清单02配方法应用的十一大经典题型（11种题型解读（40题））（原卷版）

清单02配方法应用的十一大经典题型（11种题型解读（40题））【知识导图】【知识清单】【考试题型1】利用配方法确定二次根式中字母的取值范围1．当字母取什么值时，4x【考试题型2】配方法在化简二次根式时的应用2．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．材料一：平方运算和开平方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2=(a±b)2，那么a2±2ab+材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)和若y'=y(x≥0)-y(x<0)，则称点Q为点P的“横负纵变点”.例：点(3，2)的“横负纵变点”为(3，2)，点(-2，请选择合适的材料解决下面的问题：(1)点(2，-3)的“横负纵变点”为______，点(-33，(2)化简：8+215=(3)已知a为常数(1≤a≤2)，点M(-2，m)且m=22(a+2a-1+a-2a-1)，点3．像4-23，96-如：4-23再如：5+26(1)请你尝试化简：①11+230=②13-242=(2)若a+65=m+5n2，且a，4．你见过像4-23,4-2请用上述方法化简：（1）5-26（2）7-48【考试题型3】配方法在证明代数式的值为正数、负数等方面的应用5．对于任意实数x，多项式-x2+2x-3的值是一个（A．正数 B．负数 C．非负数 D．不能确定正负的数6．阅读材料：若x2-2xy+2y2-8y+16=0，求x、∴x2∴x-y2∴x-y2=0，∴y=4，x=4．根据你的观察，探究下面的问题：(1)试说明不论x，y取什么有理数时，多项式x2(2)已知a、b满足2a2+b2+2ab-6a+9=0．求7．用配方法求证：代数式3x8．不论x，y为什么数，代数式4x2+3y2+8x﹣12y+7的值（）A．总大于7 B．总不小于9C．总不小于﹣9 D．为任意有理数9．已知代数式A=2x(1)当x为何值时，代数式A比B的值大2；(2)求证：对于任意x的值，代数式A-B的值恒为正数．【考试题型4】利用配方法解决最值问题10．配方法在代数式求值、解方程、求最值问题……中都有着广泛的应用．例如：若代数式M=a利用配方法求M的最小值：M===∵(a-b)2≥0，∴当a=b=1时，代数式M有最小值为1．请根据上述材料解决下列问题：(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+6a+(2)若代数式M=a2+4a+6(3)已知a2+2b11．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它．下面我们就求函数的极值，介绍一下配方法．例：已知代数式a2+6a+2，当a=时，它有最小值，是解：a因为a+32≥0，所以所以当a=-3时，它有最小值，是-7．参考例题，试求：(1)填空：当a=时，代数式a-32+5有最小值，是(2)已知代数式a2+8a+2，当12．阅读材料：把形如ax2+bx+c例如：①我们可以将代数式a2a∵a+32∴a+32因此，该式有最小值1．材料二：我们定义：如果两个多项式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅常式”，这个常数称为A关于B的“雅常值”．如多项式A=x2+2x+1，B=则A是B的“雅常式”，A关于B的“雅常值”为9．(1)已知多项式C=x2+x-1，D=x+2x-1，判断C是否为D的“雅常式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D(2)已知多项式M=x-a2，N=x2-2x+b（a，b为常数），M是N的“雅常式”，且当x为实数时，N的最小值为-2，求M关于N【考试题型5】配方法与根的判别式综合运用13．定义：若x1、x2是方程ax2+bx+c=0a≠0的两个实数根，若满足(1)判断：方程x2-4x=0______“差积方程”（填“是”或“不是(2)已知关于x的方程x2①证明：不论m取何值，方程总有实数根；②若该方程是“差积方程”，求m的值．14．已知一元二次方程x2(1)当其中一个根为1时，求另一个根．(2)证明不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．15．已知关于x的一元二次方程ax(1)当这个方程二次项系数和常数项的符号不同时，证明：该方程一定有两个不相等的实数根；(2)若这个方程有两个不相等的实数根，那么该方程二次项系数和常数项的符号是否一定不同？若是，请证明；若不是，请举出一个反例．【考试题型6】配方法在恒等变形时的应用16．已知三角形三边长为a、b、c，且满足a2-4b=7，b2-4c=-6，A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．无法确定17．选取二次三项式ax2+bx+c(a≠0)中的两项，配成完全平方式的过程叫作配方．例如①选取二次项和一次项配方：x2-4x+2=(x-2)2-2；②选取二次项和常数项配方：根据上述材料解决下面问题：（1）写出x2（2）已知x2+y（3）已知a、b、c为三条线段，且满足14a2+b2+c18．先阅读，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n解：∵m∴(∴m+n∴n=3，(1)若x2+2y(2)已知ΔABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b(3)根据以上的方法是说明代数式：x219．我们把一个式子或一个式子部分改写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种解题方法叫做配方法，配方法常常用于恒等变形、化简求值、解一元二次方程、求最值等问题．(1)已知三角形ABC的三边长a、b、c都是正整数，并且满足a2+2b2﹣6a﹣4b+11＝0，求三角形ABC的周长，你能利用配方法解决这个问题吗？(2)某商品现在每件盈利10元，每天可卖出30件．市场调查发现：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖1件，当每件商品涨价多少元时，每天的利润最大？【考试题型7】利用配方法求字母的值20．