2025届辽宁大连市普兰店区第二中学高二数学第一学期期末达标检测试题含解析

2025届辽宁大连市普兰店区第二中学高二数学第一学期期末达标检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．南北朝时期杰出的数学家祖冲之的儿子祖暅在数学上也有很多创造，其最著名的成就是祖暅原理：夹在两个平行平面之间的几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，现有一个圆柱体和一个长方体，它们的底面面积相等，高也相等，若长方体的底面周长为，圆柱体的体积为，根据祖暅原理，可推断圆柱体的高（）A.有最小值 B.有最大值C.有最小值 D.有最大值2．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则的形状为（）A.正三角形 B.等腰直角三角形C.直角三角形 D.等腰三角形3．函数的定义域为，，对任意，，则的解集为（）A. B.C. D.4．已知椭圆(a>b>0)的离心率为，则＝（）A. B.C. D.5．设双曲线：的左、右焦点分别为、，P为C上一点，且，，则双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.6．在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（）A.圆 B.椭圆C.抛物线 D.直线7．已知向量，，且，，，则一定共线的三点是（）A.A，B，D B.A，B，CC.B，C，D D.A，C，D8．双曲线C:的右焦点为F，过点F作双曲线C的两条渐近线的垂线，垂足分别为H1，H2.若，则双曲线C的离心率为（）A. B.C. D.29．在四棱锥中，四边形为菱形，平面，是中点，下列叙述正确的是（）A.平面 B.平面C.平面平面 D.平面平面10．已知直线和圆，则“”是“直线与圆相切”的（）.A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件11．椭圆的离心率为（）A. B.C. D.12．概率论起源于赌博问题．法国著名数学家布莱尔帕斯卡遇到两个赌徒向他提出的赌金分配问题：甲、乙两赌徒约定先赢满局者，可获得全部赌金法郎，当甲赢了局，乙赢了局，不再赌下去时，赌金如何分配？假设每局两人输赢的概率各占一半，每局输赢相互独立，那么赌金分配比较合理的是（）A.甲法郎，乙法郎 B.甲法郎，乙法郎C.甲法郎，乙法郎 D.甲法郎，乙法郎二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．椭圆的右焦点是，两点是椭圆的左顶点和上顶点，若△是直角三角形，则椭圆的离心率是________.14．已知函数，，对一切，恒成立，则实数的取值范围为________.15．在平面直角坐标系xOy中，AB是圆O：x2＋y2＝1的直径，且点A在第一象限；圆O1：(x﹣a)2＋y2＝r2(a＞0)与圆O外离，线段AO1与圆O1交于点M，线段BM与圆O交于点N，且，则a的取值范围为_______.16．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列的前n项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前n项和为，求的值18．（12分）已知直线经过点，，直线经过点，且.(1)分别求直线，的方程；(2)设直线与直线的交点为，求外接圆的方程.19．（12分）已知函数（m≥0）.（1）当m=0时，求曲线在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数的最小值为，求实数m的值.20．（12分）已知数列为等差数列，满足，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和，并求的最大值.21．（12分）在复数集C内方程有六个根分别为（1）解出这六个根；（2）在复平面内，这六个根对应的点分别为A，B，C，D，E，F；求多边形ABCDEF的面积22．（10分）“既要金山银山，又要绿水青山”.滨江风景区在一个直径为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）.在点与圆弧上的一点（不同于A，B两点）之间设计为直线段小路，在直线段小路的两侧（注意是两侧）种植绿化带；再从点到点设计为沿弧的弧形小路，在弧形小路的内侧（注意是一侧）种植绿化带（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）.（1）设(弧度)，将绿化带总长度表示为的函数；（2）试确定的值，使得绿化带总长度最大.(弧度公式：，其中为弧所对的圆心角)

