2023年河南省高考理科数学压轴题总复习（附答案解析）

2023年河南省高考理科数学压轴题总复习

1.已知抛物线关于x轴对称，且过点(4,-4).

(1)求抛物线的方程；

(2)过点(2,0)的直线/与抛物线交于A,8两点，若SA<MB=8,求直线/的方程.

解：(D由于抛物线关于x轴对称且过(4,-4),

抛物线的焦点在x轴正半轴上，

设抛物线的方程为V=2px(p>0),

代入点(4,-4),16=8p,

可得p=2,

，抛物线的方程为尸=4工

(2).可设直线/的方程为m.y=x-2,即x=my+2,

设A(xi，yi),B(X2，”)，

=•消去x可得y-4加y-8=0，yi+y2=4〃z,yi”=-8,

22

SAOAB=x2\y1—y2\—J(%+y2)2-4yly2—V16m4-32=4>Jm4-2=8.

可得"P=2,.*.m=±V2,

：.l：x±y/2y-2=0.

2.已知函数f(x)=:若'g(X)=2/nx+2a(〃6R).

(1)求/G)的单调区间；

(2)证明：存在(0,1),使得方程/(x)=g(x)在(1,+8)上有唯一解.

解：(1)由得/(X)=%2+2ax丁aw“).

“十0(x+a)

令y=/+2ar-。，则由△=4a2+4〃W0,得

:•/(x)20在(-8,-。)u(-。，+8)上恒成立，

当a<-1或a>0时，由x1+2ax-a>0,得x>—a+y/a2+a或％V—a—y/a24-a,

由/+2ar-aVO,得一a—Va2+a<%<—a+Va2+a,

・♦.当-IWaWO时，/(x)的单调递增区间为(-8,—〃)，(-a,+oo).

当〃V-1或。>0时，/(x)的单调递增区间为(―co,—a—Va2+a),(—a4-Va2+a,

+oo),

单调递减区间为(—Q—y/a2+ci/—a),(—a,—a+y/a2-Va).

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(2)令h(x)=f(x)—g(x)=:；1—2仇)—2a(x>l),

则当所(0,[)时，h'Q)=(x+2a)[x-(l-yir^][x-(l+/Ti:^].

(x+a)zx

令/f(x)=0,则无=1++a,

・••当ivxvi+VFT^时，n(%)<0；当i+VTT^<r时，"G)>0,

：.h(X)在(1,1+ATZ)上单调递减，在(1+ar^,+8)上单调递增，

/./i(x)min=/i(l+Vl+a),又fi(1)=1-2a,当OVaV4时,h(x)<0,

当时，取x=e2,则工-2浓-2=/-4-2=«2-6>0,即〃(e?)>0,

又力(x)在(1+JITH,+8)上单调递增，/i(x)mn=/i(l+VlTa)<0,

.•.由零点存在性定理知，/?(x)在(1+厅/，+8)上存在唯一的零点，

1

・••当@工2时，方程人(X)=0在(1,4-OO)上有唯一解，

即存在(0,1),方程/(x)=g(x)在(1,+8)上有唯一解.

3.已知函数/'(%)="—lnx(m,nGR).

(I)若函数f(x)在(1,/(D)处的切线与直线x-y=O平行，求实数〃的值;

(II)若〃=1时,函数/(X)恰有两个零点XI，X2(0<Xl<X2)，证明：X|+X2>2.

解：(I)因为/'(x)=£-g且切线与直线x-y=o平行，

可得/(1)=n-1=1,

所以n=2；

1

(II)证明：当〃=1时，f(x)=m---lnx,

1

---

m勺lnx1=0①

由题意知・1

---

上=。②

mlnx2

②一①得：lnx—lnx二%2一%1

21XiXo

红一1

即ln-^=-..，③

%2

令《=答，则12=内，且，＞1,

X1

又因为%1+X2=X1+/X1=(1+/)XI,由③知：Int=

所以x】=导(t>l)，

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要证XI+X2>2,

只需证(1+t)扁>2,

t2-l

即证一^->2lnt,

1

即£———2"£>0,

2

令/i(t)=t—：—2"£(七>1),则九'(t)=~~~>0,

所以〃(/)在(1,+°°)上单调递增且〃(1)=0,

所以当tE(1,+8)时，h(/)>0,

即XI+X2>2.

