广东省三校2024-2025学年高二上学期第一次质量检测试题 数学含答案

广东省三校2024-2025学年高二上学期第一次质量检测试题2024-2025学年高二第一学期第一次月考数学科试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）1.如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（）A.三棱锥 B.四棱锥 C.三棱柱 D.组合体2.棱长为的正四面体的表面积为（）A. B. C. D.3.如图，在正四棱台中，分别为棱的中点，则（）A.直线与直线是异面直线 B.直线与直线是异面直线C直线与直线共面 D.直线与直线共面4.底面积是，侧面积是的圆锥的体积是（）A. B. C. D.5.已知正方体中，E为中点，则异面直线与CE所成角的余弦值为（）A. B. C. D.6.如图，在正四棱台中，，则该正四棱台的体积为（）A. B. C. D.7.我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题:“今有木长二丈，围之三尺.葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何?”其意思为:“圆木长2丈，圆周长为3尺，葛藤从圆木底部开始向上生长，绕圆木7周，顶部刚好与圆木平齐，问葛藤长为多少?"若1丈尺，则葛藤最少长（）A.21尺 B.25尺 C.29尺 D.33尺8.如图所示，在正方体中，E，F分别为，AB上的中点，且，P点是正方形内的动点，若平面，则P点的轨迹长度为（）A. B. C. D.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的部分分，有选错的得0分.）9.已知，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，有如下四个命题，其中正确的是（）A.若，，则 B.若，，，则C.若，，，则 D.若，，则10.在实践课上，小华将透明塑料制成了一个长方体容器，如图（1），，，在容器内灌进一些水，现固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，如图（2），则（）A.有水的部分始终呈三棱柱或四棱柱B.棱与水面所在平面平行C.水面EFGH所在四边形的面积为定值D.当容器倾斜成如图（3）所示时，EF的最小值为11.半正多面体（semiregularsolid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），若它的所有棱长都为，则（）A.平面EABB.该二十四等边体的体积为C.该二十四等边体外接球的表面积为D.PN与平面EBFN所成角的正弦值为三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分）12.如下图，三角形A'B'C'是三角形ABC的直观图，则三角形ABC的面积是_______.13.圆柱的底面半径为1，侧面积为，则该圆柱外接球的表面积为______．14.球面被平面所截得一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为，球冠的高是，球冠的表面积公式是.如图2，已知是以为直径的圆上的两点，，扇形的面积为，则扇形绕直线旋转一周形成的几何体的表面积为__________.四、解答题（本题共5小题，共7分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.如图，在正三棱柱中，，，，分别是，，，的中点.（1）求证：，，，四点共面；（2）求证：平面平面；16.如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足.（1）若，Q为PB的中点，求三棱锥的体积；（2）求证：AN⊥平面PBM；（3）若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.17.我国古代数学名著《九章算术》中，称四面都为直角三角形的三棱锥为“鳖臑”．如图，在三棱锥中，平面．（1）证明：三棱锥为鳖臑；（2）若为上一点，点分别为的中点．平面与平面的交线为．①证明：直线平面；②判断与的位置关系，并证明你的结论．18.一块四棱锥木块如图所示，平面，四边形ABCD为平行四边形，且，.（1）要经过点B、D将木料锯开，使得截面平行于侧棱，在木料表面该怎样画线？并说明理由；（2）计算（1）中所得截面的面积；（3）求直线SC与（1）中截面所在平面所成角的正弦值.19.空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在直三棱柱中，点A的曲率为，M为的中点，且.（1）判断形状，并说明理由；（2）若，求点到平面的距离；（3）表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为D，棱数为L，面数为M，则有：.利用此定理试证明：简单多面体的总曲率（多面体有顶点的曲率之和）是常数.

2024-2025学年高二第一学期第一次月考数学科试题一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】C二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的部分分，有选错的得0分.）【9题答案】【答案】BC【10题答案】【答案】ABD【11题答案】【答案】BD三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分）【12题答案】【答案】2【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】四、解答题（本题共5小题，共7分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）【15题答案】【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【16题答案】【答案】（1）（2）证明见解析