广西南宁市马山县金伦中学、武鸣县华侨中学等四校2025届高二上数学期末质量检测试题含解析

广西南宁市马山县金伦中学、武鸣县华侨中学等四校2025届高二上数学期末质量检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数的部分图象与轴交于点，与轴的一个交点为，如图所示，则下列说法错误的是（）A. B.的最小正周期为6C.图象关于直线对称 D.在上单调递减2．在等比数列中，，，则等于（）A.90 B.30C.70 D.403．德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分概念．在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设是函数f（x）的导函数，若，对，且．总有，则下列选项正确的是（）A. B.C. D.4．已知点分别为圆与圆的任意一点，则的取值范围是（）A. B.C. D.5．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论正确的是()A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则6．设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则的值为（）A.-5 B.-3C.1 D.77．已知向量，，且，则实数等于（）A.1 B.2C. D.8．若函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.9．四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若，则等于（）A.1 B.C. D.210．命题，，则是（）A.， B.，C.， D.，11．若a>b，c>d，则下列不等式中一定正确的是（）A. B.C. D.12．若命题为“，”，则为（）A.， B.，C.， D.，二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数在点处的切线为直线l，则l与坐标轴围成的三角形面积为___________.14．基础建设对社会经济效益产生巨大的作用．某市投入亿元进行基础建设，年后产生亿元社会经济效益．若该市投资基础建设4年后产生的社会经济效益是投资额的2倍，则再过______年．该项投资产生的社会经济效益是投资额的8倍15．已知点在圆C：（）内，过点M的直线被圆C截得的弦长最小值为8，则______16．在正方体中，则直线与平面所成角的正弦值为__________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆C：，右焦点为F(，0)，且离心率为（1）求椭圆C的标准方程；（2）设M，N是椭圆C上不同的两点，且直线MN与圆O：相切，若T为弦MN的中点，求|OT||MN|的取值范围18．（12分）（1）证明：；（2）已知：，，且，求证：.19．（12分）已知圆，直线（1）求证：直线与圆恒有两个交点；（2）设直线与圆的两个交点为、，求的取值范围20．（12分）在平面直角坐标系中，已知点，，过点的动直线与过点的动直线的交点为P，，的斜率均存在且乘积为，设动点Р的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程;（2）若点M在曲线C上，过点M且垂直于OM的直线交C于另一点N，点M关于原点O的对称点为Q.直线NQ交x轴于点T，求的最大值.21．（12分）已知函数（1）填写函数的相关性质；定义域值域零点极值点单调性性质（2）通过（1）绘制出函数的图像，并讨论方程解的个数22．（10分）某品牌餐饮公司准备在10个规模相当的地区开设加盟店，为合理安排各地区加盟店的个数，先在其中5个地区试点，得到试点地区加盟店个数分别为1，2，3，4，5时，单店日平均营业额（万元）的数据如下：加盟店个数（个）12345单店日平均营业额（万元）10.910.297.871（参考数据及公式：，，线性回归方程，其中，.）（1）求单店日平均营业额（万元）与所在地区加盟店个数（个）的线性回归方程；（2）根据试点调研结果，为保证规模和效益，在其他5个地区，该公司要求同一地区所有加盟店的日平均营业额预计值总和不低于35万元，求一个地区开设加盟店个数的所有可能取值；（3）小赵与小王都准备加入该公司的加盟店，根据公司规定，他们只能分别从其他五个地区（加盟店都不少于2个）中随机选一个地区加入，求他们选取的地区相同的概率.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据函数的图象求出，再利用函数的性质结合周期公式逆推即可求解.【详解】因为函数的图象与轴交于点，所以，又，所以，A正确；因为的图象与轴的一个交点为，即，所以，又，解得，所以，所以，求得最小正周期为，B正确；，所以是的一条对称轴，C正确；令，解得，所以函数在，上单调递减，D错误故选：D.2、D【解析】根据等比数列的通项公式即可求出答案.【详解】设该等比数列的公比为q，则，则.故选：D3、C【解析】由，得在上单调递增，并且由的图象是向上凸，进而判断选项.【详解】由，得在上单调递增，因为，所以，故A不正确；对，，且，总有，可得函数的图象是向上凸，可用如图的图象来表示，由表示函数图象上各点处的切线的斜率，由函数图象可知，随着的增大，的图象越来越平缓，即切线的斜率越来越小，所以，故B不正确；，表示点与点连线的斜率，由图可知，所以C正确，同理，由图可知，故D不正确.故选：C4、B【解析】先判定两圆的位置关系为相离的关系，然后利用几何方法得到的取值范围.