专题51相交线与垂线（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题5.1相交线与垂直（知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】邻补角与对顶角1.邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．要点提醒：(1).邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位置相邻，“补”指的是两个角的和为180°．(2).邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角．(3).互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角．(4).邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边；另一边互为反向延长线.2.对顶角及性质：（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角．（2）性质：对顶角相等．要点提醒：(1).由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角．(2).对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.【知识点二】垂线1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．要点提醒：(1)记法：直线a与b垂直，记作：；直线AB和CD垂直于点O，记作：AB⊥CD于点O.(2)垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：CD⊥AB．2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．要点提醒：(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．3．垂线的性质：（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．要点提醒：（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．（2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题．4．点到直线的距离：定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．要点提醒：点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．【考点目录】【考点1】对顶角与邻补角认识；【考点2】利用对顶角性质和邻补角互补求值；【考点3】垂直定义的理解；【考点4】作图（画垂线）；【考点6】点到直线的距离的判定与求值；【考点7】求最值（垂线段最短）.【考点1】对顶角与邻补角认识；【例1】（2023下·七年级课时练习）如图，直线相交于点是内部的一条射线．（1）写出和的邻补角；（2）写出图中所有的对顶角．【答案】（1）的邻补角为的邻补角为（2）与互为对顶角，与互为对顶角【解析】略【变式1】（2022上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）下列图中，和是对顶角的有（

）个．

A．个 B．个 C．个 D．个【答案】A【分析】根据对顶角的两边互为反向延长线对各图形分析判断后进行解答．解：根据对顶角的定义：中和不是对顶角；中和是对顶角；中和不是对顶角；中和不是对顶角；故选：．【点拨】此题考查了对顶角的定义，掌握对顶角的定义是解题的关键．【变式2】（2023下·广东中山·七年级校考阶段练习）如图，直线相交于点．的对顶角是，的邻补角是．【答案】或【分析】根据对顶角定义，结合图形可知的对顶角是；根据邻补角定义，结合图形可知的邻补角是或，从而得到答案．解：由图可知，的对顶角是；的邻补角是或，故答案为：；或．【点拨】本题考查对顶角定义及邻补角定义，熟记对顶角与邻补角定义，结合图形求解是解决问题的关键．【考点2】利用对顶角性质和邻补角互补求值；【例2】（2023上·黑龙江绥化·七年级校考阶段练习）如图，直线、相交于点O，，射线将分成两个角，且．（1）求的度数；（2）若平分，则是的平分线吗？判断并说明理由．【答案】（1）；（2）OB是的平分线，理由见分析【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，角平分线的定义：（1）由对顶角相等可得，再根据即可求解；（2）由邻补角的性质求得，再由角平分线的性质求得，即可得出结论．（1）解：，，，，；（2）解：是．理由如下：，，平分，，，，，，是的平分线．【变式1】（2023上·广东珠海·八年级珠海市第九中学校考期中）如图，直线，相交于点，平分，若，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根据对顶角相等和角平分线的概念得到，然后根据平角的概念求解即可．解：∵∴∵平分，∴∴．故选：D．【点拨】此题考查了对顶角相等，角平分线的概念，平角的概念，解题的关键是熟练掌握以上知识点．【变式2】（2023下·七年级课时练习）如图，已知，则图中与相等的角（不含）共有个．【答案】3【解析】略【考点3】垂直定义的理解；【例3】（2023下·七年级课时练习）如图，直线AB，CD相交于点O，．（1）若，判断ON与CD的位置关系．请将下面的解题过程补充完整，在括号内填写理由．解：ON______CD．理由如下：因为，所以______°．所以______．又因为，所以______（等量代换），即．所以__________（__________）．（2）若，求的度数．【答案】（1）⊥，90，，，，垂直的定义（2）解：（1）⊥

90

垂直的定义（2）因为，所以．因为，所以．所以．所以．所以．所以．【变式1】（2024下·全国·七年级假期作业）如图，直线AB，CD相交于点O．已知于点O，OF平分∠BOC．若，则∠AOD的度数是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】略【变式2】（2023上·吉林松原·七年级校联考期末）如图，直线、相交于点O，射线平分，．若，则的度数为．【答案】/55度【分析】本题考查了图形中角的计算，涉及到角平分线的定义、垂直的定义，根据角平分线与垂直的概念结合图形中角之间的关系即可求解．解：∵，射线平分，∴，∵，∴，故答案为：．【考点4】作图（画垂线）；【例4】（2021下·上海静安·七年级上海市市北初级中学校考期中）如图所示，是钝角.（不写作图过程，保留作图痕迹）

（1）画出点A到的垂线段.（2）过点C画的垂线.【答案】（1）见分析；（2）见分析；【分析】（1）根据题意画出点A到的垂线段即可；（2）根据题意过点C画的垂线即可．解：（1）如图，线段即为点A到的垂线段，（2）如图，线段即为所作的垂线，