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】由条件可得长方体的体积为，设长方体的底面相邻两边分别为，根据基本不等式，可求出底面面积的最大值，进而求出高的最小值，得出结论.【详解】依题意长方体的体积为，设圆柱的高为长方体的底面相邻两边分别为，，当且仅当时，等号成立，.故选:C.【点睛】本题以数学文化为背景，考查基本不等式求最值，要认真审题，理解题意，属于基础题.2、C【解析】根据三角恒等变换结合正弦定理化简求得，即可判定三角形形状.【详解】解：由题，得，即，由正弦定理可得：，所以，所以三角形中，所以，又，所以，即三角形为直角三角形.故选：C.3、B【解析】构造函数，利用导数判断出函数在上的单调性，将不等式转化为，利用函数的单调性即可求解.【详解】依题意可设，所以.所以函数在上单调递增，又因为.所以要使，即，只需要，故选B.【点睛】本题考查利用函数的单调性解不等式，解题的关键就是利用导数不等式的结构构造新函数来解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.4、D【解析】由离心率得，再由转化为【详解】因为，所以8a2＝9b2，所以故选：D.5、B【解析】根据双曲线定义结合，求得，在中，利用余弦定理求得之间的关系，即可得出答案.【详解】解：因为在双曲线中，因为，所以，所以，在中，，，由余弦定理可得，即，所以，所以，所以，所以双曲线的渐近线方程为.故选：B.6、A【解析】首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积定义求解其轨迹方程即可.【详解】设，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则：，设，可得：，从而：，结合题意可得：，整理可得：，即点C的轨迹是以AB中点为圆心，为半径的圆.故选：A.【点睛】本题主要考查平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7、A【解析】由已知，分别表示出选项对应的向量，然后利用平面向量共线定理进行判断即可完成求解.【详解】因，，，选项A，，，若A，B，D三点共线，则，即，解得，故该选项正确；选项B，，，若A，B，C三点共线，则，即，解得不存，故该选项错误；选项C，，，若B，C，D三点共线，则，即，解得不存在，故该选项错误；选项D，，，若A，C，D三点共线，则，即，解得不存在，故该选项错误；故选：A.8、D【解析】将条件转化为该双曲线的一条渐近线的倾斜角为，可得，由离心率公式即可得解.【详解】由题意，(为坐标原点)，所以该双曲线的一条渐近线的倾斜角为，所以，即，所以离心率.故选：D.9、D【解析】利用反证法可判断A选项；利用面面垂直的性质可判断BC选项；利用面面垂直的判定可判断D选项.【详解】对于A选项，因为四边形为菱形，则，平面，平面，平面，若平面，因为，则平面平面，事实上，平面与平面相交，假设不成立，A错；对于B选项，过点在平面内作，垂足为点，平面，平面，则，，，平面，而过作平面的垂线，有且只有一条，故与平面不垂直，B错；对于C选项，过点在平面内作，垂足为点，因为平面，平面，则，，，则平面，若平面平面，过点在平面内作，垂足为点，因为平面平面，平面平面，平面，平面，而过点作平面的垂线，有且只有一条，即、重合，所以，平面平面，所以，，但四边形为菱形，、不一定垂直，C错；对于D选项，因为四边形为菱形，则，平面，平面，，，平面，因为平面，因此，平面平面平面，D对.故选：D.10、B【解析】首先求出直线与圆相切时的取值，再根据充分必要条件的定义判断.【详解】若直线与圆相切，则圆心到直线的距离，则，解得，所以“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件.故选：B【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，充分必要条件，重点考查计算，理解能力，属于基础题型.11、A【解析】由椭圆标准方程求得，再计算出后可得离心率【详解】在椭圆中，，，，因此，该椭圆的离心率为.故选：A.