新教材同步系列2024春高中数学第十章概率10.1随机事件与概率10.1.1有限样本空间与随机事件10.1.2事件的关系和运算课件新人教A版必修第二册

第十章概率10.1随机事件与概率10.1.1有限样本空间与随机事件10.1.2事件的关系和运算学习目标素养要求1．结合实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系数学抽象2．理解随机事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并交运算数学抽象、逻辑推理|自学导引|随机试验1．随机试验(1)定义：把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验．(2)特点：①试验可以在____________下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且_________个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先____________出现哪一个结果．相同条件不止一不能确定2．样本点和样本空间(1)定义：我们把随机试验E的每个可能的__________称为样本点，______________的集合称为试验E的样本空间．(2)表示：一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点．若一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．基本结果全体样本点【预习自测】写出下列试验的样本空间：(1)甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果(包括平局)__________________．(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数__________________．【答案】(1)Ω＝{胜，平，负}

(2)Ω＝{0，1，2，3，4}【解析】(1)对于甲队来说，有胜、平、负三种结果．(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，其次品的个数可能为0，1，2，3，4，不可能再有其他结果．三种事件的定义随机事件我们将样本空间Ω的________称为E的随机事件，简称事件，并把只包含________样本点的事件称为基本事件，随机事件一般用大写字母A，B，C等表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生必然事件Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件不可能事件空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件子集一个【预习自测】判断下列命题是否正确．(对的画“√”，错的画“×”)(1)试验的样本点个数是有限的． (

)(2)某同学竞选本班班长成功是随机事件． (

)(3)连续抛掷一枚硬币2次，“(正面，反面)，(反面，正面)”是同一个样本点．

(

)【答案】(1)×

(2)√

(3)×【解析】(1)试验的样本点的个数也可能是无限的．(2)由随机事件的定义知正确．(3)“(正面，反面)”表示第一次得到正面，第二次得到反面，而“(反面，正面)”表示第一次得到反面，第二次得到正面，所以二者是不同的样本点．事件的关系和运算1．包含关系定义一般地，若事件A发生，则事件B__________，我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)含义A发生导致B发生符号表示B______A(或A______B)图形表示特殊情形如果事件B包含事件A，事件A包含事件B，即B⊇A且A⊇B，那么称事件A与事件B________，记作________一定发生⊇

⊆

相等A＝B

2．并事件(和事件)定义一般地，事件A与事件B______________发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)含义A与B至少有一个发生符号表示________(或________)图形表示至少有一个A∪B

A＋B

3．交事件(积事件)定义一般地，事件A与事件B________发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)含义A与B同时发生符号表示________(或)________图形表示

同时A∩B

AB

4．互斥(互不相容)定义一般地，如果事件A与事件B_______________，也就是说________是一个不可能事件，即___________，那么称事件A与事件B互斥(或互不相容)含义A与B不能同时发生符号表示________图形表示不能同时发生A∩B

A∩B＝∅

A∩B＝∅

5．互为对立定义一般地，如果事件A与事件B在任何一次实验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且___________，那么称事件A与事件B互为对立．事件A的对立事件记为_______含义A与B有且仅有一个发生符号表示____________且____________图形表示A∩B＝∅

A∪B＝Ω

A∩B＝∅

【预习自测】判断下列命题是否正确．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)从装有6个小球的袋子中任取2个小球，则事件“至少1个是红球”与“至多1个红球”是对立事件． (

)(2)在掷骰子的试验中，事件“出现偶数点”和事件“出现的点数不小于3”的交事件为“出现的点数为6”． (

)(3)若事件A和B为互斥事件，且P(A∪B)＝1，则A和B为对立事件．

(

)【答案】(1)×

(2)×

(3)√【解析】(1)两个事件的交事件为“只有1个红球”，故不是对立事件．(2)两事件的交事件为“出现的点数为4或6”．(3)因为A与B互斥，且P(A∪B)＝1，故A与B不同时发生，且必然有一个发生，所以A和B为对立事件．|课堂互动|题型1事件的判断指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：(1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元；(2)三角形的内角和为180°；(3)没有空气和水，人类可以生存下去；(4)同时抛掷两枚硬币一次，都出现正面向上；(5)从分别标有1，2，3，4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；(6)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现．解：(1)购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件．(2)所有三角形的内角和均为180°，所以是必然事件．(3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件．(4)同时抛掷两枚硬币一次，不一定都是正面向上，所以是随机事件．(5)任意抽取，可能得到1，2，3，4号标签中的任一张，所以是随机事件．(6)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件．事件类型的判断方法判断一个事件是哪类事件要看两点：一看条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的；二看结果是否发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．1．给出下列四个命题：①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；②“当x为某一实数时，可使x2＜0”是不可能事件；③“明天兰州要下雨”是必然事件；④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件．其中正确命题的序号是

