2023-2024学年江西省奉新县一中3月高三数学试题返校考

2022-2023学年江西省奉新县一中3月高三数学试题返校考请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知命题：是“直线和直线互相垂直”的充要条件；命题：函数的最小值为4.给出下列命题：①；②；③；④，其中真命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．42．若点(2，k)到直线5x-12y+6=0的距离是4，则k的值是()A．1 B．-3 C．1或 D．-3或3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A． B．C． D．4．已知复数z＝（1+2i）（1+ai）（a∈R），若z∈R，则实数a＝（）A． B． C．2 D．﹣25．已知函数的最小正周期为,为了得到函数的图象,只要将的图象()A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度6．学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为、、、、五个等级．某班共有名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示．该班学生中，这两科等级均为的学生有人，这两科中仅有一科等级为的学生，其另外一科等级为，则该班（）A．物理化学等级都是的学生至多有人B．物理化学等级都是的学生至少有人C．这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至多有人D．这两科只有一科等级为且最高等级为的学生至少有人7．已知函数，，若存在实数，使成立，则正数的取值范围为（）A． B． C． D．8．设f(x)是定义在R上的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则（）A． B．C． D．9．下列命题为真命题的个数是（）（其中，为无理数）①；②；③.A．0 B．1 C．2 D．310．在的展开式中，的系数为()A．-120 B．120 C．-15 D．1511．已知实数满足，则的最小值为（）A． B． C． D．12．函数的图象大致是（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数，则关于的不等式的解集为_______．14．已知函数f（x）=axlnx﹣bx（a，b∈R）在点（e，f（e））处的切线方程为y=3x﹣e，则a+b=_____.15．已知圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，圆柱的高和球半径均为2，则该圆柱的底面半径为__________.16．若函数为自然对数的底数）在和两处取得极值，且，则实数的取值范围是______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在平面直角坐标系中，点，直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线相交于不同的两点是线段的中点，当时，求的值．18．（12分）在直角坐标平面中，已知的顶点，，为平面内的动点，且.（1）求动点的轨迹的方程；（2）设过点且不垂直于轴的直线与交于，两点，点关于轴的对称点为，证明：直线过轴上的定点.19．（12分）武汉有“九省通衢”之称，也称为“江城”，是国家历史文化名城.其中著名的景点有黄鹤楼、户部巷、东湖风景区等等.（1）为了解“五·一”劳动节当日江城某旅游景点游客年龄的分布情况，从年龄在22岁到52岁的游客中随机抽取了1000人，制成了如图的频率分布直方图：现从年龄在内的游客中，采用分层抽样的方法抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取4人，记4人中年龄在内的人数为，求；（2）为了给游客提供更舒适的旅游体验，该旅游景点游船中心计划在2020年劳动节当日投入至少1艘至多3艘型游船供游客乘坐观光.由2010到2019这10年间的数据资料显示每年劳动节当日客流量（单位：万人）都大于1.将每年劳动节当日客流量数据分成3个区间整理得表：劳动节当日客流量频数（年）244以这10年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率，且每年劳动节当日客流量相互独立.该游船中心希望投入的型游船尽可能被充分利用，但每年劳动节当日型游船最多使用量（单位：艘）要受当日客流量（单位：万人）的影响，其关联关系如下表：劳动节当日客流量型游船最多使用量123若某艘型游船在劳动节当日被投入且被使用，则游船中心当日可获得利润3万元；若某艘型游船劳动节当日被投入却不被使用，则游船中心当日亏损0.5万元.记（单位：万元）表示该游船中心在劳动节当日获得的总利润，的数学期望越大游船中心在劳动节当日获得的总利润越大，问该游船中心在2020年劳动节当日应投入多少艘型游船才能使其当日获得的总利润最大？20．（12分）若数列前n项和为，且满足（t为常数，且）（1）求数列的通项公式：（2）设，且数列为等比数列，令，.求证：.21．（12分）某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1.为了便于设计，可将该礼品看成是由圆及其内接等腰三角形绕底边上的高所在直线旋转180°而成，如图2.已知圆的半径为，设，圆锥的侧面积为.（1）求关于的函数关系式；（2）为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积最大.求取得最大值时腰的长度.22．（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线C：（）的焦点F在直线上，平行于x轴的两条直线，分别交抛物线C于A，B两点，交该抛物线的准线于D，E两点.（1）求抛物线C的方程；（2）若F在线段上，P是的中点，证明：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．A【解析】