【点拨】本题考查作图基本作图，解题的关键是理解垂线段的概念及作法．【变式1】（2023下·福建厦门·七年级统考期末）如图，已知直线，点在直线上，用三角尺过点画直线的垂线．下列选项中，三角尺摆放位置正确的是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根据直角三角板画垂线的步骤：一利用直角三角板的一直角边贴在已知直线上，二移动三角板另一直角边到已知点，三过已知点画垂线，四画出垂直符号对每一项判断即可．解：∵三角尺过点画直线的垂线：一、利用直角三角板的一直角边贴在已知直线上，二、移动三角板另一直角边到已知点，三、过已知点画垂线，四、画垂直符合，∴项符合题意，不符合题意；故选．【点拨】本题考查了利用直角三角板画垂线的步骤：一利用直角三角板的一直角边贴在已知直线上，二移动三角板另一直角边到已知点，三过已知点画垂线，四画出垂直符号，熟记直角三角板画垂线的步骤是解题的关键．【变式2】（2018下·七年级课时练习）如图，一束光线以入射角为50°的角度射向斜放在地面AB上的平面镜CD，经平面镜反射后与水平面成30°的角，则CD与地面AB所成的角∠CDA的度数是．【答案】70°解：过点E作EM⊥CD于E．根据题意得：∠1=∠2=50°，∠END=30°，∴∠DEN=40°，∴∠CDA=∠DEN+∠END=30°+40°=70°．故答案为70°．【点拨】本题借助物理里的反射光线考查了三角形外角定理．属于学科交叉知识，题目难度不大，注意数形结合思想的应用．【考点5】点到直线的距离的判定与求值【例5】（2023下·上海·七年级专题练习）如图，已知于，于，，，，，．则：（1）点到直线的距离为_________；（2）点到直线的距离为_________；（3）点到直线的距离为_________；（4）点到直线的距离为_________；（5）点到直线的距离为_________．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）【分析】（1）根据点到直线的距离，可得点到直线的距离为线段的长；（2）根据点到直线的距离，可得点到直线的距离为线段的长；（3）根据点到直线的距离，可得点到直线的距离为线段的长；（4）根据点到直线的距离，可得点到直线的距离为线段的长；（5）根据点到直线的距离，可得点到直线的距离为线段的长．（1）解：∵，∴点到直线的距离为线段的长，；故答案为：．（2）解：∵，∴点到直线的距离为线段的长，；故答案为：．（3）解：∵，∴点到直线的距离为线段的长，；故答案为：．（4）解：∵，∴点到直线的距离为线段的长，；故答案为：．（5）解：∵，∴点到直线的距离为线段的长，．故答案为：．【点拨】此题考查点到直线的距离的定义，两点间的距离的定义，解题关键在于掌握其定义.【变式1】（2023下·河北石家庄·七年级统考期中）如图，点在直线上，点，分别在直线上，于点，于点，，，则下列说法正确的是（

）

A．点到直线的距离等于 B．点到直线的距离等于C．点到直线的距离等于 D．点到直线的距离等于【答案】D【分析】根据点到直线的距离求解即可．解：于点，于点，，，点到直线的距离等于，点到直线的距离等于，故选：D．【点拨】本题考查了点到直线的距离，利用点到直线的距离定义是解题关键．【变式2】（2021下·广东东莞·七年级校考阶段练习）在中，、过作，垂足为，已知，，，点到的距离为，这个长度是．

【答案】线段的长度12【分析】根据点到直线的距离为过该点到直线的垂线段的距离，进行判断计算即可．解：∵，∴点到的距离为线段的长度，∵，∴这个长度是；故答案为：线段的长度，12．【点拨】本题考查点到直线的距离．熟练掌握点到直线的距离为点到直线的垂线段的长度，是解题的关键．【考点6】求最值（垂线段最短）【例6】（2022下·北京·七年级校考期中）如图，已知点P在∠AOC的边OA上，（1）过点P画OA的垂线交OC于点B；（2）画点P到OB的垂线段PM；（3）测量P点到OB边的距离：_______cm；（4）∠AOC与∠BPM之间的数量关系为_______________，理由为__________________________．【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）1.5；（4）相等，等角的余角相等【分析】（1）根据垂线的定义画出图形即可；（2）根据垂线段的定义画出图形即可；（3）利用测量法解决问题即可；（4）根据垂直的定义及等角的余角相等即可求解．解：（1）如图，直线PB即为所求作；（2）如图，线段PM即为所求作；（3）P点到OB边的距离为PM的长度，通过测量可得PM约为1.5cm长，故答案为：1.5；（4），，，，∠AOC=∠BPM，故答案为：相等，等角的余角相等．【点拨】本题考查作图一基本作图，垂线，垂线段及点到直线的距离，等角的余角相等，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．【变式1】（2023下·湖北省直辖县级单位·七年级校考阶段练习）直角三角形中，，，，，则点到直线上各点的所有线段中，最短的线段长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据垂线段最短解决此题．解：如图，过点B作于点D．∵，∴．∴根据垂线段最短，点B到直线上各点的所有线段中，最短的线段长为．故选：C．【点拨】本题主要考查垂线段最短，熟练掌握垂线段最短是解决本题的关键．【变