4.己知函数/(x)=ax+bvc+\,

(1)讨论函数/(x)的单调性；

(2)对任意的x>0,不等式f(x)Wd恒成立，求实数。的取值范围.

解：(1)定义域为(0,+8),f(x)=a+i=^l,

①若”20,则/(x)>0,f(x)在(0,+8)递增，

②若aVO,则尸(x)="(：五)，f(x)在(0,-i)递增，在(-i,+8)递减，

综上知①a20,/(%)在(0,+8)递增，

②。<0,f(x)在(0,-J)递增，(一，+8)递减；

(2)不等式or+/"x+lW，恒成立，等价于a<竺当曰在(0,+8)恒成立，

令以为=竺二皿二1,%>0,则g，(x)=…广叫

%X

1

令〃(x)=(x-1)x>0,hz(x)=xex+->0.

所以y=〃(x)在(0,+8)单调递增，

而h(1)=0,所以烬(0,1)时，h(x)VO,即g'(尤)<0,y=g(x)单调递减；

尤(1,+8)时，"(x)>0,即q(x)>0,y=g(x)单调递增.

所以在x=l处y=g(x)取得最小值g(1)=e-1,所以aWe-1,

即实数〃的取值范围是1}.

%2

5.在平面直角坐标系中，A、B分别为椭圆「：—+y2=1的上、下顶点，若动直线/过

点P(0,h)且与椭圆r相交于C、。两个不同点(直线/与y轴不重合，且C、

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。两点在y轴右侧，C在。的上方)，直线A。与BC相交于点。.

(1)设「的两焦点为Fi、尸2，求/F1A3的值；

T2T

(2)若6=3,且PC=*PC,求点。的横坐标;

(3)是否存在这样的点尸，使得点Q的纵坐标恒为?若存在，求出点尸的坐标，若不

存在，请说明理由.

解：(1)由椭圆「的方程知，Fi(-1,0),F2(1,0),A(0,1),则/04&=45。,

/•ZFIAF2=90°；

(2)若〃=3,设C、。的两点坐标为C(尤1,yi),D(%2，”),

VPTD=|3PCT,

.3333

丫213)=2(X「%—3),即％2=2%1，丫2=2%—2，

X2

而。(xi，y\),D(%2»”)均在］~+y9=1上，

%j+2yJ=2

解得力=看

代入得92,9,,、2

512+退_1)2=2?

：.y2=分别代入「解得，%1=1/*2=g，

直线BC的方程为y=2x-1,直线A。的方程为y=-x+1,

联立{:：:二,解得X=|,

2

；.Q点的横坐标为三

(3)假设存在这样的点P,设直线/的方程为y=fcr+8(无<0,&>1),

点C,。的坐标为C(xi,yi),D(X2,”)，

v—kx_i_b

2-c2—得(2必+1)/+4妨%+2廿-2=0,由4=16必启-8(22+1)(廿-1)

