9.10.3 多项式与多项式相乘 同步练习

9.10.3多项式与多项式相乘【夯实基础】一、单选题1．（2021·上海黄浦·七年级期末）若x2+px+q＝（x﹣3）（x+5），则p的值为（）A．﹣15 B．﹣2 C．2 D．82．（2022·上海普陀·七年级期末）如果2（5﹣a）（6+a）＝100，那么a2+a+1的值为（）A．19 B．﹣19 C．69 D．﹣693．（2022·上海·七年级期末）如图，根据计算长方形ABCD的面积，可以说明下列哪个等式成立（

）A．(a+b)2=C．(a+b)(a−b)=a2−二、填空题4．（2021·上海金山·七年级期中）计算：x−2y2x+y5．（2021·上海市南洋模范初级中学七年级期中）计算：（a﹣3）（a+7）＝___．6．（2020·上海闵行·七年级期中）若x+2ax−3=2x7．（2021·上海奉贤·七年级期末）计算：（2x﹣y）（x﹣2y）＝_____．8．（2021·上海市傅雷中学七年级期中）计算：（x+3y）（2x﹣y）＝_____．9．（2021·上海市西延安中学七年级期中）计算：（3x﹣y）（5x+2y）＝___．10．（2021·上海奉贤·七年级期中）计算：（x+2）（2x﹣3）＝___．11．（2022·上海·七年级期末）已知a2+a−3=0，那么12．（2022·上海普陀·七年级期末）计算：（x+3）（x+5）＝_____．13．（2022·上海浦东新·七年级期末）乘积(x+5)(x−2)的计算结果是_______．14．（2022·上海·七年级开学考试）多项式mx+42−3x展开后不含x的一次项，则m三、解答题15．（2022·上海·七年级期末）计算：(xy2)(xy).16．（2021·上海·七年级期中）计算:2a−3b+4c17．（2022·上海·七年级期中）解不等式：x−518．（2021·上海浦东新·七年级期中）计算：（x+2）（4x﹣1）+2x（2x﹣1）．19．（2020·上海闵行·七年级期中）解不等式：x+320．（2020·上海闵行·七年级期中）计算：(1)−5x−x221．（2022·上海·七年级期末）已知关于x的多项式与x2−2x+3的积不含二次项和三次项，求常数m、n22．（2020·上海市市北初级中学七年级期中）（1）计算：（x+1）（x2﹣x+1）；（2）计算：（x+1）（x4﹣x3+x2﹣x+1）；（3）根据以上等式进行猜想，当n是偶数时，可得：（x+1）（xn﹣xn﹣1+xn﹣2﹣xn﹣1…x3+x2﹣x+1）＝．【能力提升】一、单选题1．（2021·上海·七年级期中）若关于x的多项式x2−2x+3与多项式x2+2x−a的积中不含一次项，则常数A．−3 B．3 C．4 D．−4二、填空题2．（2021·上海市民办新竹园中学七年级期中）若展开后不含x3和x项，则m+n的值为___．3．（2021·上海浦东新·七年级期中）若a+b＝﹣3，ab＝1，则（a+1）（b+1）（a﹣1）（b﹣1）＝_____．4．（2021·上海·七年级专题练习）如图，要设计一幅长为3xcm，宽为2ycm的长方形图案，其中有两横两竖的彩条，横彩条的宽度为acm，竖彩条的宽度为bcm，问空白区域的面积是_____．5．（2021·上海·七年级期中）观察下列各式：(x−1)(x+1)=x²−1(x−1)(x²+x+1)=x³−1(x−1)(x³+x²+x+1)=x4−1…根据以上规律，求1+2+2²+…+22016三、解答题6．（2022·上海·七年级期末）如图，在长方形ABCD中，AB=8cm，BC=10cm，现将长方形ABCD向右平移xcm，再向下平移x+1cm后到长方形A'B'C'D'（1）当x=4时，长方形ABCD与长方形A'B'C'D'的重叠部分面积等于________cm（2）如图，用x的代数式表示长方形ABCD与长方形A'（3）如图，用x的代数式表示六边形ABB'C'D'D的面积．7．（2022·上海·七年级期末）已知：；，求8．（2021·上海·七年级期中）多项式A=x3+mx2+2x−8、B=3x−n，A与（1）试确定m和n的值；（2）求3A−2B．9．（2021·上海市川沙中学南校七年级期中）先化简，再求值：3x2y−xy10．（2021·上海市民办新竹园中学七年级期中）有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答后面的问题．例：若x=123456789×123456786，y=123456788×123456787，试比较x，y的大小．解：设123456788=a，那么x=(a+1)(a−2)=y=a(a−1)=看完后，你学到了这种方法吗？再亲自试一试吧，你准行！问题：若，，试比较x，y的大小．11．（2021·上海杨浦·七年级期中）7张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按如图2．3的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．（1）如图2，点E、Q、P在同一直线上，点F、Q、G在同一直线上，右下角与左上角的阴影部分的面积的差为（用含a、b的代数式表示），矩形ABCD的面积为（用含a、b的代数式表示）；（2）如图3，点F、H、Q、G在同一直线上，设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为S，PC＝x．当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，那么a、b必须满足什么条件？12．（2021·上海市傅雷中学七年级期中）先化简后求值(2x−3y)(2x+3y)−(y−2x)213．