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文档简介
河北省五个一名校联盟”2025届高二上数学期末学业水平测试试题注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.双曲线与椭圆的焦点相同,则等于()A.1 B.C.1或 D.22.设抛物线上一点到轴的距离是4,则点到该抛物线焦点的距离是()A.6 B.8C.9 D.103.直线与圆的位置关系是()A.相切 B.相交C.相离 D.不确定4.已知抛物线,为坐标原点,以为圆心的圆交抛物线于、两点,交准线于、两点,若,,则抛物线方程为()A. B.C. D.5.函数的导函数为,对任意,都有成立,若,则满足不等式的的取值范围是()A. B.C. D.6.若直线的斜率为,则的倾斜角为()A. B.C. D.7.下列导数运算正确的是()A. B.C. D.8.若点是函数图象上的动点(其中的自然对数的底数),则到直线的距离最小值为()A. B.C. D.9.若,则下列不等式不能成立是()A. B.C. D.10.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见首日行里数,请公仔细算相还.”其大意为:有一个人走里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,恰好走了天到达目的地,则该人第一天走的路程为()A.里 B.里C.里 D.里11.如图,双曲线,是圆的一条直径,若双曲线过,两点,且离心率为,则直线的方程为()A. B.C. D.12.“直线的斜率不大于0”是“直线的倾斜角为钝角”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知函数,有且只有一个零点,则实数的取值范围是_______.14.已知数列满足,则的最小值为__________.的前20项和为________15.圆锥曲线的焦点在轴上,离心率为,则实数的值是__________.16.如图,设正方形ABCD与正方形ABEF的边长都为1,若平面ABCD,则异面直线AC与BF所成角的大小为______三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知等差数列中,,前5项的和为,数列满足,(1)求数列,的通项公式;(2)记,求数列的前n项和18.(12分)如图,OP为圆锥的高,AB为底面圆O的直径,C为圆O上一点,并且,E为劣弧上的一点,且,.(1)若E为劣弧的中点,求证:平面POE;(2)若E为劣弧的三等分点(靠近点),求平面PEO与平面PEB的夹角的余弦值.19.(12分)直线:和:(1)若两直线垂直,求m的值;(2)若两直线平行,求平行线间的距离20.(12分)我们知道,装同样体积的液体容器中,如果容器的高度一样,那么侧面所需的材料就以圆柱形的容器最省.所以汽油桶等装液体的容器大都是圆柱形的,某卧式油罐如图1所示,它垂直于轴的截面如图2所示,已知截面圆的半径是1米,弧的长为米表示劣弧与弦所围成阴影部分的面积.(1)请写出函数表达式;(2)用求导的方法证明.21.(12分)如图,在长方体中,,.点E在上,且(1)求证:平面;(2)求二面角的余弦值22.(10分)设A,B为曲线C:y=上两点,A与B的横坐标之和为4(1)求直线AB的斜率;(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据双曲线方程形式确定焦点位置,再根据半焦距关系列式求参数.【详解】因为双曲线的焦点在轴上,所以椭圆焦点在轴上,依题意得解得.故选:A2、A【解析】计算抛物线的准线,根据距离结合抛物线的定义得到答案.【详解】抛物线的焦点为,准线方程为,到轴的距离是4,故到准线的距离是,故点到该抛物线焦点的距离是.故选:A.3、B【解析】直线恒过定点,而此点在圆的内部,故可得直线与圆的位置关系.【详解】直线恒过定点,而,故点在圆的内部,故直线与圆的位置关系为相交,故选:B.4、C【解析】设圆的半径为,根据已知条件可得出关于的方程,求出正数的值,即可得出抛物线的方程.【详解】设圆的半径为,抛物线的准线方程为,由勾股定理可得,因为,将代入抛物线方程得,可得,不妨设点,则,所以,,解得,因此,抛物线的方程为.故选:C.5、C【解析】构造函数,利用导数分析函数的单调性,将所求不等式变形为,结合函数的单调性即可得解.【详解】对任意,都有成立,即令,则,所以函数上单调递增不等式即,即因为,所以所以,,解得,所以不等式的解集为故选:C.6、C【解析】设直线l倾斜角为,根据题意得到,即可求解.【详解】设直线l的倾斜角为,因为直线的斜率是,可得,又因为,所以,即直线的倾斜角为.故选:C.7、B【解析】利用基本初等函数的导数和复合函数的导数,依次分析即得解【详解】选项A,,错误;选项B,,正确;选项C,,错误;选项D,,错误故选:B8、A【解析】设,,设与平行且与相切的直线与切于,由导数的几何意义可求出点的坐标,则到直线的距离最小值为点到直线的距离,再求解即可.【详解】解:设,,设与平行且与相切的直线与切于所以所以则到直线的距离为,即到直线的距离最小值为,故选:A9、C【解析】利用不等式的性质可判断ABD,利用赋值法即可判断C,如.