新教材同步系列2024春高中数学第六章平面向量及其应用6.2平面向量的运算6.2.4向量的数量积课件新人教A版必修第二册

第六章平面向量及其应用6.2平面向量的运算6.2.4向量的数量积学习目标素养要求1．理解平面向量夹角的定义，并会求已知两个非零向量的夹角数学运算2．理解平面向量数量积的概念及其物理意义，并会计算平面向量的数量积数学运算3．了解平面向量的投影的概念及投影向量的意义数学抽象4．掌握平面向量数量积的性质及其运算律，并会应用数学运算、逻辑推理|自学导引|平面向量的数量积的相关概念1．向量的夹角(0≤θ≤π)

夹角2．两向量的垂直如果a与b的夹角为______，我们说a与b_______，记作a⊥b．3．平面向量的数量积已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量___________叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝__________．规定：零向量与任一向量的数量积为0．垂直|a||b|cosθ

|a||b|cosθ

投影投影向量投影向量【预习自测】已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角θ＝120°，则a·b＝____________，a在b上的投影向量的模为____________．向量的数量积的运算结果与线性运算的结果有什么不同？【提示】数量积的运算结果是实数，线性运算的运算结果是向量．向量数量积的性质设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则(1)a·e＝e·a＝__________．(2)a⊥b⇔__________．|a|cosθ

a·b＝0

【预习自测】判断下列命题是否正确．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若a·b＜0，则a与b的夹角为钝角． (

)(2)|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立． (

)(3)若a·b≠0，则a与b不垂直．

(

)【答案】(1)×

(2)√

(3)√【解析】(1)当a与b的夹角是180°时，a·b＝－|a||b|＜0，但180°不是钝角．(2)若|a·b|＝|a||b|，则|cosθ|＝1，cosθ＝±1，θ＝180°或θ＝0°，则a∥b．(3)由a⊥b⇔a·b＝0知其正确性．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．【预习自测】判断下列命题是否正确．(正确的画“√”，错误的画“×”)【答案】(1)√

(2)√【解析】(1)由数量积的结合律可知其正确性．(2)由数量积的分配律可知其正确性．a·(b·c)＝(a·b)·c成立吗？【提示】(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线．因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立．|课堂互动|题型1平面向量数量积的计算

(1)已知向量a，b满足|a|＝1，a⊥b，则向量a－2b在向量－a上的投影向量的模为 (

)A．0 B．1【答案】B(2)已知|a|＝4，|b|＝5，当①a∥b；②a⊥b；③a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积．解：①当a∥b时，若a与b同向，则θ＝0°，a·b＝|a||b|cos0°＝4×5×1＝20．若a与b反向，则θ＝180°，所以a·b＝|a||b|cos180°＝4×5×(－1)＝－20．②当a⊥b时，θ＝90°，a·b＝|a||b|cos90°＝0．求平面向量数量积的步骤(1)求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]．(2)分别求|a|和|b|．(3)求数量积，即a·b＝|a||b|cosθ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接，也不能省略．求向量的模的常见思路及方法(2)一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等．

【答案】C【答案】B求向量夹角的基本步骤及注意事项(1)步骤：(2)注意事项：在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cosθ的值．【答案】(1)B

(2)－8或5错解：设向量a＋λb与λa＋b的夹角为θ．∵两向量的夹角为锐角，|素养达成|1．两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0，0°≤θ＜90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0，90°＜θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)．2．数量积对结合律一般不成立，因为(a·b)·c＝|a||b|·cos〈a，b〉·c是一个与c共线的向量，而a·(b·c)＝a·|b|·|c|cos〈b，c〉是一个与a共线的向