（2021·上海浦东新·七年级期中）某中学有一块长30m，宽20m的长方形空地，计划在这块空地上划分出部分区域种花，小明同学设计方案如图，设花带的宽度为x米．(1)请用含x的式子表示空白部分长方形的面积；（要化简）(2)当花带宽2米时，空白部分长方形面积能超过400m2吗？请说明理由．14．（2021·上海奉贤·七年级期中）图1是一个长方形窗户ABCD，它是由上下两个长方形（长方形AEFD和长方形EBCF）的小窗户组成，在这两个小窗户上各安装了一个可以朝一个方向水平方向拉伸的遮阳帘，这两个遮阳帘的高度分别是a和2b（即DF＝a，BE＝2b），且b＞a＞0．当遮阳帘没有拉伸时（如图1），窗户的透光面积就是整个长方形窗户（长方形ABCD）的面积．如图2，上面窗户的遮阳帘水平方向向左拉伸2a至GH．当下面窗户的遮阳帘水平方向向右拉伸2b时，恰好与GH在同一直线上（即点G、H、P在同一直线上）．（1）求长方形窗户ABCD的总面积；（用含a、b的代数式表示）（2）如图3，如果上面窗户的遮阳帘保持不动，将下面窗户的遮阳帘继续水平方向向右拉伸b至PQ时，求此时窗户透光的面积（即图中空白部分的面积）为多少？（用含a、b的代数式表示）（3）如果上面窗户的遮阳帘保持不动，当下面窗户的遮阳帘拉伸至BC的中点处时，请通过计算比较窗户的透光的面积与被遮阳帘遮住的面积的大小．15．（2021·上海·七年级期中）如图，在长方形ABCD中，放入6个形状和大小都相同的小长方形，已知小长方形的长为a，宽为b，且a＞b．(1)用含a、b的代数式表示长方形ABCD的长AD、宽AB；(2)用含a、b的代数式表示阴影部分的面积．16．（2021·上海·七年级期中）如图，一套房子的客厅AEFD和房间EBHG分别是边长为a米和b米（2b>a>b）的正方形，厨房FGNM和卫生间MNHC分别是正方形和长方形．（1）求厨房的边长FG和卫生间的长HN（用含a、b的代数式表示）：（2）求卫生间MNHC的面积（用含a、b的代数式表示）：（3）求当a=6米，b=412米时，卫生间17．（2021·上海·七年级期中）如图，某市有一块长为（3a+b）米、宽为（2a+b）米的长方形地，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座边长为（a+b）米的正方形雕像．（1）试用含a、b的式子表示绿化部分的面积（结果要化简）．（2）若a=3，b=2，请求出绿化部分的面积．18．（2021·上海·七年级期中）如图所示：有边长为a的正方形A类卡片、边长为b的正方形B类卡片、长和宽分别为a、b的长方形C类卡片各若干张，如果要拼一个边长分别为、(a+2b)的大长方形（不重叠无缝隙），那么需要A类卡片______张，B类卡片_______张，C类卡片______张，并请画出一种拼法.（每类卡片至少使用一张，并在画图时标注好每类卡片的类型及边长）19．（2021·上海·七年级期中）小文想用一张长方形白铁皮做一个长方体无盖盒子，她采取了如下图所示的一个方案（阴影部分是被剪掉的材料，形状为四个相同的正方形）．（1）这块白铁皮的总面积是多少？（2）这个长方体盒子的表面积是多少？（3）这个长方体盒子的体积是多少？20．（2021·上海·七年级期中）用一张长x厘米、宽y厘米（x>y>4）的长方形纸打字，如果左右两边各空出1厘米，上下各空出2厘米，那么这张纸空出后的面积是多少？并求出x=6,y=5时这张纸空出后的面积。21．（2021·上海市西延安中学七年级期中）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律．例如：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；根据以上规律，解答下列问题：（1）（a+b）5展开式的系数和是；（a+b）n展开式的系数和是．（2）当a＝2时，（a+b）5展开式的系数和是；（a+b）n展开式的系数和是．22．（2022·上海宝山·七年级期末）小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘x−2y错抄成除以x−2y，结果得到3x，如果小明没有错抄题目，并且计算依然正确，那么得到的结果应该是什么？23．（2022·上海·七年级期末）在长方形ABCD中，AB=6cm,AD=8cm，现将长方形ABCD向上平移xcm，再向左平移x+1cm后到长方形A1B1C1当x=3时，请画出平移后的长方形A1B1C12当x满足什么条件时，长方形ABCD与长方形A1B13在平移的过程中，总会形成一个六边形A1B1BCDD24．（2021·上海·七年级期中）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到a2+3ab+2（1）写出图2中所表示的数学等式；（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=12，ab+bc+ac=47，求的值；（3）小明同学打算用x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张相邻两边长为分别为a、b的长方形纸片拼出了一个面积为5a+8b7a+4b25．（2021·上海·七年级期中）阅读理解题阅读材料：

两个两位数相乘，如果这两个因数的十位数字相同，个位数字的和是10，该类乘法的速算方法是：将一个因数的十位数字与另一个因数的十位数字加1的和相乘，所得的积作为计算结果的前两位，将两个因数的个位数字之积作为计算结果的后两位（数位不足两位，用0补齐）．

比如47×43，它们乘积的前两位是4×4+1=20，它们乘积的后两位是，所以47×43=2021

再如62×68，它们乘积的前两位是6×6+1=42，它们乘积的后两位是2×8=16，所以

又如21×29，2×2+1=6，不足两位，就将6写在百位：1×9=9

