11菱形的性质与判定（分层练习）

第一章特殊平行四边形1.1菱形的性质与判定精选练习基础篇基础篇一、单选题1．（2022·云南昆明·八年级期末）张师傅应客户要求加工4个菱形零件．在交付客户之前，需要对4个零件进行检测．根据零件的检测结果，图中有可能不合格的零件是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根据菱形的判定定理逐项进行判断即可．【详解】A选项图形四条边相等，故为菱形，本选项符合题意；B选项图形，对边平行，这组对边相等，且四边形邻边相等，故为菱形，本选项符合题意；C选项图形一组对边平行，一组对边相等，无法证明其为菱形，本选项不符合题意；D选项图形由同旁内角互补，可得两组对边分别平行，且邻边相等，故为菱形，本选项符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了菱形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．2．（2022·四川成都·八年级期末）一个菱形ABCD的周长为40cm，它的一条对角线长10cm，则下列关于该菱形的说法错误的是（

）A．另一条对角线长为cm B．有一组对角的大小为60°C．面积为 D．任意一边上的高均为cm【答案】C【解析】【分析】由菱形的性质及勾股定理求出OA及AC的长，则可判断选项A，由等边三角形的判定和性质可得出B选项正确；根据菱形的面积公式可判断C，D．【详解】解：如图，对角线BD=10cm，AC与BD交于点O，∵菱形ABCD的周长为40cm，∴AB=BC=CD=AD=10cm；∵对角线BD=10cm，∴BO=DO=5cm，在Rt△ADO中，cm，∴cm，故A选项正确，不符合题意；∵AD=BD=AB=10cm，∴△ABD为等边三角形，∴∠BAD=60°，∴∠BCD=∠BAD=60°，故B选项正确，不符合题意；∴菱形的面积为cm2，故C选项错误，符合题意；设菱形一边上的高为hcm，∴，解得：cm，故D选项正确，不符合题意；故选：C【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质是解决本题的关键．3．（2022·海南海口·八年级期末）如图，在菱形ABCD中，E是BC的中点，AE⊥BC，连接AC，则∠BAD等于（

）A．60° B．100° C．110° D．120°【答案】D【解析】【分析】首先求出AB＝AC，然后证明△ABC和△ACD是等边三角形即可．【详解】解：∵E是BC的中点，AE⊥BC，∴AB＝AC，∴AC＝AB＝BC＝CD＝DA，∴△ABC和△ACD是等边三角形，∴∠BAC＝∠CAD＝60°，∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝120°，故选：D．【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．4．（2022·河南许昌·八年级期末）如图，在菱形ABCD中，点E是边AB上一点，，连接EC．若，则∠BCE的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由菱形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，，，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴，∵，∴，∵，∴，且，∴，∵，∴，故选：C．【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，熟练运用菱形的性质是本题的关键．5．（2022·广东肇庆·八年级期末）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8cm，DB＝6cm，DH⊥AB于H，则DH等于（

）A．3.6 B．4.8 C．5 D．10【答案】B【解析】【分析】设AC与BD交于点O，先由勾股定理求出AB，再根据菱形面积的计算方法即可求解．【详解】解：如图，设AC与BD交于点O，∵四边形ABCD是菱形，AC＝8cm，DB＝6cm，∴AC⊥BD，OA=OC=4cm，OB=OD=3cm，∴，∵DH⊥AB，∴菱形的面积等于，∴．故选：B【点睛】本题考查了菱形的性质以及勾股定理；熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出AB的长是解题的关键．6．（2022·天津滨海新·八年级期末）在菱形中，对角线，相交于点，，，过点作的平行线交的延长线于点，则的面积为（

）A．24 B．18 C．12 D．10【答案】A【解析】【分析】先判断出四边形ACED是平行四边形，从而得出DE的长度，根据菱形的性质求出BD的长度，利用勾股定理的逆定理可得出△BDE是直角三角形，计算出面积即可．【详解】解：菱形ABCD，在Rt△BCO中，则BD=8，∴四边形ACED是平行四边形，∴AC=DE=6，

