第三章第六节　函数的图象

第六节函数的图象【课程标准】1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.会运用函数图象理解和研究函数的性质,解决方程解的个数与不等式解集的问题.【考情分析】考点考法:高考命题考查函数图象的识别、函数图象的画法及应用函数图象研究函数的性质,已知函数解析式选择函数图象是高考热点,常以选择题形式出现.核心素养:逻辑推理、直观想象、数学运算.【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.利用描点法作函数图象的方法步骤(1)确定函数的定义域.(2)化简函数的解析式.(3)讨论函数的性质,即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势).(4)描点连线,画出函数的图象.2.利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换(2)伸缩变换(3)对称变换(4)翻折变换【微点拨】函数图象的左右变换都针对自变量“x”而言,如从f(2x)的图象到f(2x+1)的图象是向右平移12个单位长度,其中是把x变成x12【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号12431.(多维辨析)(多选题)下列结论错误的是()A.当x∈(0,+∞)时,函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象相同B.函数y=af(x)与y=f(ax)(a>0且a≠1)的图象相同C.函数y=f(x)与y=f(x)的图象关于原点对称D.函数y=lgx的图象关于x=3对称的图象对应的函数是y=lg(6x)【解析】选ABC.A令f(x)=x,当x∈(0,+∞)时,y=|f(x)|=x,y=f(|x|)=x,两者图象不同.×B当a≠1时,y=af(x)与y=f(ax)是由y=f(x)分别进行纵坐标与横坐标伸缩变换得到,两图象不同.×Cy=f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称.×2.(必修第一册P85练习T1变条件、变设问)已知图①中的图象是函数y=f(x)的图象,则图②中的图象对应的函数可能是()A.y=f(|x|) B.y=|f(x)|C.y=f(|x|) D.y=f(|x|)【解析】选C.因为题图②中的图象是在题图①的基础上,去掉函数y=f(x)的图象在y轴右侧的部分,然后将y轴左侧图象翻折到y轴右侧得到的,所以题图②中的图象对应的函数可能是y=f(|x|).3.(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[3,3]的大致图象,则该函数是()A.y=-x3+3xx2+1C.y=2xcosxx2+1 【解析】选A.设f(x)=x3-xx2+1设h(x)=2xcosxx2+1,当x∈(0,π2所以h(x)=2xcosxx2设g(x)=2sinxx2+1,则g(3)=4.(看不懂图象导致错误)若关于x的方程|x|=ax只有一个解,则实数a的取值范围是(0,+∞).

【解析】由题意a=|x|+x,令y=|x|+x=2x,x>0,0,x≤0,图象如图所示,故要使a=|x|+x【巧记结论·速算】1.函数图象自身的轴对称(1)f(x)=f(x)⇔函数y=f(x)的图象关于y轴对称;(2)函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称⇔f(a+x)=f(ax)⇔f(x)=f(2ax)⇔f(x)=f(2a+x);(3)若函数y=f(x)的定义域为R,且有f(a+x)=f(bx),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a+b2.函数图象自身的中心对称(1)f(x)=f(x)⇔函数y=f(x)的图象关于原点对称;(2)函数y=f(x)的图象关于点(a,0)成中心对称⇔f(a+x)=f(ax)⇔f(x)=f(2ax)⇔f(x)=f(2a+x);(3)函数y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称⇔f(a+x)=2bf(ax)⇔f(x)=2bf(2ax).3.两个函数图象之间的对称关系(1)函数y=f(a+x)与y=f(bx)的图象关于直线x=b-a2对称(由a+x=b(2)函数y=f(x)与y=f(2ax)的图象关于直线x=a对称;(3)函数y=f(x)与y=2bf(x)的图象关于点(0,b)对称;(4)函数y=f(x)与y=2bf(2ax)的图象关于点(a,b)对称.【即时练】1.下列说法正确的是()A.若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称B.若函数y=f(x)满足f(x+1)=f(x1),则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称C.当x∈(0,+∞)时,函数y=f(|x|)的图象与y=|f(x)|的图象相同D.函数y=f(1x)的图象可由y=f(x)的图象向左平移1个单位长度得到【解析】选A.由函数的性质知A正确,B错误;令f(x)=x,则当x∈(0,+∞)时,f(|x|)=f(x)=x,|f(x)|=x,f(|x|)≠|f(x)|,故C错误;y=f(x)的图象向左平移1个单位长度得到y=f(x1)的图象,故D错误.2.函数y=f(2x)与y=f(x+2)的图象关于直线x=2对称.