该速算方法可以用我们所学的整式乘法与分解因式的知识说明其合理性；

设其中一个因数的十位数字为a，个位数字是b，（a、b表示1~9的整数），则该数可表示为10a+b，另一因数可表示为10a+10−b

两数相乘可得：.（注：其中aa+1表示计算结果的前两位，b问题：

两个两位数相乘，如果其中一个因数的十位数字与个位数字相同，另一因数的十位数字与个位数字之和是10．

如44×73、77×28、55×64等．（1）探索该类乘法的速算方法，请以44×73为例写出你的计算步骤；（2）设十位数字与个位数字相同的因数的十位数字是a，则该数可以表示为___________．设另一个因数的十位数字是b，则该数可以表示为___________．（a、b表示1~9的正整数）（3）请针对问题（1）（2）中的计算，模仿阅读材料中所用的方法写出如：100aa+1

9.10.3多项式与多项式相乘（解析版）【夯实基础】一、单选题1．（2021·上海黄浦·七年级期末）若x2+px+q＝（x﹣3）（x+5），则p的值为（）A．﹣15 B．﹣2 C．2 D．8【答案】C【分析】根据根据多项式乘以多项式，把等号右边展开，即可求得p的值．【详解】解：，．

故选：C．【点睛】本题主要是考查了多项式的乘法，熟练掌握多项式的乘法运算是解题的关键．2．（2022·上海普陀·七年级期末）如果2（5﹣a）（6+a）＝100，那么a2+a+1的值为（）A．19 B．﹣19 C．69 D．﹣69【答案】B【分析】先根据多项式乘以多项式法则计算2（5﹣a）（6+a）＝100，得a2+a＝﹣20，最后整体代入可得结论．【详解】解：∵2（5﹣a）（6+a）＝100，∴﹣a2+5a﹣6a+30＝50，∴a2+a＝﹣20，∴a2+a+1＝﹣20+1＝﹣19，故选：B．【点睛】本题考查多项式乘以多项式、求代数式的值，设计整体思想，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．3．（2022·上海·七年级期末）如图，根据计算长方形ABCD的面积，可以说明下列哪个等式成立（

）A．(a+b)2=C．(a+b)(a−b)=a2−【答案】D【详解】长方形ABCD的面积的两种表示方法可得aa+b故选D.二、填空题4．（2021·上海金山·七年级期中）计算：x−2y2x+y【答案】2x2-3xy-2y2【分析】根据多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加计算．【详解】解：（x-2y）（2x+y），=2x2+xy-4xy-2y2，=2x2-3xy-2y2．故答案为：2x2-3xy-2y2．【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键，注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项．5．（2021·上海市南洋模范初级中学七年级期中）计算：（a﹣3）（a+7）＝___．【答案】a2+4a-21．【分析】利用多项式乘多项式展开，再合并即可．【详解】解：（a﹣3）（a+7）=a2-3a+7a-21=a2+4a-21．故答案为：a2+4a-21．【点睛】本题考查了多项式乘多项式，熟知整式混合运算的法则是解答此题的关键．6．（2020·上海闵行·七年级期中）若x+2ax−3=2x【答案】1【分析】先把等号的左边根据多项式与多项式的乘法法则化简，然后与右边比较即可．【详解】解：∵x+2ax−3∴ax∴ax∴a=2，2a-3=m，∴m=1，故答案为：1．【点睛】本题考查了多项式与多项式的乘法运算，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．7．（2021·上海奉贤·七年级期末）计算：（2x﹣y）（x﹣2y）＝_____．【答案】2x2﹣5xy+2y2【分析】根据多项式乘以多项式的法则进行计算即可．【详解】原式＝2x•x﹣2x•2y﹣y•x+y•2y＝2x2﹣4xy﹣xy+2y2＝2x2﹣5xy+2y2．故答案为：2x2﹣5xy+2y2．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，正确的计算是解题的关键．8．（2021·上海市傅雷中学七年级期中）计算：（x+3y）（2x﹣y）＝_____．【答案】2【分析】根据多项式乘以多项式运算法则即可求解．【详解】x+3y故答案为：2【点睛】本题主要考查多项式乘以多项式，解题的关键是熟知其运算法则．9．（2021·上海市西延安中学七年级期中）计算：（3x﹣y）（5x+2y）＝___．【答案】15【分析】根据多项式乘以多项式进行计算即可，最后根据整式的加减合并同类项．【详解】解：（3x﹣y）（5x+2y）=15=15故答案为：15【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，正确的计算是解题的关键．10．（2021·上海奉贤·七年级期中）计算：（x+2）（2x﹣3）＝___．【答案】2x2+x-6【分析】根据整式的乘法运算法则即可求解．【详解】（x+2）（2x﹣3）=2x2-3x+4x-6=2x2+x-6故答案为：2x2+x-6．【点睛】此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知其运算法则．11．（2022·上海·七年级期末）已知a2+a−3=0，那么【答案】9【分析】先表示出a2，a【详解】解：∵a2∴a2=3−a，∴a=3−a=−=−=−3+12=9故答案为：9．【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式和求代数式的值，利用整体思想降幂是解题的关键．