{X1+2y/=2

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＞0,得/£2＞为±

卜1+%=

24夕’2

由（7,2r+1，可得上修久2=与5一。1+工2），

2b—2/D

IX1%2=-2F2+-1

直线8C的方程为y=&%x-l,直线AO的方程为y=-x+l,

X1x2

一（y=^r^x~1,

而x\y2=kxm+bx],12yl=kx\X2+bx2,联立，\，得y=

[y=^rx+1

（巧及+卬1）+（%2-Xl）_2kxi町++。1+彳2）+（丫2-％1）_（Xi+X2）+b（X2-X。_1_1

2

（x2y1-x1y2）+（^i+^2）—匕。2-勺）+（勺+犯）-b（,x2-x1）+b（x1+x2）~b~3,

则6=3＞1,因此，存在点P（0,3）,使得点。的纵坐标恒为

6.已知椭圆的焦点在x轴上，一个顶点为（0,1）,离心率e=等，过椭圆的右焦点尸的

直线/与坐标轴不垂直，且交椭圆于A,B两点

（I）求椭圆的标准方程；

（II）当直线I的斜率为,时，求弦长以用的值.

（III）设M3”，0）是线段。尸（。为坐标原点）上一个动点，且（总+而）求

〃，的取值范围.

解：（I）由题意可得b=l,e=：=等，c2=a2-b2,

解得：/=5,

所以椭圆的标准方程为：y+y2=l；

（II）由（I）可得：右焦点F（2,0）,

1

由题意设直线/的方程：＞—2（x-2）,B|Jx=2y+2,设A（xi,y\）,B（孙）2）,

%=2y+2

联立直线与椭圆的方程：好，整理可得：第+8厂1=0,力+”=Y，yi），=一）

—4-yz=1*'

4

64+-=-

所以弦长|AB|=+丫2）2-4yly2=q.8199

1075

即弦长|A用的值

（III）由（I）的右焦点尸（2,0）,由题意可得0〈朋＜2,

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设直线/的方程为x=/>+2,设4（xi,yi）,B（X2,>2）,

%=ty+2

联立直线/与椭圆的方程：必，整理可得：（5+P）），2+4（y-1=0,

（亏+y=i

—4t—120

y[+y2=-~~2»37072=~~2，为+"2=/（刃+”）+4=--XI72=1（>1-”）

JILJIL。IL

—>T

MA+MB=Cxi-m,y\）+（X2-m,y2）=（xi+%2-2m,yi+y2）,

AB=（x2-xj,”-yi）,因为（总+诂），

所以（jq+x2-2加）・（12-xi）+（yi+y2）*（）72-y\）=0，

整理可得：（-7-2myt一一与=0,阜0,

5+t25+r

所以可得尸=3-5>0,解得：加只，

所以可得：Of?，，

6

所以，〃的取值范围（0,-）.

7.已知项数为（〃?eN*,m22）的数列｛斯｝满足如下条件：①0rlGN*（〃=1,2,…，〃?）；

@ai<a2<"'<am-若数列｛加｝满足b=（ai+a2,_；am）'山河",其中n—1,2,•••,

m,则称｛瓦｝为｛斯｝的“心灵契合数列”.

（1）数列1,5,9,11,15是否存在“心灵契合数列”，若存在，写出其“心灵契合数

列”；若不存在，请说明理由；

（2）若｛为｝为｛斯｝的“心灵契合数列”，判断数列｛尻｝的单调性，并予以证明；

（3）已知数列｛诙｝存在“心灵契合数列”｛瓦｝,且0=1,­=1025,求〃?的最大值.

解：（1）数列1,5,9,11,15不存在“心灵契合数列”，；1+5+9+11+15=41.bi=苔〃=10,

,41-5„,41-9。,41-1115八/

历=写了=9,为=百丁=8,%=4丁二产.

...数列1,5,9,11,列不存在“心灵契合数列”.

（2）数列｛瓦｝为单调递减数列.•.•加+1-氏=写竽,1,〃6N*.又

V…〈丽・・•・〃〃-〃〃+1<0..,•乐+1〈d，，数列｛6〃｝为单调递减数列.

f

（3）hi-bj=~~TYb\>bi>....>%..•bi-bj&C9:・bi-

bj=,.\b]-bm=舞卷1=,•1bn-1-bn=歹EN*/.an--12相

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-1.

又am-a\=(am-am-1)+(am-1-am-2)+.......+(。2-)+。12(m-1)+(m-1)+........

