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文档简介

5.1.2数据的数字特征(1)本节内容是必修2第五章《统计与概率》的第2节。通过前面的学习,学生已经学习掌握了有关统计的基础知识:从普查到抽样、简单随机抽样、分层抽样。数据的数字特征是将得到的多个数据“加工”成一个数值,使这个数值能够反映这组数据的某些重要的整体特征。从实际入手,通过抽象思维,建立数学模型,进而认知数学理论,应用于实际的过程。会对今后数学及相关学科的学习产生深远的影响。

考点教学目标核心素养最值、平均数、中位数、百分位数会求样本数据的最值、平均数、中位数、百分位数,并理解它们的意义和作用数学抽象、数学运算、数据分析方差、标准差会求样本数据的方差、标准差,并理解它们的意义和作用数学抽象、数学运算、数据分析【教学重点】熟练掌握样本的最值、平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差等概念,并理解它们的意义和作用【教学难点】样本的平均数、中位数、百分位数、方差、标准差的意义与作用引入:在日常生活中,当面对一组数据时,相比每一个观测值,有时我们更关心的是能反映这组数据特征的一些值。例如,上述情境中的两个班的成绩,我们可以从最值、平均数、中位数、方差等角度进行比较.问题1:最值一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值,最值反映的是这组数最极端的情况,一般地,最大值用max表示,最小值用min表示.问题2:平均数如果给定的一组数是,则这组数的平均数为:这一公式在数学中常简记为:注:(1)其中的符号表示求和,读作“西格玛“,右边式子中的i表示求和的范围,其最小值和最大值分别写在的下面和上面.例如(2)求和符号具有以下性质:,,(3)平均数会受每一个数的影响,尤其是最大值、最小值。很多情况下,为了避免过于极端的值影响结果太大等,会去掉最低分与最高分后再计算平均数.(4)一般地,利用平均数地计算公式可知,如果的平均数为,且为常数,则的平均数为,这是因为巩固练习:1.某同学使用计算器求30个数据的平均数时,错将其中一个数据105输入为15,则由此求出的平均数与实际平均数的差是()A.3.5 B.-3C.3 D.-0.5答案:B[少输入90,eq\f(90,30)=3,平均数少3,求出的平均数减去实际平均数等于-3.]2.已知一组数据为20,30,40,50,50,60,70,80.则这组数据的平均数是________.答案:50[eq\o(x,\s\up6(-))=eq\f(1,8)(20+30+40+50+50+60+70+80)=50.]问题3:中位数、百分位数一般地,有时也可以借助中位数来表示一组数的中心位置:(1)如果一组数有奇数个数,且按照从小到大排列后为,则称为这组数的中位数;(2)如果一组数有偶数个数,且按照从小到大排列后为,则称为这组数的中位数.解答:将甲、乙两组数小于5.5的前10个数分别看出一组数,则它们的中位数分别是2.5,1,这两个数能够反映甲、乙两组数小于5.5的数的分布特点,因为这两个数是通过找小于或者等于中位数的所有数的中位数得到的,所以它们分别称为甲、乙两组数的25%分位数.一般地,当数据个数较多时,可以借助多个百分位数来了解数据的分布特点。一组数的分位数指的是满足下列条件的一个数值:至少有的数据不大于该值,且至少有的数据不小于该值.注:(1)直观来说,一组数的分位数指的是,将这组数按照从小到大的顺序排列后,处于位置的数,例如中位数就是一个分位数.(2)按照定义可知,分位数可能不唯一(3)设一组数按照从小到大排列后为,计算的值,如果不是整数,设为大于的最小整数,取为分位数:如果是整数,取为分位数。特别的,规定:0分位数是(是最小值),分位数是(即最大值).(4)实际应用中,除了中位数外,经常使用的是分位数(简称为第一四分位数)与分位数(简称为第三四分位数)例1.计算上述尝试与发现中甲、乙两组数的75%分位数.解:因为数据个数为20,而且:因此,甲组数的分位数为:乙组数的分位数为:巩固练习:1.以下10个数据:49,64,50,48,65,52,56,46,54,51的中位数是________.答案:51.5[eq\f(1,2)(51+52)=51.5.]2.某同学在7天内每天参加体育锻炼的时间(单位:分钟)如下65,65,66,74,73,81,80,则它们的第三四分位数是________.答案:80[从小到大排序为65,65,66,73,74,80,81,第三四分位数即75%分位数,7×75%=5.25,所以第三四分位数是第6项数据80.]问题4:众数一组数据中,某个数据出现的次数称为这个数据的频数,出现次数最多的数据称为这组数据的众数.为了照顾到绝大多数人的需求,此时应该定做容量为29L的双肩包,这里的29就是上述数据的众数.巩固练习:1.一个样本数据如下:5.3,5.2,5.1,5,3.3,4,4.5,3.2,4.5.则该样本的众数和中位数分别为()A.4.5和5 B.4.5和4C.4.5和4.5 D.4.5和4.75答案:C[将样本数据按由小到大的顺序排列:3.2,3.3,4,4.5,4.5,5,5.1,5.2,5.3,∴众数为4.5,中位数为4.5.]2.一组观察值4,3,5,6出现的次数分别为3,2,4,2,则样本平均值为()A.4.55 B.4.5C.12.5 D.1.64答案:A[eq\o(x,\s\up6(-))=eq\f(4×3+3×2+5×4+6×2,3+2+4+2)≈4.55.]问题5:极差、方差、标准差极差:一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差,不难看出,极差反映了一组数的变化范围,描述了这组数的离散程度.描述一组数的离散程度的量还有方差和标准差.方差:如果的平均数为,则方差可用求和符号表示为:注:如果a,b为常数,则:的方差为,这是因为标准差:方差的算术平方根称为标准差;注:如果一组数中,各数据值都相等,则标准差为0,表明数据没有波动,数据没有离散;若各数据的值与平均数的差的绝对值较大,则标准差也较大,表明数据的波动幅度也较大,数据的离散程度较高,因此标准差描述了数据相对平均数的离散程度.例2.计算下列各组数的平均数与方差(1)18.9,19.5,19.5,19.2,19,18.8,19.5;(2)2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,6,6解:(1)将每一个数乘以10,再减区190,可得-1,5,5,2,0,-2,5这组新数的平均数为:方差为:由此可知,所求的平均数为19.2,方差为(2)可将数据整理为:每一个数减去4,可得:这组数的平均数与方差分别为:因此所求平均数为4,方差为。巩固练习:1.某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6,则该组数据的方差s2=________.答案:eq\f(16,5)[该组数据的平均数为eq\f(10+6+8+5+6,5)=7,方差s2=eq\f(10-72+6-72+8-72+5-72+6-72,5)=eq\f(16,5).]2.某学员在一次射击测试中射靶6次,命中环数为:9,5,8,5,6,9,命中环数的方差为________.答案:3[平均数为eq\f(1,6)(9+5+8+5+6+9)=7,s2=eq\f(

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