12．（2022·上海普陀·七年级期末）计算：（x+3）（x+5）＝_____．【答案】x【分析】根据多项式与多项式相乘的法则计算．【详解】解：（x+3）（x+5）＝x2+5x+3x+15＝x2+8x+15故答案为：x2+8x+15．【点睛】本题考查了多项式乘多项式．解题的关键在于熟练掌握多项式乘多项式的运算法则．13．（2022·上海浦东新·七年级期末）乘积(x+5)(x−2)的计算结果是_______．【答案】x【分析】根据多项式乘以多项式的运算法则即可得．【详解】解：(x+5)(x−2)=x故答案为：x2【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题关键．14．（2022·上海·七年级开学考试）多项式mx+42−3x展开后不含x的一次项，则m【答案】6【分析】先根据多项式乘以多项式法则进行计算，即可得出，求出即可．【详解】解：mx+4=2mx−3m=−3mx∵多项式mx+42−3x展开后不含x∴，解得：m=6，故答案是：6．【点睛】考查了多项式乘以多项式法则，解一元一次方程的应用，能得出关于m的方程是解此题的关键．三、解答题15．（2022·上海·七年级期末）计算：(xy2)(xy).【答案】x【分析】多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．【详解】解：==x【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，多项式与多项式相乘仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．16．（2021·上海·七年级期中）计算:2a−3b+4c【答案】4【分析】先用平方差公式展开，再用完全平方公式展开，即可得出答案.【详解】解：原式=2a−==4=4【点睛】本题考查的是多项式乘多项式，需要熟练掌握多项式乘多项式的法则.17．（2022·上海·七年级期中）解不等式：x−5【答案】x>1【分析】先去括号，再移项合并同类项，最后化系数为1．【详解】x−5去括号得：6移项合并得：−38x<−38系数化为1得：x>1．【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，特别要注意的是最后化系数为1时，两边同除负数，不等号需改变方向．18．（2021·上海浦东新·七年级期中）计算：（x+2）（4x﹣1）+2x（2x﹣1）．【答案】8【分析】根据单项式乘以多项式，多项式乘以多项式的法则进行乘法运算，再合并同类项即可．【详解】解：（x+2）（4x﹣1）+2x（2x﹣1）=4=8【点睛】本题考查的是整式的乘法运算，掌握“单项式乘以多项式与多项式乘以多项式的法则”是解本题的关键．19．（2020·上海闵行·七年级期中）解不等式：x+3【答案】x<-1【分析】先根据多项式与多项式的乘法法则化简，再根据解不等式的步骤求解．【详解】解：∵x+3∴x2-7x+3x-21+8>x2-x+5x-5，∴x2-7x+3x-x2+x-5x>-5-8+21，∴-8x>8，∴x<-1．【点睛】本题考查了多项式与多项式的乘法法则，以及一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可．20．（2020·上海闵行·七年级期中）计算：(1)−5x(2)x+3y−4z【答案】(1)3(2)x【分析】由多项式乘多项式的法则计算即可．(1)−5x=5=3x(2)x+3y−4z=x=x【点睛】本题考查了多项式乘多项式，一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn．注意①要用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，不能有遗漏②多项式乘多项式，实际上是转化为单项式乘单项式的运算来完成的③多项式的每一项都包括其前面的符号，并作为项的一部分参与运算④多项式与多项式相乘的结果仍是多项式，在合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数的积⑤结果中若有同类项，则要合并，所得的结果必须化为最简的形式．21．（2022·上海·七年级期末）已知关于x的多项式与x2−2x+3的积不含二次项和三次项，求常数m、n【答案】m=2，n=1.【分析】先运用多项式乘多项式的运算法则进行运算并整理，再令二次项和三次项的系数分别为0即可求解.【详解】解：原式=x2×(x2−2x+3)+mx×(x2−2x+3)+=x4-2x3+3x2+mx3-2mx2+3mx+nx2-2nx+3n=x4+(m-2)x3+(3-2m+n)x2+(3m-2n)x+3n令3-2m+n=0，m-2=0，解得，m=2，n=1.【点睛】积不含二次项和三次项的含义为，二次项和三次项的系数均为0，此为解题关键.22．（2020·上海市市北初级中学七年级期中）（1）计算：（x+1）（x2﹣x+1）；（2）计算：（x+1）（x4﹣x3+x2﹣x+1）；（3）根据以上等式进行猜想，当n是偶数时，可得：（x+1）（xn﹣xn﹣1+xn﹣2﹣xn﹣1…x3+x2﹣x+1）＝．【答案】（1）x3+1；（2）x5+1；（3）xn+1+1【分析】（1）根据多项式乘以多项式法则求出即可；（2）根据多项式乘以多项式法则求出即可；（3）根据（1）（2）中的结果得出规律，再得出答案即可．【详解】解：（1）（x+1）（x2﹣x+1）＝x3﹣x2+x+x2﹣x+1＝x3+1；（2）（x+1）（x4﹣x3+x2﹣x+1）＝x5﹣x4+x3﹣x2+x+x4﹣x3+x2﹣x+1＝x5+1；（3）根据以上等式进行猜想，当n是偶数时，可得：（x+1）（xn﹣xn﹣1+xn﹣2﹣xn﹣1…x3+x2﹣x+1）＝xn+1+1，故答案为：xn+1+1．