第05讲平行四边形的性质和判定

第05讲平行四边形的性质和判定知识点1：平行四边形的性质边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD；角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D3.对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO知识点2：平行四边形的判定与边有关的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形知识点3：三角形的中位线三角形中位线：在△ABC中，D，E分别是AC，AC的中点，连接DE.像DE这样，连接三角形_两边中点的线段叫做三角形的中位线.B中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的二分之一。考点剖析考点1：根据平行四边形的性质求边长【典例1】（2022秋•朝阳区校级期末）如图，▱ABCD的周长为30，AD：AB＝3：2，那么BC的长度是（）A．9 B．12 C．15 D．18【答案】A【解答】解：∵▱ABCD的周长为30，AD：AB＝3：2，设AD为3x，AB为2x，可得：3x+2x＝15，解得：x＝3，∴BC＝AD＝9，故选：A．【变式11】（2022春•温州期中）已知平行四边形邻边之比是1：2，周长是18，则较短的边的边长是（）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】A【解答】解：∵平行四边形的周长是18，一组邻边之比是1：2，∴设两邻边分别为x，2x，则2（x+2x）＝18，解得：x＝3，∴较短的边的边长是3，故选：A．【变式12】（2022秋•海淀区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝10，∠ABC的平分线交AD于点E，则DE的长为（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC＝10，AD∥BC．∴∠AEB＝∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠AEB＝∠ABE，∴AE＝AB＝6∴DE＝AD﹣AE＝10﹣6＝4，故选：B．考点2：根据平行四边形的性质求角度【典例2】（2022秋•烟台期末）在平行四边形ABCD中，若∠A+∠C＝80°，则∠B的度数是（）A．140° B．120° C．100° D．40°【答案】A【解答】解：在▱ABCD中有：∠A＝∠C，AD∥BC，∵∠A+∠C＝80°，∴∠A＝∠C＝40°，∴∠B＝180°﹣∠A＝140°，故选：A．【变式21】（2022春•集美区校级期中）平行四边形ABCD中，若∠A＝120°，则∠C的度数为（）A．30° B．60 C．120° D．150°【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C＝120°，故选：C．【变式22】（2020•河池）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED＝150°，则∠A的大小为（）A．150° B．130° C．120° D．100°【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠AEB＝∠ABE，∵∠BED＝150°，∴∠ABE＝∠AEB＝30°，∴∠A＝180°﹣∠ABE﹣∠AEB＝120°．故选：C．【典例3】（2022秋•南关区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上两个点，且BE＝DF．（1）求证：AE＝CF；（2）若AD＝AE，∠DFC＝140°，求∠DAE的度数．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，∴∠ABE＝∠CDF，又∵BE＝DF，在△ABE与△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS）∴AE＝CF；（2）由（1）知，△ABE≌△CDF，则∠AEB＝∠DFC＝140°．∴∠DEA＝40°．∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠DEA＝40°．∴∠DAE＝180°﹣2∠ADE＝100°．【变式31】（2022秋•思明区校级月考）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝CF，连接EF，AC交于点O，求证：OE＝OF．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEO＝∠CFO，在△AEO和△CFO中，，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴OE＝OF．【变式32】（2022•濉溪县校级开学）已知：如图，▱ABCD中，AB＝5cm，AD＝3cm，AE平分∠BAD交DC于E．求：EC的长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BA∥CD，AB＝CD＝5cm，∴∠DEA＝∠EAB，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠EAB，∴∠DAE＝∠DEA，∴DE＝AD＝3cm，∴CE＝CD﹣DE＝5﹣3＝2（cm），即EC的长为2cm．【变式33】（2022秋•青浦区月考）如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝120°，AD＝2cm，CD＝3cm．求平行四边形ABCD的面积．【解答】解：如图，过D作DE⊥AB于E，则∠DEA＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝3cm，AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵∠B＝120°，∴∠A＝60°，∴∠ADE＝90°﹣∠A＝30°，∴AE＝AD＝1（cm），∴DE＝＝＝（cm），∴平行四边形ABCD的面积＝AB•DE＝3×＝3（cm2）．考点3：根据平行四边形的性质求周长【典例4】（2022秋•东营区校级期末）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD＝14，AB＝4．则△OCD的周长为．