第六章第六节复数

第六节复数【课程标准】1.通过方程的解,认识复数.2.理解复数的代数表示及其几何意义,理解两个复数相等的含义.3.掌握复数代数表示的四则运算,了解复数加、减运算的几何意义.【考情分析】考点考法:高考对复数的考查相对稳定,为每年必考题型.复数的运算、概念、复数的模、复数的几何意义是常考点,以选择题的形式考查.核心素养:数学运算、直观想象.【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.复数的有关概念(1)复数的定义把形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位.全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做复数集.实部是a,虚部是b.(2)复数的分类(3)复数相等a+bi=c+di⇔a=c且b=d(a,b,c,d∈R).(4)共轭复数a+bi与c+di互为共轭复数⇔a=c且b=d(a,b,c,d∈R).(5)复数的模向量OZ的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=a2+b2(a,b【微点拨】(1)虚数不能比较大小;(2)复数集包含实数集与虚数集.2.复数的几何意义(1)复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)(a,b∈R).(2)复数z=a+bi(a,b∈R)平面向量OZ(O为坐标原点).【微点拨】(1)复数加法的几何意义:若复数z1,z2对应的向量OZ1,OZ2不共线,则复数z1+z2是以OZ1(2)复数减法的几何意义:复数z1z2是OZ1OZ23.复数的运算复数的加、减、乘、除运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;②减法:z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i;③乘法:z1z2=(a+bi)(c+di)=(acbd)+(ad+bc)i;④除法:z1z2=a+bic+di=(【微点拨】复数的运算律:任何z1,z2,z3∈C①复数加法交换律:z1+z2=z2+z1,结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).②复数乘法交换律:z1·z2=z2·z1,结合律:(z1z2)z3=z1(z2z3),乘法对加法的分配律:z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.【基础小题·自测】类型辨析改编易错高考题号13241.(多维辨析)(多选题)下列结论正确的是 ()A.若|z|=1,则z=±1或z=±iB.若z∈C,则|z2|=|z|2C.若复数z满足|z|=1,则|z+2i|的最大值为3D.若a+bi=1+i(a,b∈C),则a=b=1【解析】选BC.对于A,若z=12+32i,满足|z|=1,故A对于B,设z=a+bi,a,b∈R,则|z2|=|a2b2+2abi|=(=a4+b4+2a2b2=(a2+b2)2=a2+b2,|z|2=(a2+故B正确;对于C,设z=a+bi,a,b∈R,因为|z|=1,则复数z对应的点P在以原点O为圆心,1为半径的圆上,|z+2i|的几何意义为点P(a,b)到(0,2)的距离,其最大值为(0,2)与圆心(0,0)的距离加1,即2+1=3,故C正确;对于D,若a=1+2i,b=1,则a+bi=1+i(a,b∈C),此时a≠b≠1,故D错误.2.(虚部概念掌握不清致误)复数z=13+4i的虚部是 (A.325 B.325i C.425【解析】选C.z=13+4i=3-4i(3+4i)(3-4i)=3-3.(必修第二册P69例1·变条件)若a∈R,复数z=(a22a)+(a2a2)i是纯虚数,则()A.a≠2且a≠1 B.a=0C.a=2 D.a=0或a=2【解析】选B.复数z=(a22a)+(a2a2)i是纯虚数,则a2-2a4.(2022·全国乙卷)设(1+2i)a+b=2i,其中a,b为实数,则 ()A.a=1,b=1 B.a=1,b=1C.a=1,b=1 D.a=1,b=1【解析】选A.因为a,b∈R,(a+b)+2ai=2i,所以a+b=0,2a=2,解得a=1,b=1.