【解析】由2x=x+2,得x=2,所以函数y=f(2x)与y=f(x+2)的图象关于直线x=2对称.【核心考点·分类突破】考点一作函数的图象[例1]作出下列函数的图象:(1)y=(12)|x|(2)y=|log2(x+1)|;(3)y=x22|x|1.【解析】(1)先作出y=(12)x的图象,保留y=(12)x图象中x≥0的部分,再作出y=(12)x的图象中x>0的部分关于即得y=(12)|x|的图象,如图①实线部分(2)将函数y=log2x的图象向左平移一个单位长度,再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去,即可得到函数y=|log2(x+1)|的图象,如图②.(3)因为y=x2-2x-1再根据对称性作出(∞,0)上的图象,得图象如图③.【解题技法】函数图象的常见画法(1)直接法:当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本初等函数时,可根据这些函数的特征描出图象的关键点,进而直接作出函数图象.(2)图象变换法:若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到,则可利用图象变换作图.提醒:①画函数的图象一定要注意定义域;②利用图象变换法时要注意变换顺序.【对点训练】作出下列各函数的图象:(1)y=x|x1|;(2)y=|x24x+3|;(3)y=(12)|x+2|(4)y=sin|x|.【解析】(1)根据绝对值的意义,可将函数解析式化为分段函数y=1,x≥1,(2)函数解析式可化为y=x2-4x(3)作出y=(12)x的图象,保留y=(12)x的图象中x≥0的部分,加上y=(12)x的图象中x>0的部分关于y轴的对称部分,即得y=(12)|x|的图象,再向左平移2个单位长度,即得y=(12)|x+2|的图象(4)当x≥0时,y=sin|x|与y=sinx的图象完全相同,又y=sin|x|为偶函数,图象关于y轴对称,故图象如图④所示.考点二函数图象的识别[例2](1)(2022·全国甲卷)函数y=3x-3-xcosx在区间【解析】选A.令fx=3x-3-xcosx,x∈-π2,π(3x3x)cosx=f(x),所以fx为奇函数,排除B,D;又当x∈0,π2时,3x3x所以fx>0,排除C.(2)(2023·天津高考)函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可能为()A.5(ex-e-C.5(ex+e-【解析】选D.由题干中函数图象可知,f(x)图象关于y轴对称,其为偶函数,且f(2)=f(2)<0,由5sin(-x)(-x)2+1=5sinxx2+1,且定义域为R,即选项B中函数为奇函数,排除B;当x>0时,5(ex(3)函数f(x)=xlnx的图象如图所示,则函数y=f(1x)的大致图象为()【解析】选D.方法一:函数f(x)的定义域为(0,+∞),由1x>0得x<1,即函数y=f(1x)的定义域为(∞,1),排除A,C.f(1x)=(1x)ln(1x),设g(x)=f(1x)=(1x)ln(1x),则g(1)=2ln2>0,排除B.方法二:将函数f(x)的图象进行以y轴为对称轴的翻折变换,得到函数y=f(x)的图象,再将图象向右平移一个单位长度,即可得到函数y=f((x1))=f(1x)的图象.【解题技法】函数图象的识别可从以下几个方面入手(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置.(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势.(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性.(4)从函数的周期性,判断图象的循环往复.(5)从函数的特征点,排除不合要求的图象.【对点训练】1.已知函数f(x)=x(ex-e-x)|x【解析】选D.函数f(x)=x(ex-e-x)|x|-1的定义域为{x|x≠±1},f(x)=-x(e-x-当0<x<1时,|x|1<0,exex>0,则f(x)<0,可排除B,C.2.