专题284锐角三角函数章末拔尖卷（人教版）

第28章锐角三角函数章末拔尖卷【人教版】参考答案与试题解析选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2023秋·广东梅州·九年级广东梅县东山中学校考期末）在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=32，cosBA．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形【答案】B【分析】根据特殊角的三角函数值求出∠A=60°，【详解】解：∵sinA=32∴∠A∴∠C∴△ABC故选：B．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．2．（3分）（2023秋·全国·九年级期末）直角三角形纸片ABC，两直角边BC=4，AC=8，现将△ABC纸片按如图那样折叠，使A与电B重合，折痕为DE，则tanA．12 B．34 C．1 D【答案】B【分析】根据折叠的性质得出BE=AE，设CE=x，则BE=AE=8-【详解】解：∵△ADE沿DE折叠得到△∴BE=设CE=x，则在Rt△BCE中，根据勾股定理可得：即42+x∴tan∠故选：B．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，正切的定义，解题的关键是掌握折叠前后对应边相等．3．（3分）（2023春·山东青岛·九年级华东师范大学青岛实验中学校联考开学考试）如图，△ABC的顶点分别在单位长度为1的正方形网格的格点上，则sinA．5 B．55 C．12 D【答案】B【分析】过B作BD⊥AC于点D，根据勾股定理得出AB,AC的值，再利用面积公式求出【详解】解：如图，过B作BD⊥AC根据勾股定理得：AB∴SΔABC∴BD∴sin故选：B．【点睛】本题考查了正弦值，勾股定理与网格,三角形的面积等知识点，解题的关键在于构造直角三角形．4．（3分）（2023秋·江苏泰州·九年级统考期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，点D、E分别在BC、AC上，AD、BE交于F，若BD=A．12 B．23 C．34【答案】C【分析】如图，过A作AG∥BC，交BE的延长线于G，证明△AGF≌△DBFAAS，则AG=BD=12【详解】解：如图，过A作AG∥BC，交BE的延长线于G∴∠G在△AGF和△∵∠G∴△AGF∴AG=∵∠G=∠CBE∴△AEG∴AECE=AG∴AC=∴tan∠故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正切等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．5．（3分）（2023秋·广东佛山·九年级校考期末）一块直角三角板ABC按如图放置，顶点A的坐标为(0,1)，直角顶点C的坐标为(-3,0)，∠B=30°，则点

A．(-3-33,33) B．(-3+3,3)【答案】D【分析】过点B作BE⊥OC于点E，根据ΔABC为直角三角形可证明ΔBCE∽ΔCAO，求出AC=10，求出【详解】解：过点B作BE⊥OC于点