【巧记结论·速算】1.in(n∈N)的周期性:(1)i4n=1,i4n+1=i,i4(2)i4n+i4n+12.复数模的性质:(1)|z|2=|z|2=z·z;(2)|z1·z2|=|z1|·|z2|;(3)|z1z2|=|z1||z2|(【即时练】1.已知a为实数,若复数z=(a21)+(a1)i为纯虚数,则a+i2A.1 B.0 C.1+i D.1i【解析】选B.若复数z=(a21)+(a1)i为纯虚数,所以a2-1=0a-a+i202412.(多选题)已知i为虚数单位,则以下四个说法错误的是 ()A.i+i2+i3+i4=0B.复数2i的虚部为iC.若复数z为纯虚数,则|z|2=z2D.若z1,z2为复数,则|z1·z2|=|z1||z2|【解析】选BC.对于A,i+i2+i3+i4=i1i+1=0,A正确;对于B,复数2i的虚部为1,B错误;对于C,若z=i,则z2=1,|z|2=1,C错误;对于D,设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),于是z1z2=acbd+(ad+bc)i,|z1z2|=(=a2c2+b2d2+a2d2+【核心考点·分类突破】考点一复数的有关概念[例1](1)(2023·保定模拟)已知复数z满足z(1i)=i,则z的虚部为 ()A.12 B.12 C.12i 【解析】选A.复数z满足z(1i)=i,则z=i1-i=i(1+i所以z=1212i,z的虚部为(2)(2023·全国甲卷)若复数(a+i)(1ai)=2,a∈R,则a= ()A.1 B.0 C.1 D.2【解析】选C.因为(a+i)(1ai)=aa2i+i+a=2a+(1a2)i=2,所以2a=21-a(3)i是虚数单位,若(1+mi)(3i)为纯虚数,则实数m的值为 ()A.3 B.4 C.3 D.4【解析】选C.依题意,(1+mi)(3i)=(3+m)+(3m1)i,而m为实数,因此3+m=03m-1≠0,解得m=【解题技法】解决复数概念问题的常用方法(1)求一个复数的实部与虚部,只需将已知的复数化为代数形式z=a+bi(a,b∈R),则该复数的实部为a,虚部为b.(2)复数是实数的条件:①z=a+bi∈R⇔b=0(a,b∈R);②z∈R⇔z=z;③z∈R⇔z2≥0.(3)复数是纯虚数的条件:①z=a+bi是纯虚数⇔a=0且b≠0(a,b∈R);②z是纯虚数⇔z+z=0(z≠0);③z是纯虚数⇔z2<0.(4)复数z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数为z=abi,则z·z=|z|2=|z|2,即|z|=|z|=z·z,若z∈R,则z【对点训练】1.(2023·菏泽模拟)设z=i(2i),则z= ()A.1+2i B.1+2iC.12i D.12i【解析】选C.因为z=i(2i)=1+2i,所以z=12i.2.(2022·全国乙卷)已知z=12i,且z+az+b=0,其中a,b为实数,则 ()A.a=1,b=2 B.a=1,b=2C.a=1,b=2 D.a=1,b=2【解析】选A.z=1+2i,z+az+b=12i+a(1+2i)+b=(1+a+b)+(2a2)i,由z+az+b=0,得1+a+b=0考点二复数的四则运算[例2](1)(2023·石家庄模拟)(1+i3)(2i)= ()A.3i B.3+iC.13i D.1+3i【解析】选C.(1+i3)(2i)=(1i)(2i)=2i2i1=13i.(2)(2023·全国乙卷)设z=2+i1+i2+i5,A.12i B.1+2i C.2i D.2+i【解析】选B.由题意可得z=2+i1+i2+i5=2+i1-1+i=(3)(2023·新高考Ⅰ卷)已知z=1-i2+2i,则zz=A.i B.i C.0 D.1【解析】选A.因为z=1-i2+2i=(1-i)(1-i)2(1+i)(1-i)(4)(2023·全国乙卷)|2+i2+2i3|= ()A.1 B.2 C.5 D.5【解析】选C.由题意可得2+i2+2i3=212i=12i,则|2+i2+2i3|=|12i|=12+(-(5)(2022·北京高考)若复数z满足i·z=34i,则|z|= ()A.1 B.5 C.7 D.25【解析】选B.由已知,得z=3-4ii=43i,所以|【解题技法】复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的加、减、乘法类似于多项式的运算(注意:i2=1),可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可.