

11.（2020•河北安平•初二期末）如图，在AA8C和ADC8中，NA=NO=90°,AC=BD,AC与BD

相交于点。.（1）求证：MBgADCB；（2）A03C是何种三角形？证明你的结论.

【答案】（I）见解析；（2）AOBC是等腰三角形，证明见解析

【分析】（1）根据已知条件，用HL直接证明RtAABC^RtADCB即可;

（2）利用全等三角形的对应角相等得到NACB=NDBC,即可证明AOBC是等腰三角形.

【解析】证明：(1)在AA3C和ADCB中，NA=ND=90°

AC=BD，BC为公共边，；.Rt^BC当RtADCB(HL)

(2)AOBC是等腰三角形

,；Rt^ABC丝Rt^DCB：.ZACB=ZDCB

：.OB=OC，AOBC是等腰三角形

【点睛】此题主要考查学生对直角三角形全等的判定和性质以及等腰三角形的判定的理解和掌握，熟练掌

握相关判定定理和性质定理是解题关键.

12.(2020•河北初三其他)己知等腰三角形ABC,AB=AC，。为射线8C上一点，以AO为一边作等

腰三角形，且=连接DE，/BAC=ZDAE,CD=2,BC=3.

(1)如图1，当点。在线段8C上时，求线段CE的长.

(2)如图2,当点。在8。延长线上时，若Nl=40。，求N2的值.

【答案】140°

【分析】(1)利用“SAS”可证△ABDg/XACE,可得BD=CE,即可解题；

(2)利用“SAS”可证△ABDgaACE,可得NACE=NB,即可解题.

【解析】(1)VZDAE=ZBAC,ZBAD=ZCAE,

AB=AC

在4ABD和4ACE中，＜ZBAD=ZCAE,.♦.△ABD丝ZXACE(SAS),

AD=AE

，CE=BD=BC-CD=3-2=1；故答案为：1；

(2)；NDAE=NBAC,NBAD=NCAE,

AB=AC

在AABD和4ACE中，ABAD=ZCAE,.,.AABD^AACE(SAS),.\ZACE=ZB,

AD^AE

1800-40°

VAB=AC,Zl=40°,.\ZACE=ZB=---------------=70°,AZ2=180°-70o-70o=40°；故答案为：40°.

2

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解本题的

关键是判断出△△ABD丝Z\ACE.

13.（2021•吉林永吉•期中）如图所示，4ABD和AAEC都是等边三角形，连接BE和CD,BE和CD相交

于点O.（1）猜想线段DC与BE的数量关系，并说明理由；（2）求/BOC的度数.

【答案】（I）DC=BE,详见解析；（2）120°

【分析】（1）要证明DC=BE,只要证明AZMC=ABAE（SAS）即可；

（2）由AZMCMM4E，推出NADC=NABE,再利用三角形的外角的性质即可解决问题；

【解析】解：（1）DC=BE,理由如下：•••AABD,AAEC都是等边三角形，

:,AD=AB,AC=AE,ZDAB=ZABD=^ZADB=ZCAE=60°,

ZDAB+ZBAC=ZCAE+ZBAC，即NZMC=NB4E，

AD=AB

在ADAC和AJRAE中，-ZDAC=ZBAE,:.\DAC\BAE（SAS）,;.CD=BE.

AC=AE

（2）-.■ADAC=ABAE,:.ZADC=ZABE,

ZBOC=NOBD+NODB=ZABD+ZABE+ZODB=ZABD+ZADC+ZODB=ZABD+ZADB=120°.

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全

等三角形解决问题，属于中考常考题型.

14.（2020•珠海市文园中学初二期中）已知：△ABC中，AB=13,AC=9,8c=4如，BOLAC于。.

（1）求线段2。的长；（2）点P为射线8c上一动点，若aBOP为等腰三角形，求BP的长.

【答案】（1）12；（2）12或吧"6或2M

5

【分析】（1）设AD=x,则CD=9-x,在HFAAC心和汝ABOC中应用勾股定理即可求解；

（2）分三种请讨论，分别为BD=BP或DP=DB或PD=PB,应用等角对等边和勾股定理即可求解.