如图可能是下列哪个函数的图象()A.y=2xx21 B.y=2C.y=(x22x)ex D.y=x【解析】选C.函数的定义域为R,排除D;当x<0时,y>0,A中,x=1时,y=2111=32<0,排除A;B中,当sinx=0时,y=0,所以y=2xsinx43.已知函数y=f(x)的图象如图1,则图2对应的函数有可能是()A.y=xf(x) B.y=f(x2)C.y=x2f(x) D.y=xf(x2)【解析】选A.对于B,y=f(x2)为偶函数,与图象不符,故排除B;对于C,当x<0时,x2>0,f(x)<0,所以x2f(x)<0,与图象不符,故排除C;对于D,当x<0时,x2>0,f(x2)>0,所以xf(x2)<0,与图象不符,故排除D.考点三函数图象的应用【考情提示】高考对函数图象的考查比较灵活,涉及知识点较多,且每年均有创新,试题考查角度有两个方面,一是函数解析式与函数图象的对应关系;二是利用图象研究函数的性质、方程及不等式的解等,综合性较强.角度1研究函数的性质[例3](多选题)设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R恒有f(x+1)=f(x1),已知当x∈[0,1]时,f(x)=(12)1x,则下列结论正确的是(A.2是函数f(x)的周期B.函数f(x)在(1,2)上单调递减,在(2,3)上单调递增C.函数f(x)的最大值是1,最小值是0D.当x∈(3,4)时,f(x)=(12)x【解析】选ABD.由已知条件得f(x+2)=f(x),则y=f(x)是以2为周期的周期函数,A正确;当1≤x≤0时,0≤x≤1,f(x)=f(x)=(12)1+x,画出函数y=f(x)的部分图象如图所示.由图象知B正确,C不正确;当3<x<4时,1<x4<0,f(x)=f(x4)=(12)x3,D【解题技法】利用函数的图象研究函数的性质对于已知解析式易画出其在给定区间上图象的函数,其性质常借助图象研究:(1)从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值;(2)从图象的对称性,分析函数的奇偶性;(3)从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性.角度2利用函数图象解决不等式问题[例4](2023·商丘模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)在[0,+∞)上的图象如图所示,则不等式x2f(x)>2f(x)的解集为()A.(2,0)∪(2,2)B.(∞,2)∪(2,+∞)C.(∞,2)∪(2,0)∪(2,2)D.(2,2)∪(0,2)∪(2,+∞)【解析】选C.根据奇函数的图象特征,作出f(x)在(∞,0)上的图象,如图所示,由x2f(x)>2f(x),得(x22)f(x)>0,则x2-解得x<2或2<x<2或2<x<0,故不等式的解集为(∞,2)∪(2,0)∪(2,2).角度3利用图象求参数的取值范围[例5](2023·洛阳联考)已知函数f(x)=|2x-1|,x<2,3x-1,x≥2A.(1,3) B.(0,3)C.(0,2) D.(0,1)【解析】选D.画出函数f(x)的图象,如图所示,方程f(x)a=0有三个不同的实数根,即函数y=f(x)的图象与直线y=a有三个不同的交点,由图可知,实数a的取值范围为(0,1).【解题技法】1.函数性质:一般根据图象观察函数性质有以下几方面:(1)观察函数图象是否连续以及最高点和最低点,确定定义域、值域;(2)观察函数图象是否关于原点或y轴对称,确定函数是否具有奇偶性;(3)观察图象上升或下降的情况,确定单调性.2.求解不等式:若采用代数法求解比较困难,但其对应函数的图象可作出时,常将不等式问题转化为两函数图象的位置关系问题,从而利用数形结合思想求解.3.求参数:当参数的不等关系不易找出时,可将函数(或方程)等价转化为方便作图的两个函数,再根据题设条件和图象的变化,利用数形结合思想确定参数的取值范围.【对点训练】1.设定义在R上的奇函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(1)=0,则不等式f(x)-f(-A.(1,0)∪(1,+∞