【详解】的圆心为,半径，的圆心为,半径，圆心距，∴两圆相离，∴，故选：B.5、D【解析】根据空间里面直线与平面、平面与平面位置关系的相关定理逐项判断即可.【详解】A，若，则或异面，故该选项错误；B，若，则或相交，故该选项错误；C，若，则α，β不一定垂直，故该选项错误；D，若，则利用面面垂直的性质可得，故该选项正确.故选：D.6、C【解析】根据，可知向量建立方程求解即可.【详解】由题意根据，可知向量，则有，解得.故选：C7、C【解析】利用空间向量垂直的坐标表示计算即可得解【详解】因向量，，且，则，解得，所以实数等于.故选：C8、B【解析】函数既有极大值又有极小值转化为导函数在定义域上有两个不同的零点.【详解】因为既有极大值又有极小值，且，所以有两个不等的正实数解，所以，且，解得，且.故选:B.9、B【解析】运用向量的线性运用表示向量，对照系数，求得，代入可得选项.【详解】因为，所以，所以，所以，解得，所以，故选：B.10、D【解析】根据特称命题的否定为全称命题，即可得到答案.【详解】因为命题，，所以，.故选：D11、B【解析】根据不等式的性质及反例判断各个选项.【详解】因为c>d，所以，所以，所以B正确；时，不满足选项A；时，，且，所以不满足选项CD；故选：B12、B【解析】特称命题的否定是全称命题，把存在改为任意，把结论否定.【详解】“，”的否命题为“，”，故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】先求出切线方程，分别得到直线与x、y轴交点，即可求出三角形的面积.【详解】由函数可得：函数，所以，.所以切线l：，即.令，得到；令，得到；所以l与坐标轴围成的三角形面积为.故答案为：.14、8【解析】由4年后产生的社会经济效益是投资额的2倍，代入已知函数式求得参数，再求得社会经济效益是投资额的8倍时的时间，即为所求结论【详解】由条件得，∴，即．设投资年后，产生的社会经济效益是投资额的8倍，则有，解得，所以再过年，该项投资产生社会经济效益是投资额的8倍故答案为：815、【解析】根据点与圆的位置关系，可求得r的取值范围，再利用过圆内一点最短的弦，结合弦长公式可得到关于r的方程，求解即可.【详解】由点在圆C：内，且所以，又，解得过圆内一点最短的弦，应垂直于该定点与圆心的连线，即圆心到直线的距离为又，所以，解得故答案为：16、【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为1，所以，，，，因此，，，设平面的法向量为：，所以有：，令，所以，因此，设与的夹角为，直线与平面所成角为，所以有，故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）[，3].【解析】（1）由题可得，即求；（2）当直线的斜率不存在或为0，易求，当直线MN斜率存在且不为0时，设直线MN的方程为：，利用直线与圆相切可得，再联立椭圆方程并应用韦达定理求得，然后利用基本不等式即得.【小问1详解】由题可得，∴𝑎=2，𝑏=∴椭圆C的方程为：；小问2详解】当直线MN斜率为0时，不妨取直线MN为𝑦=，则，此时，则；当直线MN斜率不存在，不妨取直线MN为x=，则，此时，则；当直线MN斜率存在且不为0时，设直线MN的方程为：，，因为直线MN与圆相切，所以，即，又因为直线MN与椭圆C交于M，N两点：由，得，则，所以MN中点T坐标为，则，，所以又，当且仅当，即取等号，∴|OT||MN|；综上所述：|OT|∙|MN|的取值范围为[，3].18、（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）利用分析法证明即可；（2）将与相乘，展开后利用基本不等式可证明所证不等式成立.【详解】（1）要证成立，即证，即证，即证，而显然成立，故成立；（2）已知，，且，则，当且仅当时，等号成立，故.19、（1）证明见解析（2）【解析】（1）根据直线的方程可得直线经过定点，而点到圆心的距离小于半径，故点在圆的内部，由此即可证明结果（2）由圆的性质可知，当过圆心时，取最大值，当和过的直径垂直时，取最小值，由此即可求出结果.【小问1详解】证明：由于直线，即令，解得，所以恒过点，所以，所以点在圆内，所以直线与圆恒有两个交点；【小问2详解】解：当过圆心时，取最大值，即圆的直径，由圆的半径，所以的最大值为；当和过的直径垂直时，取最小值，此时圆心到的距离，所以，故的最小值为综上，的取值范围.20、（1）（2）【解析】（1）设点坐标为，根据两直线的斜率之积为得到方程，整理即可；（2）设，，，根据设、在椭圆上，则，再由，则，即可表示出直线、的方程，联立两直线方程，即可得到点的纵坐标，再根据弦长公式得到，令，则，最后利用基本不等式计算可得；【小问1详解】解：设点坐标为，定点，，直线与直线的斜率之积为，，【小问2详解】解：设，，，则，，所以又，所以，又即，则直线：，直线：，由，解得，即，所以令，则，所以因为，当且仅当即时取等号，所以的最大值为；21、（1）详见解析（2）详见解析【解析】（1）利用导数判断函数的性质；（2）由函数性质绘制函数的图象，并将方程转化为，即转化为与的交点个数.【小问1详解】函数的定义域是，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以当时，函数取得极大值，同时也是函数的最大值，，当时，，当时，，函数的值域是，，得，所以函数的零点是，定义域值域零点极值点单调性性质单调递增区间，单调递减区间【小问2详解】函数的图象如图，，即，方程解的个数，即与的交点个数，当时，无交点，即方程无实数根；当或时，有一个交点，即方程有一个实数根；当时，有两个交点，即方程有两个实数根.22、（1）；（2）5，6，7；（3）.【解析】（1）先求得，，进而得到b，a求解；（2）根据题意，由