【点睛】本题考查求椭圆的离心率，根据椭圆标准方程求出即可12、A【解析】利用独立事件计算出甲、乙各自赢得赌金的概率，由此可求得两人各分配的金额.【详解】甲赢得法郎的概率为，乙赢得法郎的概率为，因此，这法郎中分配给甲法郎，分配给乙法郎.故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由题设易知，应用斜率的两点式及椭圆参数关系可得，进而求椭圆离心率.【详解】由题设，，，，又△是直角三角形，显然，所以，可得，则，解得，又，所以.故答案为：.14、【解析】通过分离参数，得到关于x的不等式；再构造函数，通过导数求得函数的最值，进而求得a的取值范围【详解】因为，代入解析式可得分离参数a可得令（）则，令解得所以当0＜x＜1，，所以h（x）在（0，1）上单调递减当1＜x，，所以h（x）在（1，+∞）上单调递增，所以h（x）在x=1时取得极小值，也即最小值所以h（x）≥h（1）=4因为对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，所以a≤h（x）min=4所以a的取值范围为【点睛】本题综合考查了函数与导数的应用，分离参数法，利用导数求函数的最值，属于中档题15、【解析】根据判断出四边形为平行四边形，由此求得圆的方程以及的长，进而判断出点在圆上，根据圆与圆的位置关系，求得的取值范围.【详解】四边形ONO1M为平行四边形，即ON＝MO1＝r＝1，所以圆的方程为，且ON为△ABM的中位线AM＝2ON＝2AO1＝3，故点A在以O1为圆心，3为半径的圆上，该圆的方程为：，故与x2＋y2＝1在第一象限有交点，即2＜a＜4，由，解得，故a的取值范围为(，4).故答案为：【点睛】本小题主要考查圆与圆的位置关系，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.16、－.【解析】因为，所以，所以，即，又，即，所以数列是首项和公差都为的等差数列，所以，所以考点：数列的递推关系式及等差数列的通项公式【方法点晴】本题主要考查了数列的通项公式、数列的递推关系式的应用、等差数列的通项公式及其性质定知识点的综合应用，解答中得到，，确定数列是首项和公差都为的等差数列是解答的关键，着重考查了学生灵活变形能力和推理与论证能力，平时应注意方法的积累与总结，属于中档试题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】(1)根据给定的递推公式结合“当时，”探求相邻两项的关系计算作答.(2)由(1)的结论求出，再利用裂项相消法求出，即可作答.【小问1详解】依题意，，，则当时，，于是得：，即，而当时，，即有，因此，，，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，，所以数列的通项公式是.【小问2详解】由(1)知，，从而有，所以.18、（1）；（2）.【解析】（1）根据两点式即可求出直线l1的方程，根据直线垂直的关系即可求l2的方程；（2）先求出C点坐标，通过三角形的长度关系知道三角形是以AC为斜边长的直角三角形，故AC的中点即为外心，AC即为直径.解析：(1)∵直线经过点，，∴，设直线的方程为，∴，∴.(2)，即：，∴，的中点为，∴的外接圆的圆心为，半径为，∴外接圆的方程为：.点睛：这个题目考查的是已知两直线位置关系求参的问题，还考查了三角形外接圆的问题．对于三角形为外接圆，圆心就是各个边的中垂线的交点，钝角三角形外心在三角形外侧，锐角三角形圆心在三角形内部，直角三角形圆心在直角三角形斜边的中点19、（1）（2）【解析】（1）求导，利用导函数的几何意义求解切线方程的斜率，进而求出切线方程；（2）对导函数再次求导，判断其单调性，结合隐零点求出其最小值，列出方程，求出实数m的值.【小问1详解】当时，因为，所以切线的斜率为，所以切线方程为，即.【小问2详解】因为，令，因为，所以在上单调递增，当实数时，，；当实数时，，；当实数时，，所以总存在一个，使得，且当时，；当时，，所以，令，因为，所以单调递减，又，所以时，所以，即.20、（1）（2），45【解析】（1）由等差数列的通项列出方程组，得出通项公式；（2）先得出，再由二次函数的性质得出最大值.【小问1详解】由，解得，即【小问2详解】，二次型函数开口向下，对称轴为，则当或时，有最大值45.21、（1）（2）【解析】（1）原式可因式分解为，令，设可求解出的两个虚根，同理可求解的两个虚根，即得解；（2）六个点构成的图形为正六边形，边长为1，计算即可