先由两直线垂直的条件判断出命题p的真假，由基本不等式判断命题q的真假，从而得出p,q的非命题的真假，继而判断复合命题的真假，可得出选项.【详解】已知对于命题，由得，所以命题为假命题；关于命题，函数，当时，，当即时，取等号，当时，函数没有最小值，所以命题为假命题.所以和是真命题，所以为假命题，为假命题，为假命题，为真命题，所以真命题的个数为1个.故选：A.【点睛】本题考查直线的垂直的判定和基本不等式的应用，以及复合命题的真假的判断，注意运用基本不等式时，满足所需的条件，属于基础题.2．D【解析】

由题得，解方程即得k的值.【详解】由题得，解方程即得k=-3或.故答案为：D【点睛】(1)本题主要考查点到直线的距离公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算推理能力.(2)点到直线的距离.3．A【解析】试题分析：由题意，得，解得，故选A．考点：函数的定义域．4．D【解析】

化简z＝（1+2i）（1+ai）=，再根据z∈R求解.【详解】因为z＝（1+2i）（1+ai）=，又因为z∈R，所以，解得a＝-2.故选：D【点睛】本题主要考查复数的运算及概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题.5．A【解析】

由的最小正周期是，得，即，因此它的图象向左平移个单位可得到的图象．故选A．考点：函数的图象与性质．【名师点睛】三角函数图象变换方法：6．D【解析】

根据题意分别计算出物理等级为，化学等级为的学生人数以及物理等级为，化学等级为的学生人数，结合表格中的数据进行分析，可得出合适的选项.【详解】根据题意可知，名学生减去名全和一科为另一科为的学生人（其中物理化学的有人，物理化学的有人），表格变为：物理化学对于A选项，物理化学等级都是的学生至多有人，A选项错误；对于B选项，当物理和，化学都是时，或化学和，物理都是时，物理、化学都是的人数最少，至少为（人），B选项错误；对于C选项，在表格中，除去物理化学都是的学生，剩下的都是一科为且最高等级为的学生，因为都是的学生最少人，所以一科为且最高等级为的学生最多为（人），C选项错误；对于D选项，物理化学都是的最多人，所以两科只有一科等级为且最高等级为的学生最少（人），D选项正确.故选：D.【点睛】本题考查合情推理，考查推理能力，属于中等题.7．A【解析】

根据实数满足的等量关系，代入后将方程变形，构造函数，并由导函数求得的最大值；由基本不等式可求得的最小值，结合存在性问题的求法，即可求得正数的取值范围.【详解】函数，，由题意得，即，令，∴，∴在上单调递增，在上单调递减，∴，而，当且仅当，即当时，等号成立，∴，∴.故选：A.【点睛】本题考查了导数在求函数最值中的应用，由基本不等式求函数的最值，存在性成立问题的解法，属于中档题.8．D【解析】

利用是偶函数化简，结合在区间上的单调性，比较出三者的大小关系.【详解】是偶函数，，而，因为在上递减，，即．故选:D【点睛】本小题主要考查利用函数的奇偶性和单调性比较大小，属于基础题.9．C【解析】

对于①中，根据指数幂的运算性质和不等式的性质，可判定值正确的；对于②中，构造新函数，利用导数得到函数为单调递增函数，进而得到，即可判定是错误的；对于③中，构造新函数，利用导数求得函数的最大值为，进而得到，即可判定是正确的.【详解】由题意，对于①中，由，可得，根据不等式的性质，可得成立，所以是正确的；对于②中，设函数，则，所以函数为单调递增函数，因为，则又由，所以，即，所以②不正确；对于③中，设函数，则，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以当时，函数取得最大值，最大值为，所以，即，即，所以是正确的.故选：C.【点睛】本题主要考查了不等式的性质，以及导数在函数中的综合应用，其中解答中根据题意，合理构造新函数，利用导数求得函数的单调性和最值是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.10．C【解析】

写出展开式的通项公式，令，即，则可求系数．【详解】的展开式的通项公式为，令，即时，系数为．故选C【点睛】本题考查二项式展开的通项公式，属基础题．11．A【解析】

所求的分母特征，利用变形构造，再等价变形，利用基本不等式求最值.【详解】解：因为满足，则，当且仅当时取等号，故选：．【点睛】本题考查通过拼凑法利用基本不等式求最值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形;(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.12．C【解析】

根据函数奇偶性可排除AB选项；结合特殊值，即可排除D选项.【详解】∵，，∴函数为奇函数，∴排除选项A，B；又∵当时，，故选：C.【点睛】本题考查了依据函数解析式选择函数图象，注意奇偶性及特殊值的用法，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】

判断的奇偶性和单调性，原不等式转化为，运用单调性，可得到所求解集．【详解】令，易知函数为奇函数，在R上单调递增，，即，∴∴，即x＞故答案为：【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：解不等式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．14．0【解析】

