11材料力学组合变形

第11章组合变形组合变形1组合变形目录9.1拉伸（压缩）与弯曲的组合9.2扭转与弯曲的组合9.3两相互垂直平面内的弯曲2一、组合变形

在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种简单变形，当几种变形所对应的应力属同一量级时，不能忽略之，这类构件的变形称为组合变形。组合变形MPRzxyPP引言3组合变形Phg4组合变形水坝qPhg5二、组合变形的研究方法——叠加原理①外力分析：外力向形心(或弯心)简化并沿形心主惯性轴分解②内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和内力图，确定危险面。③应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立危险点的强度条件。组合变形6组合变形§9.1拉伸（或压缩）与弯曲的组合一、杆件同时受横向力和轴向力的作用而产生的变形PR以图(a)中的起重机横梁AB为例，其受力简图如图(b)所示。轴向力FAx和FBx引起压缩，横向力FAy、W、FBy引起弯曲，所以AB杆即产生压缩与弯曲的组合变形。若AB杆的抗弯刚度较大，弯曲变形很小，则可略去轴向力因弯曲变形而产生的弯矩。这样，轴向力就只引起压缩变形，不引起弯曲变形，叠加原理就可以应用了。7组合变形8组合变形

[例1]

最大吊重G＝8kN的起重机如图(a)所示(单位：mm)。若AB杆为工字钢，材料为Q235钢，＝100MPa，试选择工字钢型号。

解

AB杆的受力简图如图(b)所示，设CD杆的拉力为F，由平衡方程得解得

42kN

9组合变形把F分解为沿AB杆轴线的分量Fx和垂直于AB杆轴线的分量Fy，可见AB杆在AC段内产生压缩与弯曲的组合变形。且有作出AB杆的弯矩图和AC段的轴力图，如图(c)所示。从图中可以看出，C点截面左侧，其弯矩值为最大，而轴力与其它截面相同，故为危险截面。开始试算时，可以先不考虑轴力Fx的影响，只根据弯曲强度条件选取工字钢。这时截面系数为

W≥

10查型钢表C，选取16号工字钢，其W＝141cm3，A＝26.1cm2。选定工字钢后，同时考虑轴力Fx及弯矩M，再进行强度校核。在危险截面C的下边缘各点上发生最大压应力，且为

结果表明，最大压应力与许用应力接近相等，故无需重新选取截面的型号。

组合变形11组合变形PxyzPMyxyzPMyMz二、偏心拉伸(压缩)

如果外力的作用线平行于杆件的轴线，但不通过杆件横截面的形心，则将引起偏心拉伸(压缩)。

1、分解：

122、应力分析：组合变形PMyMzPMZMyxyzz

y134、危险点（距中性轴最远的点）3、中性轴方程对于偏心拉压问题中性轴组合变形P（zP，

yP）yzyz14解：两柱横截面上的最大正应力均为压应力

[例2]图示不等截面与等截面柱，受力P=350kN，试分别求出两柱内的绝对值最大正应力。图（1）图（2）组合变形MPPd..P300200200P20020015

[例3]

图示钢板受力P=100kN，试求最大正应力；若将缺口移至板宽的中央，且使最大正应力保持不变，则挖空宽度为多少？解：内力分析如图坐标如图，挖孔处的形心组合变形PPPPMN2010020yzyC1016PPMN应力分析如图孔移至板中间时组合变形2010020yzyC＋17

[例4]

如图所示小型压力机的铸铁框架如图

(a)所示。已知材料的许用拉应力＝30MPa，许用压应力＝160MPa。试按立柱的强度确定压力机的最大许可压力FP。立柱的截面尺寸如图

(b)所示(尺寸单位：mm)。

组合变形a)b)18组合变形解首先，根据截面尺寸计算横截面面积，确定截面形心位置，求出截面对形心主惯性轴y的主惯性矩Iy。计算结果为其次，分析立柱的内力和应力。像立柱这样的受力情况有时称为偏心拉伸。根据任意截面m-m以上部分的平衡(图c))，容易求得截面m-m上的轴力FN和弯矩My分别为横截面上与轴力FN对应的应力是均布的拉应力，且19组合变形与弯矩My对应的正应力按线性分布，最大拉应力和最大压应力分别是从图c)可以看出，叠加以上两种应力后，在截面内侧边缘上发生最大拉应力，且在截面的外侧边缘上发生最大压应力，且最后，由抗拉强度条件得