+(机-1)=(/n-1)2.

1024火

:.(77?-l)29^1024,即MW33.又----GN,..・・〃2W33.

m-1

33

例如：即=32〃-31,(1W〃W33),此时，历尸王要匕色=一〃+5306N*,且数列{〃”}

为单调递减数列，故满足题意.

：.m的最大值为33.

8.设数列A：a\,。2，(心3)的各项均为正整数,且aiWazW…Wa”.若对任意依{3,

4,•••,n),存在正整数i,/(1WiWj<氏)使得徽=s+句，则称数列A具有性质T.

(I)判断数列4：1,2,4,7与数列A2：1，2,3,6是否具有性质7；(只需写出结

论)

(II)若数列4具有性质T,且m=l,6=2,an—200,求”的最小值：

(III)若集合S={1,2,3,2019,2020}=SIUS2US3US4US5US6，且SCSj=9

(任意i,代{1,2,--6},学j).求证：存在&,使得从S,中可以选取若干元素(可

重复选取)组成一个具有性质T的数列.

解：(I)：3W1+1,...1,3,4,7不具有性质P；

"：2=1+1,3=1+2,5=2+3,Al,2,3,5具有性质P,

即数列4不具有性质7,数列A2具有性质T.

(II)由题意可知，42=2,。342。2=4,4442。3《8,,,,,“842。74128,.,.n>9.

右〃=9,■；。9=200且。942。8，♦♦128》“8》100，

同理，64》。7》50,32》<%>25,16》公》12.5,8》。4》6.25,4》。3》3.125,

；数列各项均为正整数，；.的=4,...数列前三项为1,2,4.

•.•数列A具有性质T,04只可能为4,5,6,8之一,而又•••8》“4》6.25,.,.44=8,

同理，有45=16,<26=32,47=64,48=128,

此时数列为1,2,4,8,16,32,64,128,200.

但数列中存在使得200=3+为，

,该数列不具有性质T,

当〃=10时，取A：1,2,4,8,16,32,36,64,100,200(构造数列不唯一)，

A：1,2,4,8,16,32,36,64,100,200,

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经验证，此数列具有性质T,：.n的最小值为10.

(III)假设结论不成立，即对任意Si(i=l,2,…，6)都有：

若正整数a,beS"a<b,贝Ub-a^Si，

否则，当a<i时，a,。-小b是一个具有性质T的数列；

当a>b-a时，b-a,a,b是一个具有性质T的数列；

当时，a,a,人是一个具有性质T的函数.

(/)由题意可知，这6个集合中至少有一个集合的元素个数不少于337个，

不妨设此集合为5i>从Si中取出337个数，记为a\,ai,•••,0337且ai<a2<",<

4337，

令集合M={硕7-2,…，336}US.

由假设，对任意i=l,2,336,“337-a任Si，/.MCS2US3US4US5US6，

(")在S2,S3,S4,S5,56中至少有一个集合包含N\中的至少68个元素，

不妨设这个集合为$2,从S2nNi中取出68个数，记为hi,历，…，庆8，且h\<b2

<…<%8，

令集合N2=(b63-bi\i=l,2,67}CS.

由假设b(,s-bi^Si)

对任意k=\,2,…，68,存在s底{1,2,336}使得bk=a337-aSk，

—aaa=aa

♦•对任意i—2,…，67,b(,s—bi=(CI337s68)~(i37~si)si-s68,

由假设％—a$684Si，b66-bi^.S1,/>68_bi^S1US2,

.♦.N2US3US4US5US6.