BE=BC+CE=10，∴△BDE是直角三角形，

∴S△BDE=DE•BD=24．故选：A．【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理的逆定理及三角形的面积，平行四边形的判定与性质，求出BD的长度，判断△BDE是直角三角形，是解答本题的关键．二、填空题7．（2022·湖南邵阳·八年级期末）若菱形的边长为13cm，对角线长10cm，则菱形的面积是__________cm2．【答案】120【解析】【分析】先根据菱形对角线互相垂直平分，利用勾股定理求出另一对角线一半的长，从而得出另一对角线的度，然后利用菱形面积等于对角线乘积的一半求解即可．【详解】解：如图，AB=13cm，BD=10cm，∵菱形，∴AC⊥BD，OB=BD=5cm，AC=2OA，∴∠AOB=90°，在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA==12(cm)，∴AC=2OA=24cm，∴菱形的面积==120(cm2)，故答案为：120．【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质与勾股定理是解题的关键．8．（2022·福建龙岩·八年级期末）如图，菱形ABCD中，∠ABD=30°，AC=4，则BD的长为_______．【答案】【解析】【分析】根据菱形的性质可得∠ABO=30°，AO==2，根据含30°角的直角三角形的性质及勾股定理即可求得BO的长，从而得到结果．【详解】如图：在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，设相交于O点，∠ABD=30°，AC=4，∴AC⊥BD，AO==2，∴AB=2AO=4，∴，故答案为：【点睛】本题考查的是菱形的性质，解答本题的关键是熟练掌握菱形的对角线互相垂直平分，对角线平分对角．9．（2022·北京石景山·八年级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，，则________．【答案】70【解析】【分析】由菱形的性质可得的度数，再根据余角的性质可得答案．【详解】解：在菱形中，，，，，．故答案为：70．【点睛】本题考查的是菱形的性质，除平行四边形固有的性质外，菱形的对角线相互垂直，对角线平分对角等，解题的关键是掌握其性质定理．10．（2022·浙江温州·八年级期末）如图，在菱形中，，，则_______【答案】【解析】【分析】根据菱形的性质得到OA和OB的长度，，再利用勾股定理求解．【详解】解：∵在菱形中，，，∴，，，∴在中．故答案为：．【点睛】本题主要考查了菱形的性质和勾股定理，理解菱形的性质是解答关键．三、解答题11．（2022·天津河西·八年级期末）如图，菱形ABCD的边长为2，，对角线AC，BD相交于点O，又有E，F分别为AB，AD的中点，连接EF．(1)求对角线AC的长；(2)求EF的长．【答案】(1)2(2)【解析】【分析】（1）由菱形的性质得AB=BC=2，∠BCA=∠DCA=∠BCD=60°，再证△ABC是等边三角形即可；（2）由三角形中位线定理得EF=BD，再由菱形的性质得AO=AC=1，BO=DO，AC⊥BD，最后运用勾股定理解答即可．(1)解：四边形ABCD是菱形，∴，，∵，∴是等边三角形∴．(2)解：∵E，F分别为AB，AD的中点，∴是中位线，∴．又∵四边形ABCD是菱形，∴，，∴，∴在中，由勾股定理得，，∴，∴（负舍）∴∴．【点睛】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识点，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键．12．（2022·浙江嘉兴·八年级期末）如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点C作交的延长线于点E．(1)求证：//．(2)若，，求四边形的周长．【答案】(1)见解析(2)22【解析】【分析】（1）根据菱形的性质可得AC⊥BD，再由，即可求证；（2）根据菱形的性质可得AB∥CD，CD=AB=5，可证得四边形BECD是平行四边形，即可求解．(1)证明：在菱形中，AC⊥BD，∵，∴BD∥CE；(2)解：在菱形中，AB∥CD，CD=AB=5，∴BE∥CD，∴四边形BECD是平行四边形，∴BD=CE=6，BE=CD=5，∴四边形的周长为2（BE+CE）=22．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握菱形的性质，平行四边形的判定和性质，平行线的判定是解题的关键．提升篇提升篇一、填空题1．（2022·广西钦州·八年级期末）如图，点E，F在正方形ABCD内部且AE⊥EF，CF⊥EF，已知AE＝9，EF＝5，FC＝3，则正方形ABCD的边长为________．【答案】【解析】【分析】连接，过点作交的延长线于点，在中，勾股定理求得，进而即可求解．