第24章 解直角三角形 单元达标测试卷 2024-2025学年华东师大版九年级数学上册

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页第24章解直角三角形单元达标测试卷2024--2025学年华东师大版九年级数学上册学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．的值等于（）A．1 B． C． D．2．在中，，，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．3．如图，某山坡的坡面米，坡角，则该山坡的高度是（

）米A． B． C． D．4．若，均为锐角，且，，则（

）A．， B．C．， D．5．如图，在中，，设，，所对的边分别为a，b，c，则（）A． B． C． D．6．如图，每个小正方形的边长均为1，则的值为（

）A． B． C． D．7．已知，则α的度数为（

）A． B． C． D．8．如图，从山下乘缆车上山，缆绳与水平方向成的夹角，已知缆车速度为每分钟米，从山脚到山顶需分钟，则山的高度为（

）

A．米 B．米C．米 D．米9．如图，在中，，边的垂直平分线交于，交于，则的长为（

）A．12 B．24 C．6 D．1810．如图，在中，，是高，，则下列关系正确的是（）A． B． C． D．11．如图所示，在矩形中，，点，分别在边，上．连接，将四边形沿翻折，点，分别落在点，处．则的值是（

）A．2 B． C． D．12．如图，在中，，，为等边三角形，过点作的延长线于点，若，则的长为（

）A．6.5 B．6.8 C．7 D．7.2二、填空题13．如图，在中，，，，则的长是．14．如图，在中，是斜边上的中线，，则．

15．如图，O是矩形的对角线的中点，E是边的中点．若，，则线段的长为．16．如图，中，是斜边上的高，是6，，则上的中线长是．三、解答题17．计算：(1)(2)．18．如图，在中，点在边上，且，点是的中点，，求证：．19．如图，一座古塔坐落在小山上(塔顶记作点A，其正下方水平面上的点记作点B)，小李站在附近的水平地面上，他想知道自己到古塔的水平距离，便利用无人机进行测量，但由于某些原因，无人机无法直接飞到塔顶进行测量，因此他先控制无人机从脚底(记为点C)出发向右上方(与地面成，点A，B，C，O在同一平面)的方向匀速飞行4秒到达空中O点处，再调整飞行方向，继续匀速飞行8秒到达塔顶，已知无人机的速度为5米/秒，，求小李到古塔的水平距离即的长．20．如图，表示某引水工程的一段设计路线，从M到N的走向为南偏东，在M的南偏东方向上有一点A，以A为圆心、为半径的圆形区域为居民区．取上的另一点B，测得的方向为南偏东．已知，通过计算回答，如果不改变方向，输水管道是否会穿过居民区．21．随着人民生活质量的不断提高，国家越来越重视“全民运动”，其中篮球运动是一项深受市民喜欢的球类运动，图1，图2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知，，，，，篮板顶端P点到篮框F的距离，支架垂直水平地面，支架与水平地面平行，求篮框F到水平地面的距离．（结果精确到．参考数据：，，）22．如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接．(1)求证：四边形是菱形；(2)若求的长．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：题号12345678910答案CDDABDDAAD题号1112答案AC1．C【知识点】特殊三角形的三角函数【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角构造直角三角形计算即可．【详解】解：如图，中，，，则，，∴，故选：C．2．D【知识点】用勾股定理解三角形、求角的正弦值、求角的余弦值、求角的正切值【分析】本题主要考查了锐角三角函数，勾股定理，正确记忆三角函数的定义是解题关键．先根据勾股定理求出，再根据三角函数的定义分别求解可得．【详解】解：如图所示，∵，，，∴，A、，故该选项不符合题意；B、，故该选项不符合题意；C、，故该选项不符合题意；D、，故该选项符合题意；故选：D．3．D【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）【分析】题考查了解直角三角形的应用，在中，由，即可得出的长度．【详解】在中，，∵坡面米，坡角，∴该山坡的高度，故选：D．4．A【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数【分析】本题考查根据特殊角的三角函数值求角的度数，根据特殊角的三角函数值进行判断即可．【详解】解：∵，∴，；故选A．5．B【知识点】正弦的概念辨析、正切的概念辨析【分析】本题考查了三角函数的定义．根据三角函数的定义进行判断，即可解决问题．【详解】解：∵中，，、、所对的边分别为a，b，c，∴，即，则A选项不成立，B选项成立；，即，则C、D选项均不成立；故选：B．6．D【知识点】勾股定理与网格问题、求角的正弦值【分析】本题考查锐角三角函数，根据网格特点，先求得，再根据正弦定义求解即可．【详解】解：如图，，，在中，，故选：D．7．D【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，根据的余弦值是解答，熟记的余弦值是是解题的关键．【详解】解：，，故选：D．8．A【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，先求出的长，再根据正弦的定义即可得到答案．【详解】解：由题意得（米），在中，，，（米），故选A．9．