(/»)在S3,S4,S5，S6中至少有一个集合包含N1中的至少17个元素，

不妨设这个集合为S3,从S3CN2中取出17个数，

记为Cl,C2,•••,C17,且C1<C2<,,"<C|7，

令集合N3={ci7-Ci『=l,2,…,16)CS,

由假设cii-CiCS3,对任意k=T,2,•••,17,存在ae{1>2,…，67}使得以=b68-btk，

对任意i=L2,16,c17-Ci=(Z?68-Z?il7)-(h68-bt.)=bt.-bii7,

同样，由假设可得瓦，一瓦I?/SiU52，，ci7-CiCSiUS2US3,

...N3US4US5US6.

(VO同样，在S5，S6中至少有一个集合包含N4中的至少3个元素，

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不妨设这个集合为S5，从S5nN4中取出3个数，记为ei，e2,e3,且ei<e2<e3,

同理可得Ns={e3-ei，e3-e2}=S6.

(Vi)由假设可得e2~ei—(e3-ei)-(03-02)部6，

同上可知，e2-ei£SiUS2US3US4US5，

而又,♦F-eiWS,二。2-eiCS6，矛盾.

.假设不成立，，原命题得证.

X

9.已知函数/(x)=x+a'g=21rvc+2a(”eR).

(1)求/(x)的单调区间；

(2)证明：存在(0,1),使得方程f(x)=g(x)在(1,+8)上有唯一解.

解：(1)由,f(x)得［⑺二必+2"丁a4“).

“十0(x+a)

令'=』+2以-。，则由△=4J+4QW0,得-IWaWO,

:(x)20在(-8,-〃)U(-〃，+8)上恒成立，

当a<-1或〃>0时，由/+2ar-a>0,得x>—a+一曲+。或％<•-a—、心+

由/+2分-«<0,得一a—Va24-a<x<—a+Va24-a,

・••当-iWaWO时，/(x)的单调递增区间为(-8,-〃)，(一。，+8)；

当aV-1或a>0时，/(%)的单调递增区间为(-8,_a_'a2+a),(-a+Va2+a,

+oo),

单调递减区间为(—a—7cfi+a,—a),(—a,—ci4-Va2+Q).

y2I

(2)令九(%)=/(》)-g(%)=2仇％—2a(x>l),

则当加(0,1)时，h'(x)=、+2a)--(l—许)一(lt/I^U.

(x+a)zx

令"(x)=0,则x=l+VTTS,

.,.当1<XV1+VTTH时，K(x)<0；当l+VTT^<r时，/?'(x)>0,

:.h(x)在(L1+VTT怎)上单调递减，在(1+VTTH,+8)上单调递增，

=h(l+V1+a),又〃⑴=1-2a,当OVaV1时,h(x)<0,

当aN*时，取x=J,则x-2阮L2=e2-4-2=J-6>0,即力(e?)>0,

又〃(x)在(1+SFTH,+00)上单调递增，/i(x)mn=h(l+VlTa)<0,

...由零点存在性定理知，h(x)在(1+VTT^,+8)上存在唯一的零点，

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・•・当时，方程力(x)=0在(1,+oo)上有唯一解，

即存在(0,1),方程/G)=g(x)在(1,+8)上有唯一解.

10.已知函数f(x)=/-2bx-Inx.

(I)讨论f(x)的单调性；

(II)设若/(X)在xo处有极值，求证：f(xo)<|(l+/w2).

(I)解：由题得/(x)的定义域为(0,+8),

wZ\o”12x2-2bx-l

f(x)—2x-2b——=----------,

,xx

由/(x)>0,得x>2f上2；

由/(%)<0,得0Vx-2,

b+7b2+2b+?2+2

所以函数/(x)在(0,---)上单调递减，在(---,+8)上单调递增.

(II)证明：由(I)得，函数/Xx)在》=地里处取得极小值，

所以当XO=地里时，极小值为f(xo),

因为/(沏)=2至警二1=o,

x0

所以2bx()=2延—1,

因为xo>O,

所以2诏—1NO,可得xoN孝，

所以/(AO)=%o-2Zzxo+阮w=XQ—(2%Q—1)-lnxo=-XQ-/nxo+l,

9V2

令函数g(x)=-JT-lwc+1,XG[—,+8),

则g'(x)=-2x-i<0,

所以函数g(x)在[j,+8)上单调递减，

y/21y/211

所以g(无)Wg(一)=—«—In—+1=5+亍历2,

2/2乙乙

因此,(jco)<(1+/〃2).