【详解】如图，连接，过点作交的延长线于点AE⊥EF，CF⊥EF，则四边形是矩形，中，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，构造直角三角形求得的长是解题的关键．2．（2022·湖南邵阳·八年级期末）如图，在正方形中，为中点，连结，过点作交的延长线于点，连结，若，则的值为___________．【答案】【解析】【分析】由题意可得△AED≌△CFD，从而得到CF=AE=1，然后根据勾股定理可以得到解答．【详解】解：∵E为AB的中点，∴AB＝2AE＝2，∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝AB＝2，∠ADC＝∠ABC＝90°，∵，∴∠EDC+∠CDF=90°=∠EDC+∠ADE，BC＝AB，∴∠CDF=∠ADE，又CD=AD，∠DCF=∠A=90°，∴△AED≌△CFD（ASA），∴CF=AE=1，BF=BC+CF=2+1=3，∴在RT△EBF中，由勾股定理可得：EF=，故答案为：．【点睛】本题考查正方形的综合应用，熟练掌握正方形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理的应用是解题关键．3．（2022·重庆一中八年级期中）如图，正方形ABCD边长为4，P是正方形内一动点，且，则的最小值是______．【答案】【解析】【分析】过点P作，由可得，得PE=1，PF=3，过点P作MN//AB交AD于点M，交BC于点N，可得出四边形PFCN是矩形，得CN=PF=3，延长CB到K，使NK=CN=3，连接DK，根据两点之间线段最短故可知的最小值为DK的长，根据勾股定理可求解【详解】解：如图，过点P作，交AB于点E，交CD于点F，∵四边形是正方形，∴，，，，∴∵，，∴，∴∵∴，∴，，过点P作MN//AB交AD于点M，交BC于点N，则，∴∠∴四边形是矩形，∴四边形是矩形，∴，∵∠，延长CB到K，使NK=CN=3，则有：连接DK，当在一条直线上时，，当不在一条直线上时，，故当共线时，又N是CK的中点，，∴PN是CK的垂直平分线，∴CP=PK，所以的最小值为，故答案为：．【点睛】本题主要考查正方形的性质，矩形的判断与性质，勾股定理以及线段的垂直平分线的判断与性质等知识，掌握正方形的性质，正确做出辅助线是解题的关键．4．（2022·浙江杭州·八年级期末）如图，点E，F，G，H为正方形ABCD四边中点，连接BE，DG，CF，AH．若AB＝10，则四边形MNPQ的面积是______．【答案】20【解析】【分析】根据正方形四边相等，四个角为直角的性质，且点E，F，G，H为正方形ABCD四边中点，可证明△ADG≌△DCG≌△CBF≌△BAE（SAS），得到AH=DG=CF=BE，∠HAD=∠GDC=∠FCB=∠EBA，则可证明△AQD≌△BAM≌△CBN≌△DCP（AAS），四边形MNPQ是正方形，求出MNPQ的边长即可求出其面积．【详解】解：∵点E，F，G，H为正方形ABCD四边中点，∴AE=DH=CG=BF，又∵AB=BC=CD=AD，∴△ADG≌△DCG≌△CBF≌△BAE（SAS），∴AH=DG=CF=BE，∠HAD=∠GDC=∠FCB=∠EBA，∵∠HAD+∠BAH=90°，∴∠BAH+∠ABE=90°，∴∠AMB=180°(∠BAH+∠ABE)=90°，同理：∠BNC=∠CPD=∠DQA=90°，∴△AQD≌△BAM≌△CBN≌△DCP（AAS），∴AM=BN=CP=DQ，AQ=BM=CN=DP，∴MQ=MN=PN=PQ，∴四边形MNPQ是正方形，∵AB=BC=CD=AD=10，∴BE=CF=DG=AH=，∵，∴AM=，∴，∴MQ=MN=PN=PQ=，∴四边形MNPQ的面积=，故答案为：20【点睛】本题考查了正方形的性质和全等三角形，熟练运用正方形的性质和全等三角形是解题的关键．5．（2022·河南开封·八年级期末）如图，中，两直角边和的长分别3和4，以斜边为边作一个正方形，再以正方形的边为斜边作，然后依次以两直角边和为边分别作正方形和，则图中阴影部分的面积为______．【答案】25【解析】【分析】证明，可得到AF和FE的长度，分别计算出正方形和的面积即可得到阴影部分的面积．【详解】解：∵四边形是正方形，∴，∵,∴,∵,∴,∵,∴,∴,∵，∴∴，，∴,,∴,故答案为：25．【点睛】本题考查正方形、全等三角形和直角三角形的性质，证明是解本题的关键．二、解答题6．（2022·福建南平·八年级期末）如图，在正方形ABCD中，E是边BC上一动点（不与B，C重合），连接AE，过点A作AE的垂线交CD的延长线于点F．(1)如图1，求证：BE＝DF；(2)如图2，连接BD，EF，交点为O．求证：点O是线段EF的中点．【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）证明△ABE≌△ADF（ASA）即可得到结论；（2）过点E作EG⊥BC交BD于点G，则∠BEG＝90°，证明△GOE≌△DOF（AAS），即可得到结论．(1)

