2025届陕西省西安市远东一中高二上数学期末质量跟踪监视模拟试题含解析

2025届陕西省西安市远东一中高二上数学期末质量跟踪监视模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数在点处的切线方程的斜率是（）A. B.C. D.2．设等差数列的公差为d，且，则（）A.12 B.4C.6 D.83．如图，在正方体中，点E是上底面的中心，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B.C. D.4．彬塔，又称开元寺塔、彬县塔，民间称“雷峰塔”，位于陕西省彬县城内西南紫薇山下.某同学为测量彬塔的高度，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为60°，则塔高（）A.30m B.C. D.5．某口罩生产商为了检验产品质量，从总体编号为001，002，003，…，499，500的500盒口罩中，利用下面的随机数表选取10个样本进行抽检，选取方法是从下面的随机数表第1行第5列的数字开始由左向右读取，则选出的第3个样本的编号为（）160011661490844511657388059052274114862298122208075274958035696832506128473975345862A.148 B.116C.222 D.3256．已知，,2成等差数列，则在平面直角坐标系中，点M(x，y)的轨迹为()A. B.C. D.7．正方体的棱长为2，E，F，G分别为，AB，的中点，则直线ED与FG所成角的余弦值为（）A. B.C. D.8．在四棱锥中，底面是正方形，为的中点，若，则（）A B.C. D.9．函数区间上有（）A.极大值为27，极小值为-5 B.无极大值，极小值为-5C.极大值为27，无极小值 D.无极大值，无极小值10．某城市2017年的空气质量状况如下表所示：污染指数3060100110130140概率其中污染指数时，空气质量为优；时，空气质量为良；时，空气质量为轻微污染，该城市2017年空气质量达到良或优的概率为（）A. B.C. D.11．已知椭圆：的左、右焦点为，，上顶点为P，则（）A.为锐角三角形 B.为钝角三角形C.为直角三角形 D.，，三点构不成三角形12．函数的图象如图所示，则下列大小关系正确的是（）A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知直线与双曲线交于两点，则该双曲线的离心率的取值范围是______14．已知数列是等差数列，，公差，为其前n项和，满足，则当取得最大值时，______15．射击队某选手命中环数的概率如下表所示：命中环数10987概率0.320.280.180.120.1该选手射击两次，两次命中环数相互独立，则他至少命中一次9环或10环的概率为_________________.(结果用小数表示)16．__________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）若，分别为椭圆的上，下顶点，过点且斜率为的直线交椭圆于另一点（异于椭圆的右顶点），交轴于点，直线与直线相交于点.求证：直线的斜率为定值.18．（12分）在等差数列中，（1）求数列的通项公式；（2）设数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和.19．（12分）已知数列{}的首项＝2，(n≥2，)，，.（1）证明：{+1}为等比数列；（2）设数列{}的前n项和，求证：.20．（12分）已知数列中，.（1）证明是等比数列，并求通项公式；（2）设，记数列的前n项和为，求使恒成立的最小的整数k.21．（12分）已知函数.（1）求函数的极值；（2）是否存在实数，，，对任意的正数，都有成立？若存在，求出，，的所有值；若不存在，请说明理由.22．（10分）平面直角坐标系xOy中，点，，点M满足.记M的轨迹为C.（1）说明C是什么曲线，并求C的方程；（2）已知经过的直线l与C交于A，B两点，若，求.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】求解导函数，再由导数的几何意义得切线的斜率.【详解】求导得，由导数的几何意义得，所以函数在处切线的斜率为.故选：D2、B【解析】利用等差数列的通项公式的基本量计算求出公差.【详解】，所以.故选：B3、B【解析】建立空间直角坐标系，利用向量夹角求解.【详解】以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系如图所示，设正方体棱长为2，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：B4、D【解析】在△中有，再应用正弦定理求，再在△中，即可求塔高.【详解】由题设知：，又，△中，可得，在△中，，则.故选：D5、A【解析】按随机数表法逐个读取数字即可得到答案.【详解】根据随机数表法读取的数字分别为：116，614（舍），908（舍），445，116（舍），573（舍），880（舍），590（舍），522（舍），741（舍），148，故选出的第3个样本的编号为148.