(2)复数的除法:除法的关键是分子、分母同乘分母的共轭复数,使分母实数化.【对点训练】1.(2022·全国甲卷)若z=1+3i,则zzz-1A.1+3i B.13iC.13+33i D.1【解析】选C.因为z=1+3i,所以z·z=|z|2=((-1)2则zzz-1=-1+32.(2022·新高考Ⅰ卷)若i(1z)=1,则z+z= ()A.2 B.1 C.1 D.2【解析】选D.由题设有1z=1i=ii2=i,故z=1+i,故z+z3.(一题多法)(2023·忻州模拟)若复数z=(1+i)(1+3i),则|z|= ()A.25 B.42 C.20 D.32【解析】选A.方法一:由题意可得z=(1+i)(1+3i)=1+3i+i+3i2=2+4i,则|z|=4+16=25.方法二:|z|=|1+i||1+3i|=2×10=25.4.已知a,b∈R,a+i与3+bi互为共轭复数,则|abi|=()A.2 B.3 C.10 D.4【解析】选C.因为a+i与3+bi互为共轭复数,所以a=3,b=1,所以|abi|=|3+i|=10.【加练备选】1.(2022·新高考Ⅱ卷)(2+2i)(12i)= ()A.2+4i B.24iC.6+2i D.62i【解析】选D.(2+2i)(12i)=2+44i+2i=62i.2.(2022·全国甲卷)若z=1+i.则|iz+3z|=()A.45 B.42 C.25 D.22【解析】选D.因为z=1+i,所以iz+3z=i1+i+31-i所以iz+3z=4+4考点三复数的几何意义[例3](1)复平面内,复数z=i(2+i)的共轭复数对应的点位于 ()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选C.复数z=i(2+i)=2i+i2=1+2i,复数z的共轭复数为z=12i,z对应的点为(1,2),在第三象限.(2)(2023·唐山模拟)已知复平面内,复数z=a+i1-i对应的点(x,y)满足x+y=0,则实数aA.1 B.0 C.1 D.2【解析】选B.由z=a+i1-i=(a+i)(1+i)(1-i)(1+i)则a-12+a+12(3)(2023·景德镇模拟)已知i为虚数单位,且|z2i|=1,则|z|的最大值是__________.

【解析】设z=a+bi(a,b∈R),由|z2i|=1的几何意义知:z对应的点(a,b)的轨迹是以(0,2)为圆心,1为半径的圆,即a2+(b2)2=1,因为|z|的几何意义为点(a,b)到坐标原点(0,0)的距离,所以|z|max=(0-答案:3【解题技法】复数几何意义的解题策略(1)已知复数对应点的位置求参数范围,可依据点所在位置建立不等式求解.(2)研究复数模的问题,可利用数形结合法,考虑模的几何意义求解:①|zz0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离;②||z1||z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|.【对点训练】1.(2023·北京高考)在复平面内,复数z对应的点的坐标是(1,3),则z的共轭复数z= ()A.1+3i B.13iC.1+3i D.13i【解析】选D.因为在复平面内,复数z对应的点的坐标是(1,3),所以z=1+3i,则z的共轭复数z=13i.2.若i为虚数单位,复数z满足|z|≤1,则|z(1+i)|的最大值为 ()A.21 B.2C.2+1 D.22【解析】选C.设z=x+yi,x,y∈R,则x2+y2≤1,表示以(0,0)为圆心,1为半径的圆上和圆内的点,|z(1+i)|=|x1+(y1)i|=(x-1)2+(y-1)2,表示以(0,0)为圆心,以1为半径的圆上和圆内的点到点(1,1)3.已知i是虚数单位,复数z=m2m(m1)i(m∈R).(1)若z为纯虚数,求z;(2)若z在复平面内对应的点在第四象限,求实数m的取值范围.【解析】(1)若z为纯虚数,则m2-m=0-(m-1)≠0,解得(2)若z在复平面内对应的点在第四象限,则m2-m>0-(m-1)<0考点四复数与方程[例4](1)已知方程x2+(4+i)x+4+ai=0(a∈R)有实根b,且z=a+bi,则复数z等于()A.22i B.2+2iC.2+2i