∵△ABC∴∠BCE∴ΔBCE∴BEOC在Rt△ACO中，在Rt△ABC中，∴tan∠∴BC=∴BE3解得BE=33，∴EO=∴点B的坐标为(-3-3，3故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数以及坐标与图形的性质，解答本题的关键是正确作出辅助线，证明三角形的相似，进而求解．6．（3分）（2023秋·山东聊城·九年级统考期末）在Rt△ABC中，∠A=90°，有一个锐角为60°，BC=6，若点P在直线AC上（不与点A、C重合），且∠A．6或23 B．6或43 C．23或43 D．6【答案】D【分析】根据点P在直线AC上的不同位置，∠ABP【详解】如图1：当∠C=60°时，∠ABC如图2：当∠C=60°时，∵∠ABP∴∠CBP∴△PBC∴CP=如图3：当∠ABC=60°时，∵∠ABP∴∠PBC∴PC=∵BC=6∴AB=3∴PC如图4：当∠ABC=60°时，∵∠ABP∴∠PBC∴PC故选：D【点睛】本题考查利用特殊角的三角函数值求线段的长，解题的关键是确定点P在直线AC上的不同位置．7．（3分）（2023秋·黑龙江牡丹江·九年级统考期末）如图，延长等腰RtΔABC斜边AB到D，使BD=2AB，连接CD，则tan∠A．23 B．1 C．13 D【答案】A【分析】过点D作DE垂直于CB的延长线于点E，设AC=BC=a，根据勾股定理得AB=2a，由等腰直角三角形的性质得∠ABC=∠BAC=45°，从而得BD=2AB=22a，在Rt△BDE中，解直角三角形得DE=2a，BE=2a，进而求得CE=【详解】解：过点D作DE垂直于CB的延长线于点E，如下图，设AC=BC=a，∵AC⊥BC，AC=BC=a，∴AB=AC2+BC2=2a，∴∠ABC=∠BAC=45°，BD=2∴∠DBE=∠ABC=45°，∵DE⊥CE，∴DE=BD·sin∠DBE=2∴CE=BC+BE=3a，∴tan∠故选：A．【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，解直角三角形，熟练解直角三角形是解题的关键．8．（3分）（2023春·浙江·九年级期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，分别以AB，AC，BC为边向外作正方形，连结CD，若sin∠BCDA．23 B．34 C．710【答案】D【分析】过点B作BE⊥CD于点E，过点C作CF⊥AB于点F，可得△ABC，△BED，△BEC，△BCF都是直角三角形，根据sin∠BCE＝BEBC=35，设BE＝3a，BC＝5a，得CE＝BC2-BE2＝4a，过点C作DB延长线于点G，得矩形CFBG，设AC＝【详解】解：如图，过点B作BE⊥CD于点E，过点C作CF⊥AB于点F，∴△ABC，△BED，△BEC，△BCF都是直角三角形，∵sin∠BCD＝35∴sin∠BCE＝BEBC设BE＝3a，BC＝5a，∴CE＝BC2-B过点C作DB延长线于点G，得矩形CFBG，∴BF＝CG，设AC＝x，AB＝y，在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB2﹣AC2＝BC2，∴y2﹣x2＝25a2，∵S△ABC＝12×AB•CF＝12×∴y•CF＝5ax，∴CF＝5ax在Rt△BCF中，根据勾股定理，得BF＝BC2-CF∴BF＝CG＝25y在正方形ABDH中，AB＝BD＝y，在Rt△BDE中，根据勾股定理，得DE＝BD2-∴CD＝CE+ED＝4a+y2∵S△CBD＝12×CD•BE＝12×∴CD•BE＝BD•CG，∴(4a+y2-9a2)×3∴y2-9∴tan∠CDB＝tan∠EDB＝BEDE＝3ay故选：D．【点睛】本题属于几何综合题，是选择题压轴题，考查了正方形的性质，勾股定理，三角形的面积，解直角三角形，解决本题的关键是设参数利用勾股定理列方程．9．（3分）（2023春·浙江·九年级期末）如图1是由四个全等的直角三角形组成的“风车”图案，其中∠AOB=90°，延长直角三角形的斜边恰好交于另一直角三角形的斜边中点，得到如图2，若IJ=2，则该“风车A．2+1 B．22 C．4-2【答案】B【分析】连接AC,由题意可得Rt△AOB≌Rt△DCO≌Rt△EOF≌Rt△GOH，进而说明△OAC为等腰直角三角形，再说明分CD、GI垂直平分AB，进而说明∠OBH=∠OHB=45°，然后再运用解直角三角形求得AI，然后再求得三角形AOB的面积，最后求风车面积即可．【详解】解：如图：连接AC由题意可得：Rt△AOB≌Rt△DCO≌Rt△EOF≌Rt△GOH∴OA=OC,∠OAB=∠OCD∵∠AOC=∠AOB=90°∴△OAC为等腰直角三角形又∵∠OAB=∠OCD：∴∠AJD=180°∠ADJ∠OAB=180°∠ODC∠OCD=90°，即AJ⊥CD又∵CJ=DJ∴AJ垂直平分CD同理：GI垂直平分AB∴AC=AD,AJ是等腰三角形顶角∠CAD的角平分线即∠DAJ=12∠CAD=1易得IH=BJ,IJ=IB+BJ=IB+IH又∵IB=IA∴IJ=IB+BJ=IH+IA=2在Rt△ABO中，∠ABH=∠BAH=22.5°∴∠OBH=OHB=45°设OB=OH=a，即AH=BH=2OB=2a∴tan∠A=BOAO∴IH设IH=（2-1）x，AI∴IH+IA=2x=2，即x∴S△又∵S∴S△∴S∴S风车故选B．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，灵活应用相关知识以及数形结合思想成为解答本题的关键．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）10．（3分）（2023秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D，E分别在AC，BC边上，且AD=3，BE=4，连接AE，BD，交于点F，BD=10【答案】5【分析】过点A作AG∥BE，BG∥AE交于点G，连接DG，勾股定理求得DG，过点D作【详解】解：如图所示，过点A作AG∥BE，BG∥AE交于点则四边形AGBE是平行四边形，∴AG=BE∵∠C=90°∴AG∴△ADG∴DG∵cos∴∠∵AE∴∠∵DG过点D作DH⊥∵sin∴DH=∴G,∴AE故答案为：53【点睛】本题考查了解直角三角形，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，平行四边形的性质，正确的添加辅助线是解题的关键．11．（3分）（2023秋·安徽六安·九年级校考期末）如图，在菱形ABCD中，tan∠ABC=43，AE⊥BC于点E，AE的延长线与DC的延长线交于点