A【知识点】线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，含角的直角三角形，等腰三角形的性质，由等腰三角形的性质得到，由线段垂直平分线的性质得到，因此，求出，由含角的直角三角形的性质推出，于是．【详解】解：，，，垂直平分，，，，，，，，．故选：A．10．D【知识点】含30度角的直角三角形【分析】本题考查了含度角的直角三角形的性质：度角所对的直角边是斜边的一半，熟记相关结论即可求解；【详解】解：∵是边上的高线，∴，∵，∴，∴，∵，∴故选：D．11．A【知识点】解直角三角形的相关计算、求角的正切值、矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形【分析】连接交于点F，设，则，利用勾股定理求得，由折叠得到，垂直平分，则，由代入求得，则，所以，于是得到问题的答案．【详解】解：连接交于点F，设，则，∵四边形是矩形，∴，∴∵将四边形沿翻折，点C，D分别落在点A，E处，∴点C与点A关于直线对称，∴，垂直平分，∴，，，∵，∴∴，∴∴．故选：A．【点睛】此题考查矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．12．C【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质，作于，则，证明，得出，求出，再由含角的直角三角形的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：如图，作于，则，∵，∴，∴，∵为等边三角形，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故选：C．13．4【知识点】含30度角的直角三角形【分析】本题考查了含30度角的直角三角形，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答．【详解】解：在中，，，，，故答案为：4．14．5【知识点】斜边的中线等于斜边的一半【分析】本题主要考查直角三角形斜边中线定理，熟练掌握直角三角形斜边中线定理是解题的关键；因此此题可根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”进行求解即可．【详解】解：在中，是斜边上的中线，，∴；故答案为5．15．6.5【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半【分析】此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质和三角形中位线定理得出解答．根据矩形的性质和三角形中位线定理得出，进而利用勾股定理得出，再根据直角三角形的性质解答即可．【详解】解：∵O是对角线的中点，E是边的中点，∴是的中位线，∴，∴，又∵O是矩形对角线的中点，∴，故答案为：．16．【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、相似三角形的判定与性质综合【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．熟练掌握相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键．设，则，证明，则，即，可求满足要求的解为，则，由，可知上的中线长是．【详解】解：设，则，∵，∴，又∵，∴，∴，即，解得，或（舍去），∴，∵，∴上的中线长是，故答案为：．17．(1)(2)【知识点】特殊角三角函数值的混合运算【分析】本题考查了含有特殊角的三角函数值的实数的运算，牢记特殊角的三角函数值是解答本题的关键．（1）先计算特殊角的三角函数值，然后计算乘方再计算除法，最后进行减法计算；（2）根据题意，先计算特殊角的三角函数值，然后计算乘法，绝对值，最后合并，整理，得到答案．【详解】（1）解：；（2）解：．18．见解析【知识点】根据等角对等边证明边相等、斜边的中线等于斜边的一半【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质和等边对等角，根据已知可知为的斜边中线，可得，再由可得，由此即可证明结论．【详解】证明：∵，∴，又∵，∴，∵，∴，∴19．【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，根据题意可得：米，米，，，从而可得，进而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【详解】解：过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，如图所示：由题意得：米，米，，，，，，在中，米，在中，米，米，米，小李到古塔的水平距离即的长为米．20．输水管道会穿过居民区【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用)【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，过点A作于C，由题意得，，设，解直角三角形得到，，则可得方程，解方程即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点A作于C，由题意得，，设，在中，，在中，，∵，∴，解得，∵，∴，∴，∴输水管道会穿过居民区．21．篮框F到水平地面的距离约为【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，延长交于点M，先求出，再解得到，根据线段的和差关系得到，据此求出的值即可得到答案．【详解】解：如图，延长交于点M．由题意可知，，．在，，，．，，，，∴篮框F到水平地面的距离约