【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，解题的关进在于能够熟练掌握相关知识进行求解．【能力提升】一、单选题1．（2021·上海·七年级期中）若关于x的多项式x2−2x+3与多项式x2+2x−a的积中不含一次项，则常数A．−3 B．3 C．4 D．−4【答案】A【分析】先把两多项式相乘，再令一次项的系数等于0即可得出a的值．【详解】解：∵多项式与多项式的积中不含一次项则2a+6=0即a=−3故选A.【点睛】本题考查了多项式的系数，多项式的乘法，根据多项式的积中不含一次项列出关于x的方程是解答此题的关键．二、填空题2．（2021·上海市民办新竹园中学七年级期中）若展开后不含x3和x项，则m+n的值为___．【答案】7【分析】先根据多项式乘以多项式法则展开，合并同类项，根据已知得出关于m、n的方程，求出m、n即可．【详解】解：，的展开式中不含x3项和x项，，，解得：m=3，n=4，m+n=3+4=7．故答案为：7．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，能够正确得出关于m、n的方程是解题的关键．3．（2021·上海浦东新·七年级期中）若a+b＝﹣3，ab＝1，则（a+1）（b+1）（a﹣1）（b﹣1）＝_____．【答案】-5【分析】根据多项式乘多项式的乘法法则解决此题．【详解】解：∵a+b=-3，ab=1，∴（a+1）（b+1）（a-1）（b-1）=[（a+1）（b+1）][（a-1）（b-1）]=（ab+a+b+1）（ab-a-b+1）=（1-3+1）×（1+3+1）=-1×5=-5．故答案为：-5．【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则是解决本题的关键．4．（2021·上海·七年级专题练习）如图，要设计一幅长为3xcm，宽为2ycm的长方形图案，其中有两横两竖的彩条，横彩条的宽度为acm，竖彩条的宽度为bcm，问空白区域的面积是_____．【答案】（6xy﹣6xa﹣4by+4ab）cm2【分析】可设想将彩条平移到如图所示的长方形的靠边处，则该长方形的面积就是空白区域的面积，这个大长方形长（3x﹣2b）cm，宽为（2y﹣2a）cm，根据矩形的面积公式求解即可．【详解】解：可设想将彩条平移到如图所示的长方形的靠边处，将9个小矩形组合成“整体”，一个大的空白长方形，则该长方形的面积就是空白区域的面积．而这个大长方形长（3x﹣2b）cm，宽为（2y﹣2a）cm．所以空白区域的面积为（3x﹣2b）（2y﹣2a）cm2．即（6xy﹣6xa﹣4by+4ab）cm2．故答案为：（6xy﹣6xa﹣4by+4ab）cm2．【点睛】本题考查了空白区域面积的问题，掌握平移的性质、矩形的面积公式是解题的关键．5．（2021·上海·七年级期中）观察下列各式：(x−1)(x+1)=x²−1(x−1)(x²+x+1)=x³−1(x−1)(x³+x²+x+1)=x4−1…根据以上规律，求1+2+2²+…+22016【答案】22018-1【分析】把原式进行变形，即原式乘以（2-1）后根据题中的规律可得结果.【详解】解：1+2+2²+…+2=（2-1）(1+2+2²+…+22016=22018-1故答案为22018-1【点睛】本题考查的是算式规律探究问题，根据题意归纳得出一般性规律是解答此题的关键.三、解答题6．（2022·上海·七年级期末）如图，在长方形ABCD中，AB=8cm，BC=10cm，现将长方形ABCD向右平移xcm，再向下平移x+1cm后到长方形A'B'C'D'（1）当x=4时，长方形ABCD与长方形A'B'C'D'的重叠部分面积等于________cm（2）如图，用x的代数式表示长方形ABCD与长方形A'（3）如图，用x的代数式表示六边形ABB'C'D'D的面积．【答案】（1）18cm2；（2）(【分析】（1）根据平移方向和距离可求出重叠部分的长和宽，从而可求出重叠部分的面积；（2）用x表示出重叠部分的长和宽，然后根据长方形面积公式列式整理即可；（3）利用平移前后长方形的面积和加上两个正方形的面积，然后再送去重叠部分的面积列式进行计算即可得解．【详解】解：（1）将长方形ABCD向右平移，再向下平移5cm所以，重叠部分的长为：10-4=6cm，宽为：8-5=3cm；因此，重叠部分的面积为：6×3=18cm（2）∵AB=8cm，BC=10cm，∴重叠部分的长为（10-x）cm，宽为[8-(x+1)]cm，∴重叠部分的面积=(10−x)[8−(x+1)]=(10−x)(7−x)．=(x（3）S=10×8×2+1=18x+90．【点睛】本题考查了平移的性质和整式的混合运算，认准图形，准确列出所求部分的面积是解题的关键．7．（2022·上海·七年级期末）已知：；，求【答案】【分析】先变成am×am+1的形式，再代入，最后把整式化简即可．【详解】∵；，∴===.【点睛】本题考查多项式乘多项式和同底数幂的乘法的逆运用，能利用同底数幂的乘法将化成是解决本题的关键，本题多项式与多项式相乘展开式较长，一定要细心，在合并同类项时不能出现遗漏.8．（2021·上海·七年级期中）多项式A=x3+mx2+2x−8、B=3x−n，A与（1）试确定m和n的值；（2）求3A−2B．【答案】（1）n=−12，m=−4；（2）3【分析】（1）直接利用多项式乘法计算进而得出n，m的值；（2）利用（2）中所求，进而代入得出答案．