【答案】11【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝OC＝AC，BO＝OD＝BD，∵AC+BD＝14，∴CO+DO＝7，∵AB＝CD＝4，∴△OCD的周长为OD+OC+CD＝7+4＝11．故答案为：11．【变式41】（2020春•平南县期中）如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于O，且AO＝BD＝4，AD＝3，则△BOC的周长为（）A．9 B．10 C．12 D．14【答案】A【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝3，OD＝OB＝2，OA＝OC＝4，∴△OBC的周长＝3+2+4＝9，故选：A．【变式42】（2020•吉安模拟）如图，▱ABCD的周长为16cm，AC与BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△DCE的周长为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AB＝CD，OA＝OC，∵▱ABCD的周长为16cm，∴AD+CD＝8cm，∵OA＝OC，OE⊥AC，∴EC＝AE，∴△DCE的周长为：DE+EC+CD＝DE+AE+CD＝AD+CD＝8（cm）．故选：C考点4：平行四边形的判定【典例5】（2022秋•泰山区期末）如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（）A．OA＝OC，OB＝OD B．AB＝CD，AO＝CO C．AB＝CD，AD＝BC D．∠BAD＝∠BCD，AB∥CD【答案】B【解答】解：A、∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；B、由AB＝CD，AO＝CO不能判断四边形ABCD是平行四边形，故选项B符合题意；C、∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项C不符合题意；D、∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵∠BAD＝∠BCD，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；故选：B．【变式51】（2022秋•莱州市期末）如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件能判断四边形ABCD是平行四边形（）A．OA＝OC，AC＝BD B．OB＝OA，OD＝OC C．AB∥CD，AD＝BC D．∠ABC+∠BAD＝180°，∠BCD＝∠BAD【答案】D【解答】解：∵∠ABC+∠BAD＝180°，∠BCD＝∠BAD，∴AD∥BC，∠ABC+∠BCD＝180°，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故选：D．【变式52】（2022秋•庐江县月考）下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB∥CD，AD∥BC B．AB∥CD，∠A＝∠C C．AB∥CD，AD＝BC D．∠A＝∠C，∠B＝∠D【答案】C【解答】解：A、∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A不符合题意；B、∵AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，∵∠A＝∠C，∴∠B+∠A＝180°，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B不符合题意；C、由AB∥CD，AD＝BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故选项C符合题意；D、∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D不符合题意；故选：C．【变式53】（2022秋•魏县期中）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A、只有一组对边平行不能确定是平行四边形，故A选项不符合题意；B、80°+110°≠180°，故B选项不符合条件；C、不能判断出任何一组对边是平行的，故C选项不符合题意；D、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D选项符合题意；故选：D．考点5：平行四边形的判定与全三角形综合【典例6】（2022•苏州模拟）如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AE＝CF，DF＝BE，DF∥BE．求证：（1）△AFD≌△CEB；（2）四边形ABCD是平行四边形．【解答】证明：（1）∵DF∥BE，∴∠DFA＝∠BEC．∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE，在△ADF和△CBE中，，∴△AFD≌△CEB（SAS）；（2）由（1）知△AFD≌△CEB，∴∠DAC＝∠BCA，AD＝BC，∴AD∥BC．∴四边形ABCD是平行四边形．【变式61】（2022秋•碑林区校级期中）如图，已知在四边形BCDE中，CD∥BE，点F是DE的中点，连接CF交BE于点A，且点E是AB的中点，求证：四边形BCDE是平行四边形．【解答】证明：∵CD∥BE，∴∠D＝∠AEF，∵点F是DE的中点，∴DF＝EF，在△CDF和△AEF中，，∴△CDF≌△AEF（ASA），∴CD＝AE，∵点E是AB的中点，∴AE＝BE，∴CD＝BE，又∵CD∥BE，∴四边形BCDE是平行四边形．【变式62】（2022春•桂林期末）如图，已知四边形ABCD，CD⊥AC，AB⊥AC，垂足分别为C、A，AD＝BC．（1）求证：Rt△ACD≌Rt△CAB．（2）求证：四边形ABCD是平行四边形．【解答】证明：（1）在Rt△ACD和Rt△CAB中，，∴Rt△ACD≌Rt△CAB（HL）；（2）∵△ACD≌△CAB，∴AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形．【变式63】（2022春•扶绥县期末）已知：如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE＝CF，DF＝BE，DF∥BE．（1）求证：△AFD≌△CEB．（2）求证：四边形ABCD是平行四边形．