若方程9x2-(k+2)x+4=0的左边可以写成一个完全平方式，则kA．10 B．10或14C．10或14 D．10或1421．设a、b、c为实数，x=a2-2b+π3,y=b2-2c+πA．大于0 B．等于0 C．不大于0 D．小于022．对于多项式x2+2x+4，由于x2+2x+4=x+12+3≥3，所以x2+2x+4有最小值3A．1 B．-1 C．-10 D．-1923．关于x的多项式-x2+6x-m的最大值为10A．1 B．-1 C．-10 D．-1924．阅读下列材料：我们可以通过以下方法求代数式x2∵x2+6x+5=x∴当x=-3时，x2+6x+5有最小值请根据上述方法，解答下列问题：(1)求代数式m2(2)填空：代数式4-x2+2x当x=______时，有最______(3)若代数式2x2+kx+7的最小值为-1【考试题型8】利用配方法求代数式的值25．一元二次方程x2－8x＝48可表示成(x－a)2＝48＋b的形式，其中a，b为整数，求a＋b之值为何()A．20 B．12 C．－12 D．－2026．若关于x的一元二次方程x2+6x+c=0配方后得到方程x+a2=1，则a＋A．8 B．9 C．10 D．1127．已知a，b，c满足a2+6b=7，b2-2c=-1，c2A．-1 B．5 C．6 D．-728．若a，b满足2a2+b2+2ab-4a+4=0【考试题型9】配方法解决多结论问题29．已知多项式A=x2+7x+10，B=x+1①若A-5B=5，则x1=0②当x=-2时，A-3B有最小值，最小值为3；③无论x取任何实数，A>B恒成立；以上结论正确的个数有（

）个A．0 B．1 C．2 D．330．对代数式(x+3)2，老师要求任意取一个x的值后求出代数式的值．圆圆发现，大家所求得的代数式的值都大于等于0，即x＝－3时代数式的最小值是0．利用这个发现，圆圆试着写出另外一些结论：①在x＝－3时，代数式(x＋3)2＋2的最小值为2；②在a＝－b时，代数式(a＋b)2＋m的最小值为m；③在c＝－d时，代数式－(c＋d)2＋n的最大值为n；④在x=-3时，代数式-x2-6x+20的最大值为A．①②③ B．①③ C．①④ D．①②③④31．已知A=x2+6x+n2，①若A=x2+6x+②B－A的最小值是2；③若n是A+B=0的一个根，则4n④若2022-AA-2019=2A．1个 B．2个 C．3个 D．4个32．配方法是代数计算或变形的常用方法之一，某数学学习小组在利用配方法解决问题的过程中，得到如下的结论：①用配方法解方程x2-8x-10=0，变形后的结果是②已知方程x2-8x+q=0可以配成x-42=12，那么③若关于x的方程x-22=k有实数根，则④若x2+ax+9可以配成形如x+m2⑤用配方法可以求得代数式x2-6x+10的最小值是其中正确结论的个数有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【考试题型10】利用配方法解决比较大小问题33．已知P=x2-x，Q=x-2为任意实数，则P-Q的值A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．无法确定34．已知M=8x2-y2+6x-2，N=9xA．为正数 B．为负数 C．为非正数 D．不能确定35．阅读材料：利用完全平方式，将多项式x2+bx+c变形为x+m2+n的形式，然后由例题：求x2解：x==无论x取何值，(x+4)2即x+42≥0所以：当x=-4时，x2+8x+21根据上述材料，解答下列问题：(1)填空：x(2)将多项式x2+16x-1变形为x+m2(3)若一个长方形的长和宽分别为2a+3和3a+5，面积记为S1，另一个长方形的长和宽分别为5a和a+3，面积记为S2，试比较S1【考试题型11】利用配方法解决新定义问题36．定义：若一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“平和数”．例如，5是“平和数”．理由：因为5=22+12．再如，M=x2+2xy+2解决问题：(1)请你再写一个小于5的“平和数”_____；判断29是否为“平和数”____（填“是”或“否”）；(2)若二次三项式x2-6x+13（x是整数）是“平和数”，可配方成x-m2+n（m，n(3)已知“平和数”x2+y2-4x+6y+13（x，y是整数）的值为0(4)已知S=x2+9y2+6x-6y+k（x，y是整数，k是常数），要使S为“平和数(5)已知实数x，y满足-x2+9x+y-25=037．定义：关于x的一元二次方程：a1x-m2+n=0与a2x-m2+n=0，称为“同族二次方程”．如2x-32+4=0与3x-32+4=0是“同族二次方程”．若关于A．2024 B．2023 C．2022 D．202138．阴阳观念是具有鲜明中国特色的哲学思想，它几乎渗透到社会生活、文学艺术、医学等许多方面，以至形成“阴阳对偶律”，比如说“阴阳对偶律”导致左右相对的形式在中国装饰艺术中地位突出，对偶的神兽或神人往往相对而列，多半会形成左右相对（包含左右对称）的样式，对偶在数学上也多有渗透，下面我们就研究下多项式中的对偶．对于x的多项式x2-2x+3，由于x2-2x+3=（x-1）2+2，所以x-1取任意一对互为相反数时，例如当x-1=±2时，即x=3或-1时，x2-2x＋3的值均为6．那么我们称x2-2x+3定义：对于关于x的多项式，若当x-t取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于x=t对偶，例如：x2-2x＋(1)多项式x2-8x+(2)当x=m或4-m时，关于x的多项式2x2+bx+c(3)若整式(2x2+8x+8)(x39．【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成a2+b2（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为5=22+(1)【解决问题】数11“完美数”（填“是”或“不是”）；数53“完美数”（填“是”或“不是”）；(2)【探究问题】已知x2+y2(3)【拓展提升】已知S=2x2+y2+2xy+12x+k（x、y是整数，k是常数），要使S为40．[项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法.它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．例