【详解】解：（1）x=3=3x∵多项式A=x3+mx2+2x−8、B=3x−n，A与∴3m−n=0，2n−24=0，解得：n=−12，m=−4；（2）由（1）得：3A−2B=3=3=3=3x【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，整式的化简求值，整式的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行化简．9．（2021·上海市川沙中学南校七年级期中）先化简，再求值：3x2y−xy【答案】2y2−【分析】先利用整式乘法计算括号内的运算，然后合并同类项，得到最简整式，再把x=3，代入计算，即可得到答案．【详解】解：3=3=3=xy+2=2y当x=3，原式=2×−2【点睛】本题考查了整式的混合运算，整式的化简求值，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简．10．（2021·上海市民办新竹园中学七年级期中）有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答后面的问题．例：若x=123456789×123456786，y=123456788×123456787，试比较x，y的大小．解：设123456788=a，那么x=(a+1)(a−2)=y=a(a−1)=看完后，你学到了这种方法吗？再亲自试一试吧，你准行！问题：若，，试比较x，y的大小．【答案】【分析】根据题意设，求出x，y的值，进行比较即可得．【详解】解：设，则=−3，=−3，所以．【点睛】本题考查了整式的运算，解题的关键是理解题意，掌握整式混合的运算法则．11．（2021·上海杨浦·七年级期中）7张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按如图2．3的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．（1）如图2，点E、Q、P在同一直线上，点F、Q、G在同一直线上，右下角与左上角的阴影部分的面积的差为（用含a、b的代数式表示），矩形ABCD的面积为（用含a、b的代数式表示）；（2）如图3，点F、H、Q、G在同一直线上，设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为S，PC＝x．当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，那么a、b必须满足什么条件？【答案】（1）a2−12b2【分析】(1)右下角的图形为边长为a的正方形，左上角图形为长方形，其长宽分别为4b，3b.分别计算面积作差即可，找到矩形ABCD的长宽分别为a+4b，a+3b计算面积即可，(2)AE=FQ，PC=HG，有FQ=HG+FH-QG，从而得到AE，把S表示出来，令与相乘的因式为零，即可得到S与BC长度无关．【详解】(1)右下角的图形为边长为a的正方形，面积为a2左上角图形为长方形，其长宽分别为4b，3b，面积为4b×3b=12b则右下角与左上角的阴影部分的面积的差为a2矩形ABCD的长宽分别为a+4b，a+3b，面积为a+4ba+3b故答案为a2−12(2)∵AE=FQ，PC=HG，有FQ=HG+FH-QG∴AE=PC+FH-QG即AE=x+4b-a图3中，右下角的矩形长宽分别为x，a，则面积为xa．左上角矩形长宽分别为x+4b-a，3b，则面积为3b（x+4b-a）．则S=xa−3b整理得到，S=xa−3bx−12当BC的长度变化时，S始终保持不变，则a−3b=0时成立．【点睛】本题解题关键在于找准各部分图形的边长与边长之间的关系，准确表示出面积的代数式，需要注意的是，矩形的对边与对边长度相等，可互相等量代换求得其他线段的长度．12．（2021·上海市傅雷中学七年级期中）先化简后求值(2x−3y)(2x+3y)−(y−2x)2【答案】x2【分析】先运用多项式乘以多项式的法则计算，然后合并同类项，再把x=−2,y=1【详解】原式=4x2当x=−2,y=12故答案为x2【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握运算顺序与运算法则是解题的关键.13．（2021·上海浦东新·七年级期中）某中学有一块长30m，宽20m的长方形空地，计划在这块空地上划分出部分区域种花，小明同学设计方案如图，设花带的宽度为x米．(1)请用含x的式子表示空白部分长方形的面积；（要化简）(2)当花带宽2米时，空白部分长方形面积能超过400m2吗？请说明理由．【答案】(1)(2(2)超过，理由见解析【分析】（1）空白部分长方形的两条边长分别是（30-2x）m，（20-x）m．得空白部分长方形的面积；（2）通过有理数的混合运算得结果与400进行比较．(1)空白部分长方形的两条边长分别是（30-2x）m，（20-x）m．空白部分长方形的面积：（30-2x）（20-x）=(2x2-70x+600)m2．(2)超过．∵2×22-70×2+600=468（m2），∵468＞400，∴空白部分长方形面积能超过400m2．【点睛】本题考查有代数式表示实际问题，掌握用代数式表示长方形的边长，读懂题意列出代数式是解决此题关键．14．（2021·上海奉贤·七年级期中）图1是一个长方形窗户ABCD，它是由上下两个长方形（长方形AEFD和长方形EBCF）的小窗户组成，在这两个小窗户上各安装了一个可以朝一个方向水平方向拉伸的遮阳帘，这两个遮阳帘的高度分别是a和2b（即DF＝a，BE＝2b），且b＞a＞0．当遮阳帘没有拉伸时（如图1），窗户的透光面积就是整个长方形窗户（长方形ABCD）的面积．如图2，上面窗户的遮阳帘水平方向向左拉伸2a至GH．当下面窗户的遮阳帘水平方向向右拉伸2b时，恰好与GH在同一直线上（即点G、H、P在同一直线上）．（1）求长方形窗户ABCD的总面积；（用含a、b的代数式表示）（2）如图3，如果上面窗户的遮阳帘保持不动，将下面窗户的遮阳帘继续水平方向向右拉伸b至PQ时，求此时窗户透光的面积（即图中空白部分的面积）为多少？