【解答】证明：（1）∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE，∵DF∥BE，∴∠DFA＝∠BEC，在△ADF和△CBE中，，∴△ADF≌△CBE（SAS）；（2）∵△ADF≌△CBE，∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，∴AD∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形．考点6：平行四边形的性质与判定综合【典例7】（2022春•南海区月考）如图，在▱ABCD中，点E是BC边的中点，连接AE并延长与DC的延长线交于F．（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；（2）若AF平分∠BAD，∠D＝60°，AD＝8，求▱ABCD的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABE＝∠FCE，∵点E是BC边的中点，∴BE＝CE，在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FCE（ASA），∴AB＝CF，又∵AB∥CF，∴四边形ABFC是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠D＝60°，BC＝AD＝8，AD∥BC，∴∠BEA＝∠DAE，∵AF平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BEA＝∠BAE，∴BA＝BE＝BC＝CE＝4，∴△ABE是等边三角形，∴∠BAE＝∠AEB＝60°，∵AE＝CE，∴∠EAC＝∠ECA＝∠AEB＝30°，∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝90°，∴AC⊥AB，AC＝＝＝4，∴▱ABCD的面积＝AB•AC＝4×4＝16．【变式71】（2022春•杭州期中）如图，在▱ABCD中，E、F分别为边BC、AD的中点，连接AE、CF．（1）求证：四边形AECF是平行四边形．（2）当∠B＝60°，AB＝6时，求AD与BC之间的距离．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵点E，F分别为边BC，AD的中点，∴CE＝BC，AF＝AD，∴AF＝EC，AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形；（2）解：如图，过A作AM⊥BC于M，则∠AMB＝90°，∵∠B＝60°，∴∠BAM＝90°﹣60°＝30°，∴BM＝AB＝3，∴AM＝＝＝3，即AD与BC之间的距离为3．【变式72】（2022春•梁溪区校级期中）已知，如图，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且∠BAF＝∠DCE．求证：（1）△ABF≌△CDE．（2）四边形AECF是平行四边形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠B＝∠D，AD＝BC，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（ASA）；（2）∵△ABF≌△CDE，∴AF＝CE，BF＝DE，∴AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形．考点7：三角形中位线【典例8】（2020•广西一模）如图，在△ABC中，点M，N分别是AB，AC的中点，延长CB至点D，使MN＝BD，连接DN，若CD＝6，则MN的长为（）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】A【解答】解：∵点M，N分别是AB，AC的中点，∴MN＝BC，∵MN＝BD，CD＝6，∴BC＝4，∴MN＝2，故选：A．【变式81】（2022春•五莲县期末）如图，A、B两处被池塘隔开，为了测量A、B两处的距离，在AB外选一点C，连接AC、BC，并分别取线段AC、BC的中点E、F，测得EF＝15m，则AB的长为（）A．7.5m B．15m C．30m D．45m【答案】C【解答】解：∵E、F是AC，BC中点，∴EF是△ABC的中位线，∴EF＝AB，∵EF＝15m，∴AB＝30m．故选：C．【变式82】（2022春•广西月考）如图，点D，E，F分别是△ABC各边的中点，连接DE，EF，DF．若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为（）A．20 B．30 C．40 D．50【答案】A【解答】解：∵D、E分别是△ABC的边AB、BC的中点，∴DE＝AC．同理，EF＝AB，DF＝BC，∴C△DEF＝DE+EF+DF＝AC+BC+AB＝（AC+BC+AC）＝×S△ABC＝10．∴△ABC的周长＝20，故选：A．【变式83】（2022秋•平昌县期末）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，点F在DE上，且AF⊥CF，若AC＝3，BC＝6，则DF的长为（）A．1.5 B．1 C．0.5 D．2【答案】A【解答】解：∵D、E分别为AB、AC的中点，BC＝6，∴DE＝BC＝3，∵AF⊥CF，∴∠AFC＝90°，∵E为AC的中点，AC＝3，∴FE＝AC＝1.5，∴DF＝DE﹣FE＝1.5，故选：A．过关检测一．选择题（共10小题）1．（2022秋•新化县期末）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（）A．每一个内角都大于60° B．每一个内角都小于60° C．有一个内角大于60° D．有一个内角小于60°【答案】A【解答】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即都大于60°．故选：A．2．（2023春•鹤山市期末）如图，在平行四边形ABCD中，AC＝4m，若△ACD的周长为13cm，则平行四边形ABCD的周长为（）A．26cm B．24cm C．20cm D．18cm【答案】D【解答】解：∵AC＝4cm，△ADC的周长为13cm，∴AD+DC＝13﹣4＝9（cm）．又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∴平行四边形的周长为2（AD+DC）＝18cm．故选：D．3．（2023秋•高青县校级期末）在▱ABCD中，若∠A+∠C＝80°，则∠B的度数是（）A．