证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠B=∠ADC=90°，AB=AD，∴∠ADF＝180°－∠ADC＝90°，∴∠ADF＝∠ABE，∵AF⊥AE，

∴∠EAF=∠BAD=90°，∴∠BAE+∠DAE=∠DAF+∠DAE，∴∠BAE=∠DAF，∴△ABE≌△ADF（ASA）．∴BE=DF．(2)证明：如图，过点E作EG⊥BC交BD于点G，则∠BEG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DBC=∠CDB=45°，∴∠BGE＝90°－∠CBD＝45°，∠ODG＝180°－∠BDC＝135°，∴BE＝GE，∠OGE＝180°－∠BGE＝135°，∴△BGE是等腰直角三角形，∠OGE=∠ODF=135°，∴由（1）可知，BE=DF，∴GE=DF．∵∠GOE=∠DOF，∴△GOE≌△DOF（AAS）．∴OE=OF．【点睛】此题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解答此题的关键．7．（2022·湖北黄石·八年级期末）四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．(1)如图，求证：矩形DEFG是正方形；(2)若AB＝2，，求CG的长度；(3)当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是32°时，求∠EFC的度数．【答案】(1)证明见解析(2)(3)∠EFC＝122°或32°【解析】【分析】（1）作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，证明，可得EF＝ED，则矩形DEFG是正方形；（2）根据AB＝2，，可得重合，根据正方形的性质即可求解；（3）①当DE与AD的夹角为32°时，点F在BC边上，∠ADE＝32°，在四边形CDEF中，由四边形内角和定理得：∠EFC＝122°，②当DE与DC的夹角为32°时，点F在BC的延长线上，∠CDE＝32°，可得∠EFC＝∠CDE＝32°．(1)证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，∵∠DCA＝∠BCA，∴EQ＝EP，∵∠QEF＋∠FEC＝45°，∠PED＋∠FEC＝45°，∴∠QEF＝∠PED，在和中，∴∴EF＝ED，∴矩形DEFG是正方形；(2)解：如图2中，在中，，∵，∴AE＝CE，∴点F与C重合，．(3)①当DE与AD的夹角为32°时，点F在BC边上，∠ADE＝32°，如图3所示：则∠CDE＝90°－32°＝58°，在四边形CDEF中，由四边形内角和定理得：∠EFC＝360°－90°－90°－58°＝122°，