（用含a、b的代数式表示）（3）如果上面窗户的遮阳帘保持不动，当下面窗户的遮阳帘拉伸至BC的中点处时，请通过计算比较窗户的透光的面积与被遮阳帘遮住的面积的大小．【答案】（1）2a2+6ab+4【分析】（1）根据题意求得长方形窗户的长为FH+EH=2a+2b，高为a+2b，即可求得面积；（2）窗户透光的面积等于总面积减去遮阳帘的面积即可；（3）先求得下窗户的遮阳帘的长，进而求得遮阳帘遮住的面积，根据（1）的总面积减去遮阳帘遮住的面积即可得到窗户的透光的面积，进而根据整式的加减作出比较即可求解．【详解】（1）∵长方形窗户的长为FH+EH=2a+2b，高为a+2b，∴长方形窗户ABCD的总面积为：2a+2b=2=2（2）上面窗户遮阳帘的面积为a×2a=2下面窗户的遮阳帘的面积为2b×∴窗户透光的面积为2a2=2=6ab−2（3）∵如果上面窗户的遮阳帘保持不动，当下面窗户的遮阳帘拉伸至BC的中点处时，则下面遮阳帘的长为1∴上面窗户遮阳帘的面积为a×2a=2下面窗户的遮阳帘的面积为2b×(a+b)∴遮阳帘遮住的面积为2窗户的透光的面积为2∵=2=2a(a−b)∵b＞a＞0∴∴遮阳帘遮住的面积大于窗户的透光的面积【点睛】本题考查了列代数式，多项式的乘法，整式的加减的应用，根据题意列出代数式是解题的关键．15．（2021·上海·七年级期中）如图，在长方形ABCD中，放入6个形状和大小都相同的小长方形，已知小长方形的长为a，宽为b，且a＞b．(1)用含a、b的代数式表示长方形ABCD的长AD、宽AB；(2)用含a、b的代数式表示阴影部分的面积．【答案】（1）AD=a+2b，AB=a+b；（2）a2-3ab+2b2【分析】（1）根据图形分析出AD为小长方形的一长和两个宽度和，AB为小长方形的一长和一宽的和；（2）阴影部分的面积为大长方形的面积与6个小长方形面积的差，分别用长方形的面积公式表示每个图形面积即可求得阴影部分的面积.【详解】解：（1）由图形可得，AD=a+b+b=a+2b，AB=a+b；（2）S阴影=a2+ab+2ab+2b2-6ab=a2-3ab+2b2【点睛】本题考查了整式的混合运算的图形应用，认真观察图形，弄清楚线段之间，面积之间的关系是解答此题的关键.16．（2021·上海·七年级期中）如图，一套房子的客厅AEFD和房间EBHG分别是边长为a米和b米（2b>a>b）的正方形，厨房FGNM和卫生间MNHC分别是正方形和长方形．（1）求厨房的边长FG和卫生间的长HN（用含a、b的代数式表示）：（2）求卫生间MNHC的面积（用含a、b的代数式表示）：（3）求当a=6米，b=412米时，卫生间【答案】（1）FG=a−b米；HN=2b−a米；（2）−a2+3ab−2【分析】（1）FG=EF−EG，HN=GH−GN代入边长即可求解；（2）卫生间MNHC的面积=HNMN（3）将数据代入（2）中的面积表达式进行计算.【详解】解：（1）∵客厅AEFD和房间EBHG分别是边长为a米和b米的正方形∴EF=a，EG=GH=b∴FG=EF−EG=a−b米又∵厨房FGNM∴GN=MN=FG=a−bHN=GH−GN=b−a−b（2）卫生间MNHC的面积S=HNMN（3）当a=6，b=412时，答：卫生间MNHC的面积为92【点睛】本题考查列代数式表示图形面积和代数式的求值，列代数式的关键是找到线段长度的表达式.17．（2021·上海·七年级期中）如图，某市有一块长为（3a+b）米、宽为（2a+b）米的长方形地，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座边长为（a+b）米的正方形雕像．（1）试用含a、b的式子表示绿化部分的面积（结果要化简）．（2）若a=3，b=2，请求出绿化部分的面积．【答案】（1）5a2+3ab；（2）63.【分析】（1）由长方形面积减去正方形面积表示出绿化面积即可；（2）将a与b的值代入计算即可求出值．【详解】解：（1）根据题意得：（3a+b）（2a+b）-（a+b）2=6a2+5ab+b2-a2-2ab-b2=5a2+3ab；（2）当a=3，b=2时，原式=5×3【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式混合运算的法则是解本题的关键．18．（2021·上海·七年级期中）如图所示：有边长为a的正方形A类卡片、边长为b的正方形B类卡片、长和宽分别为a、b的长方形C类卡片各若干张，如果要拼一个边长分别为、(a+2b)的大长方形（不重叠无缝隙），那么需要A类卡片______张，B类卡片_______张，C类卡片______张，并请画出一种拼法.（每类卡片至少使用一张，并在画图时标注好每类卡片的类型及边长）【答案】2，2，5【分析】根据长方形的面积等于长乘以宽列式，再根据多项式的乘法法则计算，然后结合卡片的面积即可作出判断，再画图即可.【详解】长为a+2b，宽为2a+b的矩形面积为（a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2，A图形面积为a2，B图形面积为b2，C图形面积为ab，则可知需要A类卡片2张，B类卡片2张，C类卡片5张．画图如下：【点睛】此题的立意较新颖，主要考查多项式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．19．（2021·上海·七年级期中）小文想用一张长方形白铁皮做一个长方体无盖盒子，她采取了如下图所示的一个方案（阴影部分是被剪掉的材料，形状为四个相同的正方形）．（1）这块白铁皮的总面积是多少？（2）这个长方体盒子的表面积是多少？（3）这个长方体盒子的体积是多少？【答案】（1）6a2b2；（2）5a2b2；（3）a3b3．