由题意，列方程组可求，即求.【详解】∵在点处的切线方程为，，代入得①.又②.联立①②解得：..故答案为：0.【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.15．【解析】

由圆柱外接球的性质，即可求得结果.【详解】解：由于圆柱的高和球半径均为2，,则球心到圆柱底面的距离为1，设圆柱底面半径为，由已知有，∴，即圆柱的底面半径为.故答案为：.【点睛】本题考查由圆柱的外接球的性质求圆柱底面半径，属于基础题.16．【解析】

先将函数在和两处取得极值，转化为方程有两不等实根，且，再令，将问题转化为直线与曲线有两交点，且横坐标满足，用导数方法研究单调性，作出简图，求出时，的值，进而可得出结果.【详解】因为，所以，又函数在和两处取得极值，所以是方程的两不等实根，且，即有两不等实根，且，令，则直线与曲线有两交点，且交点横坐标满足，又，由得，所以，当时，，即函数在上单调递增；当，时，，即函数在和上单调递减；当时，由得，此时，因此，由得.故答案为【点睛】本题主要考查导数的应用，已知函数极值点间的关系求参数的问题，通常需要将函数极值点，转化为导函数对应方程的根，再转化为直线与曲线交点的问题来处理，属于常考题型.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）；（2）.【解析】

（1）在已知极坐标方程两边同时乘以ρ后，利用ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，ρ2＝x2+y2可得曲线C的直角坐标方程；（2）联立直线l的参数方程与x2＝4y由韦达定理以及参数的几何意义和弦长公式可得弦长与已知弦长相等可解得．【详解】解：（1）在ρ+ρcos2θ＝8sinθ中两边同时乘以ρ得ρ2+ρ2（cos2θ﹣sin2θ）＝8ρsinθ，∴x2+y2+x2﹣y2＝8y，即x2＝4y，所以曲线C的直角坐标方程为：x2＝4y．（2）联立直线l的参数方程与x2＝4y得：（cosα）2t2﹣4（sinα）t+4＝0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，由△＝16sin2α﹣16cos2α＞0，得sinα＞，t1+t2＝，由|PM|＝，所以20sin2α+9sinα﹣20＝0，解得sinα＝或sinα＝﹣（舍去），所以sinα＝．【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．18．（1）（）；（2）证明见解析.【解析】

（1）设点，分别用表示、表示和余弦定理表示，将表示为、的方程，再化简即可；（2）设直线方程代入的轨迹方程，得，设点，，，表示出直线，取，得，即可证明直线过轴上的定点.【详解】（1）设，由已知，∴，∴（），化简得点的轨迹的方程为：（）；（2）由（1）知，过点的直线的斜率为0时与无交点，不合题意故可设直线的方程为：（），代入的方程得：.设，，则，，.∴直线：.令，得.直线过轴上的定点.【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法、余弦定理的应用和利用直线和圆锥曲线的位置关系求定点问题，考查学生的计算能力，属于中档题.19．（1）；（2）投入3艘型游船使其当日获得的总利润最大【解析】

（1）首先计算出在，内抽取的人数，然后利用超几何分布概率计算公式，计算出.（2）分别计算出投入艘游艇时，总利润的期望值，由此确定当日游艇投放量.【详解】（1）年龄在内的游客人数为150，年龄在内的游客人数为100；若采用分层抽样的方法抽取10人，则年龄在内的人数为6人，年龄在内的人数为4人.可得.（2）①当投入1艘型游船时，因客流量总大于1，则（万元）.②当投入2艘型游船时，若，则，此时；若，则，此时；此时的分布列如下表：2.56此时（万元）.③当投入3艘型游船时，若，则，此时；若，则，此时；若，则，此时；此时的分布列如下表：25.59此时（万元）.由于，则该游船中心在2020年劳动节当日应投入3艘型游船使其当日获得的总利润最大.【点睛】本小题主要考查分层抽样，考查超几何分布概率计算公式，考查随机变量分布列和期望的求法，考查分析与思考问题的能力，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.20．（1）（2）详见解析【解析】

（1）利用可得的递推关系，从而可求其通项.（2）由为等比数列可得，从而可得的通项，利用错位相减法可得的前项和，利用不等式的性质可证.【详解】（1）由题意，得：（t为常数，且），当时，得，得.由，故，，故.（2）由，由为等比数列可知：，又，故，化简得到，所以或（舍）.所以，，则.设的前n项和为.则，相减可得【点睛】数列的通项与前项和的关系式，我们常利用这个关系式实现与之间的相互转化.数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；