【解析】（1）设MCD=9-x,'：BD±AC,：.ZADB=ZBDC=90°,

由勾股定理得：AB--AD^BD^BC1-CD2,A132一V=(4痴/-(9-，

解得：x=5,/.BD=7AB2-AD2=12：

(2)♦.•△8DP为等腰三角形，.•.分三种情况：①若则8尸=12,

②若。P=QB,过点。作。£_LBC于点E,如图1所示：

BD£D12x4

S人"=1BD'CD=-BC.DE,：.DE=

△戚22BC47105

：.BE=4BD2-DE2==而,,.•8。=皿）且。£：1.8。，：.BP=2BE=—J1O,

55

③若PD=PB,如图2所示:

图2

•：PD=BP,.\Z1=Z2,VZBDC^90°,.*.Z2+Z3=9O°且/l+N4=90°,

二/3=N4.,.?£>=尸C,：.BP=PC,：.BP=­BC^2y110>

Q/2

综上所述：当△8/9P为等腰三角形时，8p=12或吧而■或2M.

5

Q/7

故答案为(1)12；(2)12或及JIF或2加.

5

【点睛】本题考查了勾股定理和等腰三角形的性质，分三种情况讨论是解决第二个间的关键，一定不要忘

记讨论某一种情况，围绕三个顶点、三条边分别讨论即可.

15.(2020•广州市第九十七中学期中)如图，AABC和ZiCDE都是等边三角形，点E在BC上，AE的延长

线交BD于点F.(1)求证：AACE丝ABCD；(2)探究/CFD的度数；(3)探究EF、DF、CF之间的

关系.

D

【答案】（1）见解析；（2）60°；（3）CF=EF+DF,理由见解析

【分析】（1）根据等边三角形的性质和“SAS”即可证明4ACE丝ABCD；

（2）延长AF到Q,使FQ=DF,连接DQ,先证明ADFQ是等边三角形，再根据“SAS”证明△CDF♦A

EDQ,即可求出NCFD的度数；（3）由4CDF丝可得CF=EQ,进而可得到EF、DF、CF之间的

关系.

【解析】解：（1）:△ABC和ACDE都为等边三角形，.•.NACE=NBCD=60。，AC=BC,CE=CD,

AC=BC

在AACE和ABCD中|NACE=N8C。..,.AACE^ABCD；

CE=CD

(2)延长AF到Q,使FQ=DF,连接DQ,VAACE^ABCD,ZCAE=ZCBD,

又；/AEC=/BEF,.,.ZAFB=ZACB=60°./.ZDFQ=60°,Z\DFQ是等边三角形，

AZFDQ=ZFQD=60°,DF=DQ,AZCDF=ZEDQ,

CD=DE

在ACDF和AEDQ中＜NCOEnNEOQ,.'△CDF丝ZXEDQ,AZCFD=ZDQF=60°；

DF=DQ

⑶VACDF^AEDQ,，CF=EQ,：EQ=DF+FQ=EF+DF,；.CF=EF+DF.

【点睛】本题考杳了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法（即

SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题

的关键.

能力培优（50分）

一、选择题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.（2020•保定市第三中学分校初二期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1/），在》轴上确

定点P，使AAOP为等腰三角形，则符合条件的点P有（）

"I

•A

-----------o---------------

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】C

【分析】先计算的长，再以0A为腰或底分别讨论，进而得出答案.

【解析】解：如图，。4=炉不=0，当4。=。乃，AO=O尸3时，P（-拒，0）,Pi（0,0）,

当AP?=OP2时，Pi（1,0）,当AO=AR时，PA（2,0）,故符合条件的点有4个.故选：C.

【点睛】本题以平面直角坐标系为载体，主要考查了勾股定理和等腰三角形的定义，属于常考题型，全面

分类、掌握解答的方法是关键.

2.（2021•北京房山区•八年级期末）如图甲，直角三角形AABC的三边a,b,c,满足/+〃=/的关系.利

用这个关系，探究下面的问题：如图乙，AOAB是腰长为1的等腰直角三角形，/。钻=90°,延长。4至

用，使,以。片为底，在AOAB外侧作等腰直角三角形。44，再延长0A至星，使4B?=，

以。为底，在AOA4外侧作等腰直角三角形。按此规律作等腰直角三角形OA“纥（〃？1,

〃为正整数），则&与的长及A。4）?乃2021的面积分别是（)

甲乙

A.2,22020B.4,22021C.2应，22020D.2,22019

【答案】A

【分析】根据题意结合等腰直角三角形的性质，即可判断出4打的长，再进一步推出一般规律，利用规律

求解AOAOZBM的面积即可.