【详解】解:因为,所以,所以,,,故ABD正确;对于C,若,则,故C错误.故选:C.10、C【解析】建立等比数列的模型,由等比数列的前项和公式求解【详解】记第天走的路程为里,则是等比数列,,,故选:C11、D【解析】由离心率求得,设出两点坐标代入双曲线方程相减求得直线斜率与的关系得结论【详解】由题意,则,即,由圆方程知,设,,则,,又,两式相减得,所以,直线方程为,即故选:D12、B【解析】直线倾斜角的范围是[0°,180°),直线斜率为倾斜角(不为90°)的正切值,据此即可判断求解.【详解】直线的斜率不大于0,则直线l斜率可能等于零,此时直线倾斜角为0°,不为钝角,故“直线的斜率不大于0”不是“直线的倾斜角为钝角”充分条件;直线的倾斜角为钝角时,直线的斜率为负,满足直线的斜率不大于0,即“直线的倾斜角为钝角”是“直线的斜率不大于0”的充分条件,“直线的斜率不大于0”是“直线的倾斜角为钝角”的必要条件;综上,“直线的斜率不大于0”是“直线的倾斜角为钝角”的必要不充分条件.故选:B.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】由题知方程,,有且只有一个零点,进而构造函数,利用导数研究函数单调性与函数值得变化情况,作出函数的大致图像,数形结合求解即可.【详解】解:因为函数,,有且只有一个零点,所以方程,,有且只有一个零点,令,则,,令,则所以为上的单调递减函数,因为,所以当时,;当时,;所以当时,;当时,,所以在上单调递增,在上单调递减,因为当趋近于时,趋近于,当趋近于时,趋近于,且,时,,故的图像大致如图所示,所以方程,,有且只有一个零点等价于或.所以实数的取值范围是故答案为:14、①②.【解析】由题设可得,应用累加法求的通项公式,由基本不等式及确定的最小值,再应用裂项求和法求的前20和.【详解】由题设,,∴,…,,又,∴将上式累加可得:,则,∴,当且仅当时等号成立,又,故最小,则或5,当时,;当时,;∴的最小值为.由上知:,∴前20项和为.故答案为:8,.15、【解析】根据圆锥曲线焦点在轴上且离心率小于1,确定a,b求解即可.【详解】因为圆锥曲线的焦点在轴上,离心率为,所以曲线为椭圆,且,所以,解得,故答案为:16、##【解析】建立空间直角坐标系,利用空间向量法求出异面直线所成角;【详解】解:如图建立空间直角坐标系,则、、、,所以,,设直线与所成角为,则,因为,所以;故答案为:三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1),;(2).【解析】(1)利用等差数列求和公式可得,进而可得,再利用累加法可求,即得;(2)由题可得,然后利用分组求和法即得.【小问1详解】设公差为d,由题设可得,解得,所以;当时,,∴,当时,(满足上述的),所以【小问2详解】∵当时,当时,综上所述:18、(1)证明见解析(2)【解析】(1)推导出平面,,,由此能证明平面(2)推导出,,以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角的余弦值【小问1详解】证明:为圆锥的高,平面,又平面,,为劣弧的中点,,,平面,平面【小问2详解】解:解:为劣弧的三等分点(靠近点,为底面圆的直径,为圆上一点,并且,,以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,,0,,,0,,,,,,0,,,3,,0,,,,,,,,,3,设平面的法向量,,,则,取,得,,,设平面的法向量,,,则,取,得,1,,设二面角的平面角为,则,二面角的余弦值为19、(1);(2)【解析】(1)由直线一般方程的垂直公式,即得解;(2)由直线一般方程的平行公式,求得,再由平行线的距离公式,即得解.【小问1详解】∵两直线垂直,∴,解得【小问2详解】∵两直线平行,∴,解得或1,经过验证时两条直线重合,舍去.∴可得:直线:,:∴两直线间的距离20、(1),(2)证明见解析【解析】(1)由弧长公式得,根据即可求解;(2)利用导数判断出在上单调递增,即可证明.【小问1详解】由弧长公式得,于是,【小问2详解】cos,显然在上单调递增,于是.21、(1)证明见解析(2)【解析】(1)建立空间直角坐标系,分别写出,,的坐标,证明,,即可得证;(2)由(1)知,的法向量为,直接写出平面法向量,按照公式求解即可.【小问1详解】在长方体中,以为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立如图所示空间直角坐标系因为,,所以,,,,,则,,,所以有,,则,,又所以平面小问2详解】由(1)知平面的法向量为,而平面法向量为所以,由图知二面角为锐二面角,所以二面角的余弦值为22、(1)1;(2)y=x+7【解析】(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的斜率k==,代入即可求得斜率;(2)由(1)中直线AB的斜率,根据导数的几何意义求得M点坐标,设直线AB的方程为y=x+m,与抛物线联立,求得根,结合弦长公式求得AB,由知,|AB|=2|MN|,从而求得参数m.【详解】解:(1)设A(x1,y1
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