山西省临汾市襄汾中学2025届数学高二上期末检测试题含解析

山西省临汾市襄汾中学2025届数学高二上期末检测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上两人与下三人等，问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊所得之和相同，且是甲、乙、丙、丁、戊所得以此为等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代一种重量单位），这个问题中戊所得为（）A.钱 B.钱C.钱 D.钱2．已知点，点在抛物线上，过点的直线与直线垂直相交于点，，则的值为（）A. B.C. D.3．在中，，满足条件的三角形的个数为（）A.0 B.1C.2 D.无数多4．已知向量，满足条件，则的值为（）A.1 B.C.2 D.5．“且”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C充要条件 D.既不充分也不必要条件6．若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于A.2 B.3C.6 D.97．如图在中，，，在内作射线与边交于点，则使得的概率是（）A. B.C. D.8．已知抛物线=的焦点为F，M、N是抛物线上两个不同的点，若，则线段MN的中点到y轴的距离为（）A.8 B.4C. D.99．直线在y轴上的截距为（）A. B.C. D.10．已知双曲线的左、右焦点分别为，半焦距为c，过点作一条渐近线的垂线，垂足为P，若的面积为，则该双曲线的离心率为（）A.3 B.2C. D.11．已知抛物线的焦点为，直线过点与抛物线相交于两点，且，则直线的斜率为（）A. B.C. D.12．如图已知正方体，点是对角线上的一点且，，则（）A.当时，平面 B.当时，平面C.当为直角三角形时， D.当的面积最小时，二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，，则的面积为_________14．某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为____________.15．执行如图所示的程序框图，则输出的S＝__.16．已知数列的前n项和为，则______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点，且（1）求抛物线的方程；（2）若，是抛物线上一点，过点的直线与抛物线交于，两点（均与点不重合），设直线，的斜率分别为，，求证：为定值18．（12分）已知双曲线（1）若，求双曲线的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；（2）若双曲线的离心率为，求实数的取值范围19．（12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，侧面PAD是正三角形，平面平面ABCD，M是PD的中点（1）证明：平面PCD；（2）若PB与底面ABCD所成角的正切值为，求二面角的正弦值20．（12分）过点作圆的两条切线，切点分别为A，B；（1）求直线AB的方程；（2）若M为圆上的一点，求面积的最大值21．（12分）已知复数，是实数.（1）求复数z；（2）若复数在复平面内所表示的点在第二象限，求实数m的取值范围.22．（10分）某中学共有名学生，其中高一年级有名学生，为了解学生的睡眠情况，用分层抽样的方法，在三个年级中抽取了名学生，依据每名学生的睡眠时间（单位：小时），绘制出了如图所示的频率分布直方图.（1）求样本中高一年级学生人数及图中的值；（2）估计样本数据的中位数（保留两位小数）；（3）估计全校睡眠时间超过个小时的学生人数.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据题意将实际问题转化为等差数列的问题即可解决【详解】解：由题意，可设甲、乙、丙、丁、戊五人分得的钱分别为，，，，则，，，，成等差数列，设公差为，整理上面两个算式，得：，解得，故选：2、D【解析】由题，由于过抛物线上一点的直线与直线垂直相交于点，可得，又，故，所以的坐标为，由余弦定理可得.故选：D.考点：抛物线的定义、余弦定理【点睛】本题主要考查抛物线的定义与性质，考查学生的计算能力，属于中档题3、B【解析】利用正弦定理得到，进而或，由，得，即可求解【详解】由正弦定理得，，或，，，故满足条件的有且只有一个.故选：B4、A【解析】先求出坐标，进而根据空间向量垂直的坐标运算求得答案.【详解】因为，所以，解得.故选：A.5、A【解析】按照充分必要条件的判断方法判断，“且”能否推出“”，以及“”能否推出“且”，判断得到正确答案，【详解】当且时，成立，反过来，当时，例：，不能推出且.所以“且”是“”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，重点考查基本判断方法，属于基础题型.6、D【解析】求出导函数，利用函数在极值点处的导数值为0得到a，b满足的条件；利用基本不等式求出ab的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等解：∵f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b又因为在x=1处有极值∴a+b=6∵a＞0，b＞0∴当且仅当a=b=3时取等号所以ab的最大值等于9故选D点评：本题考查函数在极值点处的导数值为0、考查利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等7、C【解析】由题意可得，根据三角形中“大边对大角，小边对小角”的性质，将转化为求的概率，又因为，，从而可得的概率【详解】解：在中，，，所以，即，要使得，则，又因为，，则的概率是故选：C【点睛】本题考查几何概型及其计算方法的知识，属于基础题8、B【解析】过分别作垂直于准线，垂足为，则由抛物线的定义可得，再过MN的中点作垂直于准线，垂足为，然后利用梯形的中位线定理可求得结果【详解】抛物线=的焦点，准线方程为直线如图，过分别作垂直于准线，垂足为，过MN的中点作垂直于准线，垂足为，则由抛物线的定义可得，因为，所以，因为是梯形的中位线，所以，所以线段MN的中点到y轴的距离为4，故选：B9、D【解析】将代入直线方程求y值即可.