【详解】由题意可得：OA^AB=AB]=\,。玛=2,

：AOA4为等腰直角三角形，且“直角三角形AABC的三边小b,c,满足的关系”，

.•.根据题意可得：。41=44=应，，。耳:=2。41=2及，，。4=&坊=（女『=2,

…，.•.总结出04=（夜『，

•；S^QAB=]Xlxl=/,SAO4iB|=­X>/2XA/2=1,SAOAiBi=-x2x2=2,

202

二归纳得出一般规律：5.0AA=gx（四）夜）"=2"T’...，。&偈侬，：？。，故选：A.

【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，图形变化类的规律探究问题，立即题意并灵活运用等腰直角三

角形的性质归纳一般规律是解题关键.

3.（2020・浙江嘉兴市•八年级期末）如图，在等腰RMABC中，NACB=90°,点P是△A6C内一点，

且CP=1,BP=6,AP=2,以CP为直角边，点C为直角顶点，作等腰下列结论：①点

A与点D的距离为&；②AP_LPC；③AB=26；④S.WB=2,其中正确结论有是（）

D

A.①②③B.(2X4)C.①@D.②③④

【答案】C

【分析】连结AD,由等腰，可得AC=BC,等腰，可得CD=CP,由余角性质可/DCA=

/PCB,可证aADC〈ABPC(SAS)AO=BP=0可判断①，由勾股定理DP=JcD?+Cp2=J5,再

I1JAD2+DP2=(^)2+(^)2=4=AP2,可证aADP为等腰直角三角形，可判断②，由PB与PD可求

BD=20,由勾股定理AB=JAD?+BD2=JF5,可判断③，由面积==l可

判断④即可

【详解】连结AD,在等腰RhABC中，ZACB=9Q°,；.AC=BC,

：RMOCP是等腰三角形，；.CD=CP,AZACD+ACP=90°,ZACP+ZPCB=90°,AZDCA=ZPCB,

在aADC和aBPC中，AC=BC,NDCA=NPCB,DC=PC,

.,.△ADC^ABPC(SAS),；.AD=BP=B①点A与点D的距离为&正确，

在RtADCP中，由勾股定理DP=JCD?+CP2=近，

在4ADP中，AD?+DP2=(&『+(、5『=4=AP，.•.△ADP为等腰直角三角形，

.•.AD_LDP,②AP_Lj°C正确;

BD=BP+PD=20,在RtaADB中，由勾股定理，AB=VAD2+BD2=72+8=710-③AB=2&不正确：

S^APB=PB»AD=>/2xy/2=1,④Sa”8=2不正确.故选择：C.

【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质与判定，三角形全等的判定与性质，三角形面积，勾股定理的应

用，掌握等腰直角三角形的性质与判定，三角形全等的判定与性质，三角形面积，勾股定理的应用是解题

关键.

4.（2020•山东昌乐二中月考）如图，点O是等边三角形ABC内一点，连接OA、OB、OC,并以OC为一

边向外作等边三角形OCD,连接AD.若/AOB=110°,ZBOC=I50°,则NOAD的度数为（）

A.45°B.50°C.55°D.60°

【答案】B

【分析】根据已知易证4ACD-BCO,得出/ADC=NBOC=150。，又因AOCD是等边三角形，易证N

ADO=90°,又由/AOB+/BOC+/AOC=360。，求出NAOC=100。，从而得/AOD=40。，再根据直角三角形

的两个内角互余即可求出NOAD的度数.

【解析】:△ABC和AOCD是等边三角形，.,.AC=BC,OC=CD,ZODC=ZDCO=ZCOD=ZACB=60°,

ZDCO-ZACO=ZACB-ZACOB|IZACD=ZBCO.

'AC=BC

在AACD和△BCO中《ZACZ）=NBCO.-.AACD^ABCO.AZADC=ZBOC=150°./.ZADO=90°,

DC=OC

VZAOB+ZBOC+ZAOC=360°,/.ZAOC=100°,AZAOD=40°,AZOAD=90°-40°=50°.故选B.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质，掌握相关知识是解题的关键.

