浙江省浙里特色联盟2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学

绝密★考试结束前2023学年第二学期浙里特色联盟期中联考高二年级数学学科试题考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟。2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。4.考试结束后，只需上交答题纸。选择题部分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.若集合，，则（）A. B.C. D.2.在等差数列中，，，则的值是（）A.13 B.14 C.16 D.173.已知空间向量，，则下列结论正确的是（）A. B.与夹角的余弦值为C. D.4.若函数，则（）A.0 B. C. D.5.若点是角终边上一点，且，则的值为（）A. B. C.2 D.26.已知圆与圆关于直线对称，则直线的方程为（）A. B.C. D.7.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（）A. B.C. D.8.已知抛物线C：的焦点F到准线的距离为4，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，M为线段的中点，若，则点M到y轴的距离为（）A.4 B.6 C.7 D.8二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，则下列说法正确的是（）A.的实部为1 B.在复平面内对应的点位于第四象限C.的虚部为 D.的共轭复数为10.袋子中共有大小和质地相同的4个球，其中2个白球和2个黑球，从袋中有放回地依次随机摸出2个球.甲表示事件“第一次摸到白球”，乙表示事件“第二次摸到黑球”，丙表示事件“两次都摸到白球”，则（）A.甲与乙互斥 B.乙与丙互斥C.甲与乙独立 D.甲与乙对立11.如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道I上绕月球飞行，然后在P点处变轨进入以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道I的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则（）A.轨道I的长轴长为B.轨道Ⅱ的焦距为C.若R不变，r越小，轨道Ⅱ的短轴长越大D.若r不变，R越大，轨道Ⅱ的离心率越小非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，，则__________.13.已知直线：.若点在直线上，则数列的前n项和__________.14.古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果，其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人岗称这个圆为阿波罗尼斯圆，已知点，，动点满足，则点P的轨迹与圆C：的公切线的条数为___________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13分）在中，，.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并解决下面的问题：（1）求的大小，（2）求的面积条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，不给分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.16.（15分）已知，在处取得极小值.（1）求的解析式（2）求在处的切线方程.（3）若方程有且只有一个实数根，求k的取值范围.17.（15分）已知数列中，，点在直线上.（1）求数列的通项公式及其前项的和.（2）设，，证明：.18.（17分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是等边三角形，，点M，N分别为和的中点.（1）求证：平面.（2）求证：平面平面.（3）求与平面所成角的正弦值.19.（17分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，若以圆心，1为半径的圆与以为圆心，3为半径的圆相交于A，B两点，若椭圆E经过A，B两点，且直线，的斜率之积为.（1）求椭圆E的方程（2）点P是直线：上一动点，过点P作椭圆E的两条切线，切点分别为M，N.①求证直线恒过定点，并求出此定点.②求面积的最小值.

2023学年第二学期浙里特色联盟期中联考高二年级数学学科参考答案命题：严州中学刘胜春审稿：寿昌中学肖彪红一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.12345678DBCADCAB二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.ABD10.BC11.AB三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.±2（对一个2分）13.14.2四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）（1）依题意，，，由正弦定理得选①，，则，三角形不存在，不符合题意.选②，，则，，则为锐角，且.且由得，，三角形是等腰直角三角形，存在且唯一，符合题意.选③，，由正弦定理得，由于，，所以，则，则B为锐角，且.由余弦定理得，即，得，，所以三角形是等腰直角三角形，存在且唯一，符合题意.（2）由（1）得三角形是等腰直角三角形，所以.16.（15分）【解析】（1）由题意知，因为在处取得极小值则，解得：，经检验，满足题意，所以，，所以（2）由题意知，，所以，，所以切点坐标为，斜率所以切线方程为：，即.（3）令，解得或，则x，，的关系如下表：22+00+单调递增单调递减单调递增则，方程有且只有一个实数根等价于有且只有一个实数根，等价于函数与有且只有一个交点，即或，解得：或，所以.17.（15分）【解析】（1）因为点在直线上，所以，又，故数列是以3为公比，3为首项的等比数列，所以，.（2）由题可知，记，所以①①，得②①②，得，故，又，故，即证.18.（17）分）【解析】（1）取中点E，连接，，由M为中点，N为中点，得，，又，，则，，因此四边形为平行四边形，于是，而平面，平面，所以平面.（2）过作于点Q，连接，由，，，得，则，即，而，，因此，又，平面，则平面，平面，所以平面平面.（3）由（2）知，直线，，两两垂直，以点Q为原点，直线，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，设平面的一个法向量，则，令，得，设与平面所成角为，，所以与平面所成角的正弦值是.19.（17）分）【解析】（1）解：若以为圆心，1为半径的圆与以为圆心，3为半径的圆相交于A，B两点，若椭圆E经过A，B两点，可得，可得，设，且，，则，因为，可得，所以，所以椭圆的方程为.（2）解：①由（1）知，椭圆的焦点，设，，，则切线的方程为，即，点在直线上，所以，即，因为，，所以，