【详解】令，则，得.所以直线在y轴上的截距为.故选：D10、D【解析】根据给定条件求出，再计算面积列式计算作答.【详解】依题意，点，由双曲线对称性不妨取渐近线，即，则，令坐标原点为O，中，，又点O是线段的中点，因此，，则有，即，，，所以双曲线的离心率为故选：D11、B【解析】设直线倾斜角为，由，及，可求得，当点在轴上方，又，求得，利用对称性即可得出结果.【详解】设直线倾斜角为，由，所以，由，，所以，当点在轴上方，又，所以，所以由对称性知，直线的斜率.故选：B.12、D【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一计算可得；【详解】解：由题可知，如图令正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，因为，所以，所以，，，，设平面的法向量为，则，令，则，，所以对于A：若平面，则，则，解得，故A错误；对于B：若平面，则，即，解得，故B错误；当为直角三角形时，有，即，解得或（舍去），故C错误；设到的距离为，则，当的面积最小时，，故正确故选：二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据求出，由向量数量积得到，使用余弦定理得到方程组，求出，利用面积公式求出结果.【详解】因为，所以，即，而因为是锐角三角形，所以，所以，所以，因为，所以，即，因为，所以，整理得：①，其中，即，因为，所以，即，解得：②，把②代入①得：，解得：，则的面积为.故答案为：14、160【解析】∵某个年级共有980人，要从中抽取280人，∴抽取比例为，∴此样本中男生人数为，故答案为160.考点：本题考查了分层抽样的应用点评：掌握分层抽样的概念是解决此类问题的关键，属基础题15、【解析】该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，即可求解得答案【详解】解：S＝S+＝S+，第一次循环，S＝1+1﹣，k＝2；第二次循环，S=1+1﹣，k＝3；第三次循环，S＝1+1，k＝4；第四次循环，S＝1，k＝5；第五次循环，S＝1+1，k＝6，循环停止，输出；故答案为：.16、【解析】先通过裂项相消求出，再代入计算即可.【详解】，则，故.故答案为：3.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）证明见解析【解析】(1)联立直线和抛物线方程，根据抛物线定义和焦半径公式得到，根据韦达定理可得到最终结果；（2）代入点坐标可得到参数的值，设直线的方程为，联立该直线和抛物线方程，，代入韦达定理可得到最终结果.【小问1详解】设点，，点，，联立，整理得，，由抛物线的定义知，解得，抛物线的方程为【小问2详解】，为抛物线上一点，，即，设，，，，直线的方程为，由，消去得，，，，即为定值18、（1）焦点坐标为，，顶点坐标为，，渐近线方程为；（2）.【解析】（1）根据双曲线方程确定，即可按照概念对应写出焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；（2）先求（用表示），再根据解不等式得结果.【详解】（1）当时，双曲线方程化为，所以，，，所以焦点坐标为，，顶点坐标为，，渐近线方程为.（2）因为，所以，解得，所以实数的取值范围是【点睛】本题根据双曲线方程求焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程，根据离心率求参数范围，考查基本分析求解能力，属基础题.19、（1）证明见解析（2）【解析】（1）依题意可得，再根据面面垂直的性质得到平面，即可得到，即可得证；（2）取的中点为，连接，根据面面垂直的性质得到平面，连接，即可得到为与底面所成角，令，，利用锐角三角函数的定义求出，建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值，即可得解；【小问1详解】解：证明：在正中，为的中点，∴∵平面平面，平面平面，且．∴平面，又∵平面∴．又∵，且，平面．∴平面【小问2详解】解：如图，取的中点为，连接，在正中，，平面平面，平面平面，∴平面，连接，则为与底面所成角，即．不妨取，，，，∴以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则有，，，，，，∴，设面的一个法向量为，则由令，则，又因为面，取作为面的一个法向量，设二面角为，∴，∴，因此二面角的正弦值为20、（1）（2）【解析】（1）求出以为直径的圆的方程，结合已知圆的方程，将两圆方程相减可求得两圆公共弦所在直线方程；（2）求出圆上的点M到直线AB的距离的最大值，求出，利用三角形面积公式求得答案.【小问1详解】圆的圆心坐标为，半径为1，则的中点坐标为，，以为圆心，为直径的圆的方程为，由，得①，由，得②，①②得：直线的方程为；【小问2详解】圆心到直线的距离为故圆上的点M到直线的距离的最大值为，而,故面积的最大值为.21、（1）（2）【解析】（1）先将代入化简，再由其虚部为零可求出的值，从而可求出复数，（2）先对化简，再由题意可得从而可求得结果【小问1详解】因为，所以，因为是实数，所以，解得.故.【小问2详解】因为，所以.因为复数所表示的点在第二象限，所以解得，即实数m的取值范围是.22、（1）样本中高一年级学生的人数为