二、填空题（本大题共3小题，每小题4分，共12分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）

3.（2020•浙江绍兴市•九年级其他模拟）如图，在等腰三角形ABC中，AC=BC=4,NA=30。，点D为

AC的中点，点E为边AB上一个动点，连接DE,将4ADE沿直线DE折叠，点A落在点F处.当直线

EF与直线AC垂直时，则AE的长为.

EB

【答案】2叵或2c

【分析】当直线EF与直线AC垂直时，如图1,如图2,根据折叠的性质得到和等腰三角形的判定和性质

定理以及直角三角形的性质健康得到结论.

【详解】解：；AC=4,点D为AC的中点，；.AD=!AC=2,

2

①当直线EF与直线AC垂直时，如图1,

•.•将4ADE沿直线DE折叠，点A落在点F处，二/F=NA=30。，/AED=/FED,

VZAGE=90°,/.ZAEG=60°,/AED=/FED=30°,.\AD=DE=2,

争2=2"

过D作DM_LAE与M,/.AE=2AM=2x

当直线EF与直线AC垂直时，如图2,

•.•将4ADE沿直线DE折叠，点A落在点F处，二/F=/A=30。，ZADE=NFDE,

ZAGE=ZFGE=90°,/.NFGD=60°,ZADE=ZFDE=30°,

.*.ZA=ZADE,；.AE=DE,.\AG=—AD=1,；.AE=^^,

23

综上所述，斗或2道故答案为：半或26.

【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）等腰三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，正确的

作出图形是解题的关键.

6.（2020•哈尔滨市实验学校初三月考）如图，AA3C,点。在A3上，点E在AC■上，连接C£）,OE,

若NEDA=2NANCDE=2ZACD,30:AO=1:3,BC=01,3。=石，则线段AC的长为

E

ADB

【答案】9

【分析】根据根据三角形角和是180。，由NEDA=2N4NCDE=2ZACD,可求得NADC=120。，过

点C作CFJ_AB于F,在RtZXDCF中，NDCF=30°,设DF=x,CF=£c，由班)：4)=1：3求得AD,

在Rt^DCF和RdACF中，利用勾股定理先求DF,CF,最后求得AC长，问题可解.

【解析】解：如图过点C作CF1ABTF，

•//F.DA7/A.ZCDE=2ZACD,：.ZADC=ZEDA+ZCDE=2（ZA+ZACD）

ZA+ZACD+ZADC=180°，，3（ZA+ZAC£>）=180°,ZA+ZACD=60°

ZADC=120°ADCF=ZADC—NF=120°-90°=30°

BD:AD=1.3,BD=6:.AD=36在RtZ\CDF中，ZDCF=30°,=

设DF=x,DC=2x,CF=y/DC2-DF2=y/3x>

在RtaBCF中，BF=X-5根据勾股定理，可列方程（0T『=（x—指）2+（、&）2，

解得，x.=,x,——\/3（舍去）.1.DF=-,CF=—>

1222

在a/XAC/中，AF=AD+DF=3A^+.

22

...AC=7AF2+CF?=J（券]+（£=9.故答案为：9

【点睛】本题考查了三角形中的角和线段的计算问题，熟练应用三角形内角定理及勾股定理是解决本题的

关键.

7.（2020•四川青白江祥福中学期中）如图，在AABC中，AB=AC=2,点P在BC上；若点P为BC的中

点，则加=AP2+8PPC的值为.若BC边上有2020个不同的点，PHP2,P3,…，P2020.且

相应的有叫=A/]?+WC,m2=AP;+BP2-P2C,■■­,牡（⑶=A为20+吕乙磔,£020。，则

m,+/n,+m,+•■•+/M,020的值为

【答案】48080

【分析】（1）根据勾股定理及题意可进行求解；

22

（2）过点A作ADLBC交于点D,根据勾股定理可得432=4）2+8。2,AP；=AD+PtD,根据平

方差公式可得Al—A邛=5/52—[。）=片根据等式的性质可得

m[=AP；+BPcP,C=AB-=4,由此规律可进行求解.