≤45.1kN。由抗压强度条件得≤为使立柱同时满足抗拉和抗压强度条件，压力FP不应超过。20

[例5]方形截面杆的横截面面积在mn

处减少一半，试求由轴向载荷

P

引起的mn

截面上的最大拉应力。

解：

组合变形21组合变形

§9.2

扭转与弯曲的组合弯曲与扭转的组合变形在机械工程中是常见的。下面以操纵手柄为例来说明这类组合变形时应力及其强度的计算方法。图

a)所示为一钢制手柄，AB段是直径为d的等直圆杆，A端的约束可视为固定端，BC段长度为a。现在来讨论在C端铅垂力FP作用下，AB杆的受力情况。将FP力向AB杆B端的形心简化，即可将外力分为横向力FP及作用在杆端平面内的力矩Mx＝FPa，其受力情况如图

b)所示。它们分别使AB杆发生扭转和弯曲变形。

22组合变形23组合变形用截面法可计算出AB杆横截面上的弯矩M和扭矩MT，其M图和MT图分别如图c)和d)所示。因为A截面上内力最大，该截面为危险截面，其内力值分别为弯矩M＝FPl，扭矩MT＝FPa。在危险截面A上，与弯矩M相对应的弯曲正应力，在y轴方向的直径上下两端点1和2处最大(图e))；与扭矩MT相对应的扭转切应力在横截面的周边各点处最大(图f))。所以在1和2两点处的应力和，都为最大值，称其为危险截面上的危险点。现取其中的1点来研究，如图g)所示(图h)为其平面图)。作用在1点上的正应力和切应力，分别按弯曲正应力公式和扭转切应力公式来计算。其值为24组合变形很明显，1点处于二向应力状态，需要采用适当的强度理论来进行强度计算。首先，计算1点的主应力。利用公式可得

然后，选用强度理论建立强度条件。因手柄用钢材制成，应选用第三或第四强度理论。若采用第三强度理论，可得其强度条件为

≤

25组合变形若采用第四强度理论，可将上述三个主应力代入公式，其强度条件成≤若将式代入上两式，并注意到对圆截面杆有WP＝2W，则以上两式改写成≤

≤式中的M和MT分别为圆截面杆危险截面上的弯矩和扭矩。下面举例说明怎样利用这些理论对圆截面钢轴进行强度计算26组合变形

[例6]

电动机带动一圆轴AB，在轴中点处装有一重G＝5kN、直径D＝1.2m的胶带轮(图a))，胶带紧边的拉力F1＝6kN，松边的拉力F2＝3kN。若轴的许用应力＝50MPa，试按第三强度理论求轴的直径d。解把作用于轮子上的胶带拉力F1、F2向轴线简化，如图b)所示。由受力简图可见，轴受铅垂方向的力为

F＝G+F1+F2＝(5+6+3)kN＝14kN

该力使轴发生弯曲变形。同时轴又受由胶带的拉力产生的力偶矩为

kN·m

该力偶矩使轴发生扭转变形。所以轴发生扭转和弯曲的组合变形。

27组合变形28组合变形根据横向力作出的弯矩图如图c)所示。最大弯矩在轴的中点截面上，其值为

kN·m

根据扭转外力偶矩M，作出的扭矩图如图d)所示。扭矩为

kN·m

由此可见，轴中间截面右侧为危险截面。按第三强度理论的强度条件，有≤代入相应数据得≤故得

≥

m＝98mm。

29解：拉扭组合,危险点应力状态如图

[例7]

直径为d=0.1m的圆杆受力如图,T=7kNm,P=50kN,[

]=100MPa，试按第三强度理论校核此杆的强度。故，安全。组合变形AAPPTT30§9.3两相互垂直平面内的弯曲一、斜弯曲：杆件产生弯曲变形，但弯曲后，挠曲线与外力（横向力）不共面。二、斜弯曲的研究方法：1.分解：将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两个正交的平面弯曲。组合变形PzPyyzPjxyzPPyPz312.叠加：对两个平面弯曲进行研究；然后将计算结果叠加起来。组合变形xyzPyPzPPzPyyzPj32解：1.将外载沿横截面的形心主轴分解2.研究两个平面弯曲①内力：组合变形PzPyyzPj33②应力：My引起的应力：Mz引起的应力：合应力：组合变形LPzPyyzPjxyzPyPzPLmmx34④最大正应力：⑤变形计算：③中性轴方程：可见：只有当Iy=Iz时，中性轴与外力才垂直。在中性轴两侧，距中性轴最远的点为拉压最大正应力点。当

=

时，即为平面弯曲。组合变形D1D2a中性轴PzPyyzPjD1D2affzfyb35

[例8]结构如图，P过形心且与z轴成

角，求此梁的最大应力与挠度。当Iy=Iz时，即发生平面弯曲。解：危险点分析如图组合变形最大正应力变形计算中性轴ffzfybyzLxPyPzPhbPzPyyzPjD2D1a36

[例9]矩形截面木檩条如图，跨长L=3m，受集度为q=800N/m的均布力作用，[

]=12MPa，许可挠度为：[f/L]=1/200，E=9GPa，试选择截面尺寸，并校核刚度。解：外力分析，