【分析】（1）结合图形确定长方形的长和宽，再根据矩形的面积公式列出算式，计算可得；（2）长方形盒子的表面积=大长方形的面积-四个小正方形的面积，据此列出算式，再根据整式的混合运算顺序和运算法则计算可得；（3）结合图形确定盒子的长、宽、高，根据题意公式列出算式，再进一步计算可得．【详解】解：（1）这张白铁皮的面积为3ab（ab+2×12ab）=3ab×2ab=6a2b2（2）这个长方体盒子的表面积是6a2b2-4×（12ab）2=6a2b2-a2b2=5a2b2（3）这个长方体盒子的体积是（3ab-2×12ab）•ab•1=2ab•ab•12=a3b3．【点睛】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是结合图形列出面积、体积的代数式，并熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则．20．（2021·上海·七年级期中）用一张长x厘米、宽y厘米（x>y>4）的长方形纸打字，如果左右两边各空出1厘米，上下各空出2厘米，那么这张纸空出后的面积是多少？并求出x=6,y=5时这张纸空出后的面积【答案】这张纸空出后的面积是xy﹣4x﹣2y+8或xy﹣2x﹣4y+8，当x=6，y=5时这张纸空出后的面积4平方厘米或6平方厘米.【分析】整体分析：因为不确定是长空1厘米，还是宽空1厘米，所以需要分两种情况讨论.【详解】解：①面积为(x﹣2)(y﹣4)=xy﹣4x﹣2y+8，当x=6，y=5时，xy﹣4x﹣2y+8=4；②面积为(x﹣4)(y﹣2)=xy﹣2x﹣4y+8，当x=6，y=5时，y﹣2x﹣4y+8=6．答：这张纸空出后的面积是xy﹣4x﹣2y+8或xy﹣2x﹣4y+8，当x=6，y=5时这张纸空出后的面积4平方厘米或6平方厘米.21．（2021·上海市西延安中学七年级期中）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律．例如：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；根据以上规律，解答下列问题：（1）（a+b）5展开式的系数和是；（a+b）n展开式的系数和是．（2）当a＝2时，（a+b）5展开式的系数和是；（a+b）n展开式的系数和是．【答案】（1）25；2n；（2）35；3n．【分析】（1）经过求和计算和变形，观察发现展开式的各项系数之和为当a=1，b=1时的代数式的值，按此规律便可求解（2）利用知识迁移，用a=2，b=1求和（a+b）5展开式的系数和（2+1）5计算即可，同样方法求（a+b）n展开式的系数和（2+1）n即可【详解】解：（1）1=10=（1+1）0，1，1，1+1=2=21=（1+1）1，1，2，1，1+2+1=22=（1+1）2，1，3，3，1，1+3+3+1=8=23=（1+1）31，4，6，4，1，1+4+6+4+1=16=24=（1+1）4……当a=1，b=1时，(a+b)n展开式的系数和（1+1）n展开式的系数和是25，∴（a+b）5展开式的系数和是当a=1，b=1时（1+1）5=25；∴（a+b）5展开式的系数和是25；当a=1，b=1时，（a+b）n=（1+1）n=2n，（a+b）n展开式的系数和是2n，故答案为：25；2n；（2）当a＝2时，b=1，（a+b）5=（2+1）5=35当a＝2时，（a+b）5展开式的系数和是35；当a＝2时，b=1，（a+b）n=（2+1）n=3n（a+b）n展开式的系数和是3n．故答案为：35；3n．【点睛】本题考查两数和的n次方公式与展开式各项系数和，本题主要是根据已知与图形，让学生探究，观察规律是求a与b为特定值是的代数式的值，属于一种开放性题目．22．（2022·上海宝山·七年级期末）小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘x−2y错抄成除以x−2y，结果得到3x，如果小明没有错抄题目，并且计算依然正确，那么得到的结果应该是什么？【答案】3x3-12x2y+12xy2【分析】根据被除式=商×除式，所求多项式是3x（x-2y），根据多项式乘多项式的法则计算即可．【详解】解：第一个多项式是：3x（x-2y）=3x2-6xy，正确的结果应该是：（3x2-6xy）（x-2y）=3x3-6x2y-6x2y+12xy2=3x3-12x2y+12xy2．【点睛】题考查了多项式乘多项式法则，根据被除式、除式、商三者之间的关系列出等式是解题的关键，熟练掌握运算法则也很重要．23．（2022·上海·七年级期末）在长方形ABCD中，AB=6cm,AD=8cm，现将长方形ABCD向上平移xcm，再向左平移x+1cm后到长方形A1B1C1当x=3时，请画出平移后的长方形A1B1C12当x满足什么条件时，长方形ABCD与长方形A1B13在平移的过程中，总会形成一个六边形A1B1BCDD【答案】（1）长方形A1B1C1D1见详解，重叠部分的面积=12c【分析】（1）根据题意，画出长方形A1（2）根据题意得长方形ABCD与长方形A1B1C1（3）延长A1D1，CD交于点M，延长A1B1，CB交于点N，根据割补法，求出六边形A1【详解】（1）长方形A1∵在长方形ABCD中，AB=6cm,AD=8cm，将长方形ABCD向上平移3cm，再向左平移后到长方形A1B∴长方形ABCD与长方形A1B1（2）∵AB=6cm,AD=8cm，将长方形ABCD向上平移xcm，再向左平移x+1cm后到长方形A∴长方形ABCD与长方形A1B1C1∴重叠部分的面积=8−(x+1)(6−x)=(∵8−(x+1)>0且6−x>0且x≥0，∴0≤x<6；（3）延长A1D1，CD交于点M，延长A1B1，CB交于点N，六边形A1B=(6+x)(