【解析】解：①•••AB=AC=2,点P是BC的中点，...APLBC,BP=PC,

..在RtaABP中，AB2=BP2+AP2=4-AP2+BP-PC=AP2+BP2

②如图过点A作AD±BC交BC于点D,

vAB=AC=2,，BD=DC,在RtZ^ABD中，AB2BD2+AD2'①

在RtAAR。中，AP；=P.D2+AD2,②

①-②得：AB?_A《2=92_弓02=（30+qo）（BO_qo）=《c

2

m,=AP；+BP{P,C=AB=4,

同理可得：a?=4尸+8鸟鸟。=4,/4=A厅+3月月。=4.....

.■.町+，4+加,+…+?mo=4x2020=8080；故答案为4；8080.

【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、勾股定理及平方差公式，熟练掌握等腰三角形的性质、勾股定

理及平方差公式是解题的关键.

三、解答题（本大题共3小题，共26分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程

或演算步骤）

8.（2021•上海九年级专题练习）已知，在Rt^ABC中，NB4C=90°,点。为边AB的中点，AE1CD

分别交CD,BC于点F，E.

（1）如图1,①若A8=AC,请直接写出NE4C—NBCD=；

②连接£>E，若AE=2DE,求证：NDEB=ZAEC；

（2）如图2,连接FB，若FB=AC,试探究线段。尸和。尸之间的数量关系，并说明理由.

【答案】（1）①45。；②见解析：（2）CF=2DF,理由见解析

【分析】（1）①利用直角三角形两个锐角相加得90°和三角形的外角等于不相邻的两个内角和的性质结合

题干已知即可解题.②延长或）至点G,使得£>G=£>E,连接AG,从而可证明AADG也ABDE（SAS）,

再利用全等的性质，可知即可知道AG//BC,所以NG4E=NAEC,根据题干又可得

到AE=£G,所以NOG4=NGA£，从而得出结论.

（2）延长8至点H,使得DH=DF，连接BH，从而可证明△HD8岭△EQ4（SAS）,再利用全等

的性质，可知BH=AF，NH=ZAFD=ZAFC=90°，根据题干即可证明RtA/ZBF丝RtAE4C（WD,

即得出结论.

【详解】（I）①•••N£AC+ZAGD=90°,ZAEC+ZBCD=90°/.ZEAC-ZBCD=ZAEC-ZACD

•：ZEAC+4BAE=90°/.ZACD=NBAE

又•••ZAEC=N5+ZBAE：.ZEAC-/BCD=NB+ZBAE-ZACD

：.ZEAC-ZBCD=ZB=450故答案为45°.

②如图，延长。至点G，使得。G=DE,连接AG,

♦.•点。为A3的中点，,B£>=4），

又,：AADG=/BDE、：,AADGGABDE，：・^DGA=4DEB,：.AGHBC，：./GAE=ZAEC，

又,：AE=2DE，：,AE=EG,：♦/DGA=4GAE,：.4DEB=ZAEC.

（2）CF=2DF.如图，延长CD至点H，使得DH=DF，连接5H，

•/AD=BD,ZADF=ZBDH，:.AHDB空△FDA,

BH=AF，N〃=ZAFD=ZAR:=90°，

VBF=AC./.RtAHBFRtAE4C，ACF=HF=IDF.

【点睛】本题主要考查直角三角形的角的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质以及平行线

的性质.综合性较强，作出辅助线是解答本题的关键.

9.如图，在AABC中，点E在边BC上，连结交于瓦。0//48,4口，8。交5。于

F,BHLAE交AE于H，交AF于点、N.（1）若BE=2CE=4,AE=y/H,AB=5，求AABC的面积;

（2）若AE=BN,AN=CE,求证：BC=-J1CM+2CE.

【答案】（1）12（2）见解析

【分析】（1）利用直角三角形AFE与直角三角形4?尸，用勾股定理列方程求EF,再求AF即可得到面

积；（2）连接EN,先证明M/W也AAFE,得到EF="NE，再证明八6任四AECM,得到

2

EF=舁CM，从而得到答案.

2

【详解】解：（1）设稗=%，由3E=4,所以BE=4—x,

因为AFJ_BC，AE=4ii,AB=5,所以他2—砂2=.2一8/2,