11.在平面直角坐标系xOy中，动直线A8交抛物线「：/=4x于A,B两点.

(1)若/408=90°,证明直线48过定点，并求出该定点；

(2)点"为AB的中点，过点”作与y轴垂直的直线交抛物线「：丫2=以于c点；点

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N为AC的中点，过点N作与y轴垂直的直线交抛物线「：y2=4x于点P.设△ABC的

面积Si，ZSAPC的面积为S2.

(i)若A8过定点(2,1),求使Si取最小值时，直线A8的方程；

(")求'■的值.

52

解：(1)证明：由题意可设直线AB的方程为x=)+",

代入抛物线的方程y2=4x,可得y2-4(y-4/n=0,

△=16p+16〃?>0,即»+/>(),

设A(xi，y\),B(X2，>2)，则yi+»2=4f,y\y2="4/n,

由NAO5=90°,所以&・b=0,即xiX2+y,2=0，

]]]i

又为=白/，^2=^22，所以/)“2"2+),]”=0,

故yiy2=-16,所以-4加=-16,即m=4,

因此直线AB的方程为x=/y+4,

该直线恒过定点(4,0)；

(2)(i)因为AB过定点(2,1),所以由(1)可得2=什机，即机=2-f，

△=16於+16m=16(?-Z+2)>0恒成立，yi+”=4l,yiy2=-4m=4f-8,

由题意可得M(X,❷)，c(如也i,红生)，

22162

所以==

zloZ1616

所以5i=i|CM|-|yi-*1=今|凹-"P，

因为M-"1=JCXi+先)2—4yly2=Jl6t2-4(4£-8)=4Vt2-t4-2>2^7,此时t=1

时，等号成立.

所以51=各)，1-”|32+・(2近)3=勺2,

,7y[712

当51取得取小值---时，/=亍m=亍

4/乙

直线AB的方程为x=即2x-y-3=0；

(ii)由题意可得5i=W。必・|/1-S2=利科•力L”1，

由(2)(/)可得|CM=必•渭广(此处“可以理解为A,8两点处的纵向高度差)，

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（物1-加）2

同理可得|PN|=16

由（力可得（此处M-”l可以理解为A,8两点的纵向高度差）,

11

由题意同理可得$2=贬（声-”|）0\

=8,

12.且过点(―1,^).

（1）求椭圆C的方程;

（2）设P（x,y）为椭圆C上的动点，尸为椭圆C的右焦点，A、8分别为椭圆C的左、

右顶点，点尸'满足际'=（4-x,0）.

匹，|

①证明:,为定值;

\PF\

②设Q是直线/：x=4上的动点，直线AQ.BQ分别另交椭圆C于M、N两点，求附Q+|NF|

的最小值.

19

解：⑴由题意可得a=2c,我+市=1，。2=展，

解得：O2=4,b2=3,

所以椭圆的方程为：丁X2+上V2卜

(2)由(1)可得A(-2,0),8(2,0),F(1,0),

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V”

①_因为P(x,y)为椭圆C上的动点，点P'满足PTP'=(4-x,0),所以久一'+二=1；

43

—>

所以|PP'|=|4-x|

|P尸|=yf(x-l)2+y2-J(x-l)2+3(1-a)=-2%+4=,J(x-4.=品-

4|，

所以：叵1=0=2,

\PF\

所以可证」\PPI1\为定值2.