【答案】4:21【分析】设AE=4k，则BE=3k，根据勾股定理求出【详解】解∶∵tan∠ABC=∴tan∠设AE=4k，则∴AB=∵四边形ABCD是菱形，∴CB∥AD，∴CE=∵CB∥∴△CEF∴S△∴S△故答案为：4:21．【点睛】本题考查了正切、相似三角形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理等知识，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．12．（3分）（2023秋·辽宁锦州·九年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4，E是对角线BD上一动点（点E不与点B，D重合），当△ABE

【答案】2或52或【分析】分AB=【详解】解：在矩形ABCD中，AB=3,∴∠BAD∴BD=当AB=AE时，过点A作AF⊥

则AF⊥∴cos∠∴BF∴DE=当BA=BE时，

当EA=EB时，过点E作EG⊥

∴EG∥AD，∴BEED∴DE=综上所述DE=2或52或故答案为：2或52或7【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例，求一个角的余弦，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．13．（3分）（2023春·全国·九年级期末）如图，已知点P是菱形ABCD的对角线AC延长线上一点，过点P分别作AD，DC延长线的垂线，垂足分别为点E，F．若∠ABC=120°，AB=6，则PE-

【答案】3【分析】如图，延长BC交EP于M，由菱形的性质可知，CP为∠BCD，∠FCM的平分线，则PF=PM，PE-PF=PE-PM=EM，由题意知，EM为△ABD【详解】解：如图，延长BC交EP于M，

由菱形的性质可知，CP为∠BCD，∠∵PF⊥CF，∴PF=∴PE-由题意知，EM为△ABD底边AD∵菱形ABCD，∠ABC=120°，∴∠BAD∴EM=∴PE-故答案为：33【点睛】本题考查了菱形的性质，角平分线的性质，正弦．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．14．（3分）（2023·广东深圳·深圳市宝安第一外国语学校校考模拟预测）如图，在正方形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，P是线段MN上的一点，BP的延长线交4D于点E，连接PD，PC，将△DEP绕点P顺时针旋转90°得△GFP，则下列结论：①CP=GP，②tan∠CGF=1；③BC垂直平分FG；④若AB=4，点【答案】①②③【分析】延长GF交AD于点H，连接FC，FB，FA，由已知可得MN为AB，CD的垂直平分线，由垂直平分线的性质和图形旋转的性质可得①的结论正确；利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质计算可得∠BCG=45°，由四边形内角和定理通过计算可得∠EHF=90°；利用平行线的性质可得BC⊥FG，则∠CGF=45°，可说明②的结论正确；通过证明点A，B，E，F在以点P为圆心，PA为半径的同一个圆上，利用圆周角定理可得∠FAB=45°，得到A，F，C三点共线，得到△CGF为等腰直角三角形，则③的结论正确；由题意点【详解】解：延长GF交AD于点H，连接FC，FB，FA，如图，∵正方形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，∴MN是线段BA，CD∴PD=PC∵△FPG是△PED绕点P顺时针旋转∴△FPG≌△∴PD∴PC∴①的结论正确；∵PD∴∠PDC∵PC∴∠PCG∴∠PCD∵∠DPC∴∠PCD∵∠BCD∴∠BCG∵△FPG≌△∴∠DEP∵∠HFP∴∠DEP∵∠DEP∴∠EHF∴∠EPF∴∠EHF即GH⊥∵AD∴GF∴∠CGF∴tan∴②的结论正确；∵PA=PB∴∠APM∵PM∴∠PEA=∠BPM∴∠PEA∴PA∵PE∴PA∴点A，B，E，F在以点P为圆心，PA为半径的同一个圆上．∴∠FAB∴点F在对角线AC上，∴∠FCB∵∠BCG∴△FCG∵BC平分∠∴BC垂直平分FG∴③的结论正确；由以上可知：点F在正方形的对角线AC上运动，∴当EF⊥AC时，此时点E与点D重合，∴DF∴④的结论不正确．综上，结论正确的序号有：①②③，故答案为：①②③．【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了正方形的性质，轴对称，线段垂直平分线的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，直角三角形的边角关系，圆周角定理，垂线段的性质，四点共圆的判定与性质，图形旋转的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．15．（3分）（2023秋·山东东营·九年级东营市胜利第一初级中学校考期末）如图，△AB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…是等边三角形，直线y=33x+2经过它们的顶点A，

