直线过定点问题讲义 高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

直线过定点问题对于直线过定点问题，一般可以通过以下几种方法来解决：一、特殊值法1.选取特殊的参数值：给参数赋两个不同的特殊值，得到两条具体的直线方程。2.求解交点：联立这两条直线方程，求出它们的交点坐标。3.验证定点：将交点坐标代入含参数的直线方程，验证对于任意参数值该点都在直线上，从而确定定点。二、分离参数法1.对含参数的直线方程进行变形：将参数与变量分离到等式两边。2.确定定点条件：使得等式成立的条件是参数的系数为0，同时与参数无关的式子也为0，解方程组确定定点坐标。例如，直线方程(m+1)x-(2m-1)y-3m=0，变形为m(x-2y-3)+(x+y)=0。令x-2y-3=0，x+y=0，解方程组得x=1，y=-1，所以直线过定点(1,-1)。三、将方程转化为直线方程的点斜式，即可找到定点1.将含参数的直线方程转化含参数的点斜式方程。2.通过点斜式的定义即可确定定点。直线过定点问题在解析几何中具有重要地位，它常常与圆锥曲线等知识结合考查，需要你熟练掌握这些方法，并能灵活运用。例1：已知直线(a+1)x+y-2a-1=0，求该直线所过的定点。解：将直线方程变形为a(x-2)+(x+y-1)=0。令x-2=0，x+y-1=0解方程组得x=2，y=-1所以直线过定点(2,-1)。例2：若直线：m(x+y-4)+(2x-y-2)=0，无论m取何值直线l都过定点P，求点P的坐标。解：由直线方程可得x+y-4=0，2x-y-2=0，将两方程联立求解解得x=2,y=2所以定点P的坐标为(2,2)。例3：直线kx-y+1-3k=0，当k变动时，所有直线都过定点___。解：将直线方程变形为k(x-3)-y+1=0。y-1=k(x-3)所以直线过定点(3,1)。练习题：一、选择题1.直线(m+2)x+(m-2)y-2m=0，无论m取何值，该直线恒过定点（）A.(-2,2)B.(2,-2)C.(1,-1)D.(-1,1)2.直线ax+(a+1)y+2=0恒过定点（）A.(2,-2)B.(-2,2)C.(-2,0)D.(0,-2)二、填空题1.若直线l：mx+ny-m-n=0恒过定点，则定点坐标为____。2.直线(k+1)x+ky-2k-3=0恒过定点____。三、解答题1.已知直线l：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0，求证：无论m取何值，直线l恒过定点，并求出该定点坐标。2.若直线l：kx+y+k-2=0恒过定点P，求点P的坐标。当直线l绕点P逆时针旋转90°时，求所得直线的方程。已知直线l：(2k-1)x+(k+3)y-k+11=0，当k变化时，直线l是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由。答案：一、选择题1.把直线方程(m+2)x+(m-2)y-2m=0变形为m(x+y-2)+2x-2y=0。-令x+y-2=0，2x-2y=0，解方程组。x=1，则y=1。-所以该直线恒过定点(1,1)，无正确选项。2.直线ax+(a+1)y+2=0可变形为a(x+y)+y+2=0。-令x+y=0，y+2=0，解方程组。-y=-2，x=2。-所以直线恒过定点(2,-2)，答案是B。二、填空题1.直线mx+ny-m-n=0变形为m(x-1)+n(y-1)=0。-令x-1=0，y-1=0，解得x=1，y=1。-定点坐标为(1,1)。2.直线(k+1)x+ky-2k-3=0变形为k(x+y-2)+x-3=0。-令x+y-2=0，x-3=0，解方程组-x=3，代入x+y-2=0，得3+y-2=0，解得y=-1。-定点为(3,-1)。三、解答题1.将直线l：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0变形为(m(2x+y-7)+x+y-4=0。-令2x+y-7=0，x+y-4=0，即2x+y-7-x-y+4=0，解得x=3，y=1。-所以无论m取何值，直线l恒过定点(3,1)。2.直线kx+y+k-2=0变形为k(x+1)+y-2=0。-令x+1=0，y-2=0，解得x=-1，y=2，所以点P的坐标为(-1,2)。-直线kx+y+k-2=0的斜率为k，当直线l绕点P逆时针旋转90°时，所得直线的斜率为。-由点斜式可得所得直线方程为y-2=(x+1)。3.将直线l：(2k-1)x+(k+3)y-k+11