故选：A.6、A【解析】已知，,2成等差数列,得到，化简得到【详解】已知，,2成等差数列,得到，化简得到可知是焦点在x轴上的抛物线的一支.故答案为A.【点睛】这个题目考查的是对数的运算以及化简公式的应用，也涉及到了轨迹的问题，求点的轨迹，通常是求谁设谁，再根据题干将等量关系转化为代数关系，从而列出方程，化简即可.7、B【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量坐标运算即可求解.【详解】如图所示建立适当空间直角坐标系，故选：B8、C【解析】由为的中点，根据向量的运算法则，可得，即可求解.【详解】由底面是正方形，E为的中点，且，根据向量的运算法则，可得.故选：C.9、B【解析】求出得出的单调区间，从而可得答案.【详解】当时，，单调递减.当时，，单调递增.所以当时，取得极小值，极小值为，无极大值.故选：B10、A【解析】根据互斥事件的和的概率公式求解即可.【详解】由表知空气质量为优的概率是，由互斥事件的和的概率公式知，空气质量为良的概率为，所以该城市2017年空气质量达到良或优的概率，故选：A【点睛】本题主要考查了互斥事件，互斥事件和的概率公式，属于中档题.11、A【解析】根据题意求得，要判断的形状，只需要看是什么角即可，利用余弦定理判断，从而可得结论.【详解】解：由椭圆：，得，则，则，所以且为锐角，因为，所以锐角，所以为锐角三角形.故选：A.12、C【解析】根据导数的几何意义可得答案.【详解】因为函数在某点处的导数值表示的是此点处切线的斜率，所以由图可得，故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】分析可知，由可求得结果.【详解】双曲线的渐近线方程为，由题意可知，.故答案为：.14、9或10【解析】等差数列通项公式的使用.【详解】数列是等差数列，且，得，得，则有，又因为，公差，所以或10时，取得最大值故答案为：9或1015、84【解析】先求出该选手射击两次，两次命中的环数都低于9环的概率，由对立事件的概率可得答案.【详解】该选手射击一次，命中的环数低于9环的概率为该选手射击两次，两次命中的环数都低于9环的概率为所以他至少命中一次9环或10环的概率为故答案：0.8416、【解析】先由题得到，再整体代入化简即得解.【详解】因为，所以，则故答案为【点睛】本题主要考查差角的正切公式，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）根据条件求出，即可写出椭圆方程；（2）设直线的方程为，联立直线与椭圆，可表示出坐标，继而得出直线的方程，令可得的坐标，即可求出直线的斜率并得出定值.【详解】（1）设椭圆的焦距为，则①，②，又③，由①②③解得，，，所以椭圆的标准方程为.（2）证明：易得，，直线的方程为，因为直线不过点，所以，由，得，所以，从而，，直线的斜率为，故直线的方程为.令，得，直线斜率.所以直线的斜率为定值.【点睛】本题考查椭圆的方程的求法，考查椭圆中的定值问题，属于中档题.18、（1）（2）【解析】（1）根据等差数列条件列方程，即可求通项公式；（2）先由等比数列通项公式求出，解得，分组求和即可.【小问1详解】设等差数列的公差为，则，∴，由，∴，∴数列的通项公式为.【小问2详解】∵数列是首项为1，公比为2的等比数列，∴，即，∴，∴.19、（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】(1)利用已知条件证明为常数即可；(2)求出和通项公式，再求出通项公式，利用裂项相消法可求，判断的单调性即可求其范围.【小问1详解】∵＝2，(n≥2，)，∴当n≥2时，(常数)，∴数列{＋1}是公比为3的等比数列；【小问2详解】由(1)知，数列{＋1}是以3为首项，以3为公比的等比数列，∴，∴，∴∵，∴∴，∴∴.当n≥2时，∴{}为递增数列，故的最小值为，∴.20、（1）证明见解析，（2）4【解析】（1）由，得到，利用等比数列的定义求解；（2）由（1）得到，然后利用错位相减法求解.【小问1详解】证明：由，得，∴，∴数列是以3为公比，以为首项的等比数列，∴，即.【小问2详解】由题意得.，两式相减得：，因为，所以，所以使恒成立的最小的整数k为4.21、（1）极小值为：，无极大值（2），，【解析】（1）先求导求单调性，再判断极值点求极值即可；（2）易知，只需要为函数和的公切线即可，求出公切线，代入后分别证明和成立即可.【小问1详解】由题意知：，令，解得，令，解得，所以函数在单调递增，在单调递减，所以为函数的极小值点，即极小值为：，无极大值.【小问2详解】设，易知，所以点是和的公共点，要使成立，只需要为函数和的公切线即可，由（1）知，，所以在点处的切线为：，同理可得在点处的切线为：，由题意知为同一条直线，所以解得，即等价于；下面证明这个式子成立：首先证明等价于，设，所以，恒成立，所以单调递增，易知，所以当时，，当时，，所以在单调递减，在单调递增，所以，故不等式成立，即成立；再证明：等价于，设，所以，所以当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减，所以，故不等式成立，即成立；综上所述，存在，，使得成立.故：，，.【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