|PF|

②由题意设。(4,f),所以以。=击=：,所以直线AQ的方程为：y=lG+2),

（）

联立直线4Q与椭圆的方程：f=6X+2整理可得：（27+尸）/+4尸+4尸-]08,

,3x2+4y2-12=0

4产一108-2t2+54

所以-2・x”=所以XM-

27+t227+t2

同理依。=苴『5，所以直线8Q的方程：＞-1（X-2）,

y=2(x—2)整理可得：(3+尸)』-44+4»-12=0,

2

3/+4y-12=0

所以2XN=-----5-»所以XN=——母，

3+/3+r

因为x=4为右准线，所以由到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率e=/,可得：

111XKA^~XM_产+2712—3

\MF]^\NF\=5(4-工例)+5(4-XN)=5(8-XM-XN)=4—N=4-(----------+------)

222227+t23+t2

/4848

=4------->4------7=-----=3o,

产9+号Q1+302©+30

当且仅当『=81,即/=±3时取等号.

所以|Mfl+|NF|的最小值为3.

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13.正整数数列｛斯｝的前”项和为S,”前〃项积T”，若3^*(i=l，2,…〃)，则称数

St

列｛斯｝为“Z数列”.

(1)判断下列数列是否是z数列，并说明理由；

①2,2,4,8；②8,24,40,56.

(II)若数列｛劭｝是Z数列,且42=2.求S3和73；

(III)是否存在等差数列是Z数列？请阐述理由.

解：(I)(D由题意可知51=2,52=4,$3=8,54=16,八=2,4=4,73=16,0=128,

所以马■=1,三=1,匹=2,—=8,

S]S2S3s4

所以①是Z数列；

②由题意可知51=8,S2=32,S3=72,S4=128,力=8,4=192,兀=7680,74=430080,

所以”=1，

Zk=6,—,106.67至N*,

$3

所以②不是z数列;

(II)数列｛斯｝是Z数列，且42=2.设£=B^=keN*,

即2ai=ka\+2k,

Ob

所以(2-k)ai=2k,即0=抖6]\*,所以k=l,则m=2,

乙一K

=噩=6*，则”3=黑。*'，=1,2,3,

所以当，=1时，显然不成立，

当，=2时，。3=4,成立，

当f=3时，々3=12,成立，

所以当。3=4,53=8,73=16；当43=12,53=16,△=48；

(III)假设存在等差数列｛斯｝为是Z数列，

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由等差数列的定义可得至少存在三项a,4c,成等差数列，即有巴=l，3eN*,—*=

aa+ba+b+c

ac

—GN*,

3

ac

由〃+c=2。，可得w6N*,可得〃，c中至少有一个为3的倍数，

abc3bQ

可设。=3,则------=c€N*,只要----=3-可得b=6,。=9,即3,6,9

a+b+c3+bb+3

成等差数列，且为Z数列；

abc6bRA

若a=6,则------=2c€N*,只要----=6--rvz^N*,可得8=6,c=6,即6,6,6成

a+b+c6+bb+6

等差数列，且为z数列；

或6=12,c=18,即6,12,18成等差数列，且为Z数列；或6=30,c=54,即6,30,

54成等差数列，且为Z数列；

同样a=9,12,…，3"("6N*),…可得4c的值，使得它们成等差数列，且为Z数列.

综上可得存在等差数列是Z数列.

14.函数/(x)满足：对任意a,pGR,都有/(4)=qf(B)+p/(a),且/(2)=2,数

列｛小｝满足斯=f(2")(«6N+).

(1)证明数列｛爱｝为等差数列，并求数列｛斯｝的通项公式；

(2)记数列｛尻｝前〃项和为S,”且力尸皿誓，问是否存在正整数加，使得(〃计1)(S”

-4)+19狐＜0成立，若存在，求机的最小值；若不存在，请说明理由.

解：(1)•.•数列｛斯｝满足a”=/(2")(〃eN+),

:.ci1=f(2)=2,

又•・•对任意a,peR,都有f(耶)=好(0)+伊(a),

,,+1n

：-an+\=f(2)=4(2")+2f(2)=2“"+2”+1,

两边同时除以2向得：器一言=1，

••♦数列就为等差数列，首项为号=1，公差为1，

=n,即即=〃・2".