140° B．120° C．100° D．40°【答案】A【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠A＝∠C，∠A+∠B＝180°，∵∠A+∠C＝80°，∴∠A＝40°，∴∠B＝180°﹣40°＝140°，故选：A．4．（2023春•平邑县期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应增加的条件是（）A．AB＝CD B．∠ABD＝∠CDB C．AC＝BD D．∠ABC+∠BAD＝180°【答案】B【解答】解：应增加的条件是：∠ABD＝∠CDB，理由如下：∵∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD，∵AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形，故选：B．5．（2023春•北安市校级期中）如图，平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，∠BED＝155°，则∠A的度数为（）A．155° B．130° C．125° D．110°【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∵∠ABC的平分线交AD于E，∠BED＝155°，∴∠ABE＝∠CBE＝∠AEB＝180°﹣∠BED＝25°，∴∠A＝180°﹣∠ABE﹣∠AEB＝130°．故选：B．6．（2022秋•海阳市期末）小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（）A．①② B．①④ C．②③ D．②④【答案】C【解答】解：∵只有②③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，∴带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．故选：C．7．（2023•柘城县模拟）如图，在平面直角坐标系中点A，B的坐标分别是A（1，1），B（2，﹣2），再找一点C，使它与点A，B，O构成的四边形是平行四边形，则点C的坐标不可能是（）A．（﹣1，3） B．（3，﹣1） C．（1，﹣3） D．（﹣2，3）【答案】D【解答】解：如图所示，观察图象可知，满足条件的点C有三个，坐标分别为（﹣1，3）或（3，﹣1）或（1，﹣3），∴点C的坐标不可能是（﹣2，3），故选：D．8．（2023•贵阳模拟）如图，将两条宽度相同的纸条重叠在一起，使∠BAD＝60°，则∠BCD等于（）A．30° B．45° C．60° D．120°【答案】C【解答】解：由题意可知，AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠BCD＝∠BAD＝60°，故选：C．9．（2023春•湛江期末）如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝6，EF＝2，则BC的长为（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】D【解答】解：在平行四边形ABCD中，AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD＝6，∴∠AFB＝∠CBD，∠CED＝∠BCE，∵BF平分∠ABC，CE平分∠BCD，∴∠ABF＝∠CBD，∠BCE＝∠ECD，∴∠ABF＝∠AFB，∠CED＝∠ECD，∴AB＝AF＝6，CD＝DE＝6，∴AD＝AF+DE﹣EF＝6+6﹣2＝10，∴BC＝AD＝10．故选：D．10．（2022秋•牟平区期末）如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，若AC＝6，则AF＝（）A．3 B．2 C． D．【答案】B【解答】解：取BF的中点H，连接DH，∵BD＝DC，BH＝HF，∴，DH∥AC，∴∠HDE＝∠FAE，在△AEF和△DEH中，，∴△AEF≌△DEH（ASA），∴AF＝DH，∴，∵AC＝6，∴，故选：B．二．填空题（共5小题）11．（2023春•盱眙县期末）如图，在▱ABCD中，∠BCD的平分线交AD于点E，AB＝3，AE＝1，则BC＝4．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB＝CD＝3，AD＝BC，∴∠DEC＝∠BCE，∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠ECD，∴∠DEC＝∠ECD，∴DE＝CD＝3，∴BC＝AD＝AE+DE＝1+3＝4；故答案为：4．12．（2023春•临海市期末）在▱ABCD中，若∠A＝80°，则∠C的度数为80°．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠C＝∠A＝80°．故答案为80°．13．（2022秋•洞口县期末）如图，在等腰△ABC中，∠C＝30°，顶点B在平行四边形ODEF的边DE上，已知∠2＝110°，则∠1＝40°．【答案】40°．【解答】解：∵等腰△ABC中，∠C＝30°，∴∠ABC＝∠C＝30°，∵四边形ODEF是平行四边形，∴OF∥DE，∴∠2+∠ABE＝180°，∵∠2＝110°，∠ABC＝∠C＝30°，∴110°+∠1+30°＝180°，∴∠1＝40°．故答案为：40°．14．（2023•肇源县一模）如图所示，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于点M，若△CON的面积为2，△DOM的面积为4，则▱ABCD的面积为24．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，∴四边形ABCD是中心对称图形，∴△CON≌△AOM，∴S△AOD＝4+2＝6，又∵OB＝OD，∴S△AOB＝S△AOD＝6；∴▱ABCD的面积＝4×6＝24．故答案为：24．15．（2023•黑龙江模拟）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，请添加一个条件BF＝DE（答案不唯一），使四边形AFCE是平行四边形（填一个即可）【答案】BF＝DE（答案不唯一）．【解答】解：添加的条件为BF＝DE；连接AC交BD于O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，BO＝DO，∵BF＝DE，∴OE＝OF，∴四边形AFCE是平行四边形；故答案为：BF＝DE