【答案】2【分析】设直线y=33x+2与x轴交于点C，求出点A、C的坐标，可得OA=2,OC=23，推出∠CB1A1=90°，∠【详解】解：如图所示，设直线y=33x+2

当x=0时，y=2；当y=0∴A0,2，C∴OA=2，OC∴tan∠∴∠ACO∵△A∴∠A∴∠CB1∴AC=∵AO⊥∴OB∴CB同理，CB2=2CB∴CB2022=∴B2022故答案为：22023【点睛】本题主要考查一次函数图象与几何的变换规律的综合，解直角三角形，理解等边三角形的性质，一次函数图像的性质和特点，找到点的变换规律是解题的关键．16．（3分）（2023秋·四川成都·九年级成都七中校考期末）如图，E、F、G、H分别是矩形的边AB、BC、CD、AD上的点，AH=CF，AE=CG，∠EHF=60°，∠GHF=45°，若【答案】8+4【分析】先构造15°的直角三角形，求得15°的余弦和正切值；作EK⊥FH，可求得EH:EF=2:6；作∠ARH=∠BFT=15°，分别交直线AB于R和T，构造“一线三等角【详解】解：如图1，Rt△PMN中，∠P=15°，设MN=1，则PQ=NQ=2，∴cos15°=6如图2，作EK⊥FH于K，作∠AHR=∠BFT=15°，分别交直线∵四边形ABCD是矩形，∴∠A在△AEH与△AE=∴△AEH∴EH同理证得△EBF≌△GDH∴四边形EFGH是平行四边形，设HK=a，则EH=2∴EF∵∠EAH∴∠R∴∠R可得：FT=BFcos15°=∴FTER∴26∴ER∴AE∴tan∴∠AEH∴HG∵∠BEF∴∠BEF∴EF∴EH∴2(EH∴四边形EFGH的周长为：8+46故答案为：8+46【点睛】本题考查了矩形性质，全等三角形判定和性质，解直角三角形，构造15°特殊角的图形及其求15°的函数值，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造“一线三等角”及构造15°直角三角形求其三角函数值．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2023秋·山东东营·九年级校联考期中）计算：(1)2sin(2)(π【答案】(1)2(2)4【分析】（1）先将特殊角的三角函数值代入，再进行计算即可；（2）先计算零指数幂，特殊角三角函数值，化简二次根式，绝对值，再根据实数的混合运算法则求解即可．【详解】（1）原式====2．（2）原式=1+4×=1+2=4．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值计算和二次根式的运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．18．（6分）（2023秋·安徽六安·九年级校考期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AD=6，

求：(1)CD的长；(2)sin∠【答案】(1)CD(2)3【分析】（1）根据正切的定义得到tan∠（2）根据（1）所求求出BD=8，进而求出AB=10，再根据正弦的定义求出【详解】（1）解：∵AD⊥∴∠ADB在Rt△ADC中，tan∠∴CD=4（2）解：由（2）得CD=4∴BD=∴AB=在Rt△ABD中，sin∠【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟知正弦和正切的定义是解题的关键．19．（8分）（2023春·河南南阳·九年级统考期中）如图，已知点A（7，8）、C（0，6），AB⊥x轴，垂足为点B，点D在线段OB上，DE∥AC，交AB于点E，EF∥CD，交AC于点F．（1）求经过A、C两点的直线的表达式；（2）设OD＝t，BE＝s，求s与t的函数关系式；（3）是否存在点D，使四边形CDEF为矩形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝27x+6；（2）s＝2﹣27t（0＜t＜7）；（3）点D的坐标为（127【分析】（1）将点A、C的坐标代入一次函数表达式y＝kx+b，即可求解；（2）根据题意可得点D（t，0），点E（7，s），根据一次函数的图象及性质，可得直线DE的表达式为：y＝27x﹣27t，将点（3）设点D（t，0），证明∠OCD＝∠BDE，则tan∠OCD＝tan∠B