2n

(2)由(1)可知力=以誓=等，

anL

ill11

得：Sn=2x1+3x—4-4x—+…+x几_]+(几+1)x

222z

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11111

-S=2x—+3x—++nx—4-(n+l)x1,

2n22232n2n+1

—-1111113n+3

两式相减得=~r+T7+•••+-(n+1)X——■+-=--,

2n21222n2n+1222n+1

・c_Q-+3

•,一$2^~•

假设存在正整数处使得(/n+1)(Sm-4)+19源VO成立，即2"'+机-16>0,

由指数函数与一次函数单调性知：F(M=2"'+,"-16,〃?CN+为增函数.

又,：F(3)=23+3-16=-5<0,F(4)=24+4-16=4>0,

当相24时恒有F(优)=2'n+m-16>0成立.

故存在正整数机，使得(/n+1)(S,„-4)+19源<0成立，，〃的最小值为4.

1

15.已知函数/(x)=：-x+〃加c.

(I)求/(x)在(1,/(1))处的切线方程(用含a的式子表示)

(II)讨论/(X)的单调性；

(III)若"x)存在两个极值点R，X2,证明："勺)一”"2)Va-2.

解：(I)(x)=i—x+alnx(x>0),

：.f(x)=二/士卢1(x>o),

xL

.•.当x=l时，,f(1)=0,/(1)=-2+a,

设切线方程为y=(-2+a)x+b,代入(1,0),得6=2-4，

：.f(x)在(1,/(D)处的切线方程为y=(-2+67)x+2-a.

(II)函数的定义域为(0,+8),

函数的导数，(x)=弋尸_,

设g(x)=-/+or-1,注意到g(0)=-1,

①当。W0时，g(x)V0恒成立，即/(x)V0恒成立，此时函数/(x)在(0,+8)

上是减函数；

②当〃>0时，判别式△=/-4,

1°当0VaW2时，△《()，即g(x)WO,即/(x)<0恒成立，此时函数/G)在(0,

+°°)上是减函数；

,,人~、心a-yJa2-4a+Ja2—4

2°时，令/(x)>0,得：VxV-------；

2/

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令/G）<0,得：0<xV土牡或x>空甘；

a-y/a2-4a+Va2-4a-Va2-4

・••当tz>2时，/（x）在区间（---------，---------）单调递增，在（0,--------)，

222

a+ya^-4

（---------，+8）单调递减；

2

综上所述，综上当时，/（x）在（0,+8）上是减函数,

,..CL—ylci^—4Q+'x/a、-4

当〃>2时，在（0,---------）,（---------，+8）上是减函数,

22

八一、a-Va2-4a+Va2-4,0〜一皿

在区间（---------，---------）上是增函数.

22

(III)(2)由(1)知。>2,0<Xl<l<X2,XlX2=h

11

贝Uf(为)~f(X2)=----x\+alnx\-[——X2+〃/〃K2]

X

1%2

1

=(%2-xi)(H------)+aUnx\-lnxi)

xlx2

=2(%2-xi)+〃(/nxi-/«X2),

m(%2)ia(/nx1-Znx2)

则-----------=-2+----^―----，

%1~%2Xl-X2

则问题转为证明丝士3<1即可,

即证明lnx\-lnxi>x\-X2f

11

则lnx\-In—>x\---,

x14

即lnx\+lnx\>xi——,

X1

1

即证2/〃为>xi-h在(0,1)上恒成立，

X1

i

设人(%)=2阮”X+丁，(0<%<1),其中/z(1)=0,

X1

求导得h'(x)=--l-^=-x2~22+1=-^^-<0,

xxLXLXL

则h(x)在(0,1)上单调递减，

:小⑴乂⑴，即2仆x+L

1

故2