(

)A．①②③ B．②③④C．①②④ D．①③④【答案】C【解析】①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”一定发生，是必然事件，①正确；②“当x为某一实数时，可使x2＜0”不可能发生，没有哪个实数的平方小于0，是不可能事件，②正确；③“明天兰州要下雨”是随机事件，故③错；④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”有可能发生，有可能不发生，是随机事件，故④正确．题型2样本点与样本空间下列随机事件中，一次试验各指什么？试写出试验的样本空间．(1)先后抛掷两枚质地均匀的硬币多次；(2)从集合A＝{a，b，c，d}中任取3个元素．解：(1)一次试验是指“先后抛掷两枚质地均匀的硬币一次”，试验的样本空间为{(正，反)，(正，正)，(反，反)，(反，正)}．(2)一次试验是指“从集合A中一次选取3个元素组成集合”，试验的样本空间为{(a，b，c)，(a，b，d)，(a，c，d)，(b，c，d)}．写样本空间的三种方法(1)列举法：适用于样本点个数不是很多，可以把样本点一一列举出来的情况，但列举时必须按一定的顺序，要做到不重不漏．(2)列表法：适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题，通常把样本归纳为“有序实数对”，也可用坐标法，列表法的优点是准确、全面、不易遗漏．(3)树状图法：适用于较复杂问题中的样本点的探求，一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果可以用树状图进行列举．2．(2023年北京通州区期中)抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，该试验的样本空间中样本点的个数为 (

)A．1 B．2C．4 D．8【答案】C【解析】先后抛掷两枚质地均匀的硬币，有先后顺序，则此试验的样本空间为{(正面，正面)，(正面，反面)，(反面，正面)，(反面，反面)}．故选C．题型3事件关系的判断从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取一张．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．解：(1)是互斥事件，不是对立事件．理由：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或“梅花”，因此，二者不是对立事件．(2)既是互斥事件，又是对立事件．理由：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．理由：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．互斥事件、对立事件的判定方法(1)利用基本概念来判断①互斥事件不可能同时发生；②对立事件首先是互斥事件，且必须有一个要发生．(2)利用集合的观点来判断设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A，B．①事件A与B互斥，即集合A∩B＝∅；②事件A与B对立，即集合A∩B＝∅，且A∪B＝Ω，即A＝∁ΩB或B＝∁ΩA．3．从一批产品中取出3件产品，设A＝{3件产品全不是次品}，B＝{3件产品全是次品}，C＝{3件产品不全是次品}，则下列结论正确是__________．(填写序号)①A与B互斥；②B与C互斥；③A与C互斥；④A与B对立；⑤B与C对立．【答案】①②⑤【解析】A＝{3件产品全不是次品}，指的是3件产品全是正品，B＝{3件产品全是次品}，C＝{3件产品不全是次品}包括1件次品2件正品，2件次品1件正品，3件全是正品3个事件，由此知：A与B是互斥事件，但不对立；A与C是包含关系，不是互斥事件，更不是对立事件；B与C是互斥事件，也是对立事件．所以正确结论的序号为①②⑤．题型4事件的运算在投掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：A＝{出现1点}，B＝{出现3点或4点}，C＝{出现的点数是奇数}，D＝{出现的点数是偶数}．(1)说明以上4个事件的关系；(2)求A∩B，A∪B，A∪D，B∩D，B∪C．解：在投掷骰子的试验中，根据向上出现的点数有6种基本事件，记作Ai＝{出现的点数为i}(其中i＝1，2，…，6)，则A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6．(1)事件A与事件B互斥，但不对立，事件A包含于事件C，事件A与D互斥，但不对立；事件B与C不是互斥事件，事件B与D也不是互斥事件；事件C与D是互斥事件，也是对立事件．(2)A∩B＝∅，A∪B＝A1∪A3∪A4＝{出现的点数为1或3或4}，A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝{出现的点数为1或2或4或6}．B∩D＝A4＝{出现的点数为4}．B∪C＝A1∪A3∪A4∪A5＝{出现的点数为1或3或4或5}．进行事件运算应注意的问题(1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析．(2)在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断，但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理．4．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是

(

)A．A⊆D

B．B∩D＝∅C．A∪C＝D

D．A∪B＝B∪D【答案】D【解析】“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中，∴A∪B≠B∪D．故选D．|素养达成|1．辨析随机事件、必然事件、不可能事件时要注意看清条件，在给定的条件下判断是一定发生(必然事件)，还是不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能事件)．(体现数学抽象核心素养)2．写试验结果时，要按顺序写，特别要注意题目中的有关字眼，如“先后”“依次”“顺序”“放回”“不放回”等．3．互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们两者之间既有区别又有联系．在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件都不发生．所以两个事件互斥，它们未必对立；反之两个事件对立，它们一定互斥．1．(题型1)下面的事件：①实数的绝对值大于等于0；②从标有1，2，3，4的4张号签中取一张，得到4号签；③在标准大气压下，水在1℃结冰．其中是必然事件的有

(

)A．①

B．②C．③

D．①②【答案】A【解析】①是必然事件；②是随机事件；③是不可能事件．故选A．2．(题型3)某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是

(

)A．至多有一次中靶 B．两次都中靶C．两次都不中靶 D．只有一次中靶【答案】C【解析】由于事件“至少有一次中靶”和“两次都不中靶”的交事件是不可能事件，所以它们互为互斥事件．故选C．3．(题型3)抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为

(

)A．至多有2件次品 B．至多有1件次品C．至多有2件正品 D．至少有2件正品【答案】B【解析】至少有2