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文档简介
2023年河南省高考理科数学压轴题总复习
1.已知抛物线关于x轴对称,且过点(4,-4).
(1)求抛物线的方程;
(2)过点(2,0)的直线/与抛物线交于A,8两点,若SA<MB=8,求直线/的方程.
解:(D由于抛物线关于x轴对称且过(4,-4),
抛物线的焦点在x轴正半轴上,
设抛物线的方程为V=2px(p>0),
代入点(4,-4),16=8p,
可得p=2,
,抛物线的方程为尸=4工
(2).可设直线/的方程为m.y=x-2,即x=my+2,
设A(xi,yi),B(X2,”),
=•消去x可得y-4加y-8=0,yi+y2=4〃z,yi”=-8,
22
SAOAB=x2\y1—y2\—J(%+y2)2-4yly2—V16m4-32=4>Jm4-2=8.
可得"P=2,.*.m=±V2,
:.l:x±y/2y-2=0.
2.已知函数f(x)=:若'g(X)=2/nx+2a(〃6R).
(1)求/G)的单调区间;
(2)证明:存在(0,1),使得方程/(x)=g(x)在(1,+8)上有唯一解.
解:(1)由得/(X)=%2+2ax丁aw“).
“十0(x+a)
令y=/+2ar-。,则由△=4a2+4〃W0,得
:•/(x)20在(-8,-。)u(-。,+8)上恒成立,
当a<-1或a>0时,由x1+2ax-a>0,得x>—a+y/a2+a或%V—a—y/a24-a,
由/+2ar-aVO,得一a—Va2+a<%<—a+Va2+a,
・♦.当-IWaWO时,/(x)的单调递增区间为(-8,—〃),(-a,+oo).
当〃V-1或。>0时,/(x)的单调递增区间为(―co,—a—Va2+a),(—a4-Va2+a,
+oo),
单调递减区间为(—Q—y/a2+ci/—a),(—a,—a+y/a2-Va).
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(2)令h(x)=f(x)—g(x)=:;1—2仇)—2a(x>l),
则当所(0,[)时,h'Q)=(x+2a)[x-(l-yir^][x-(l+/Ti:^].
(x+a)zx
令/f(x)=0,则无=1++a,
・••当ivxvi+VFT^时,n(%)<0;当i+VTT^<r时,"G)>0,
:.h(X)在(1,1+ATZ)上单调递减,在(1+ar^,+8)上单调递增,
/./i(x)min=/i(l+Vl+a),又fi(1)=1-2a,当OVaV4时,h(x)<0,
当时,取x=e2,则工-2浓-2=/-4-2=«2-6>0,即〃(e?)>0,
又力(x)在(1+JITH,+8)上单调递增,/i(x)mn=/i(l+VlTa)<0,
.•.由零点存在性定理知,/?(x)在(1+厅/,+8)上存在唯一的零点,
1
・••当@工2时,方程人(X)=0在(1,4-OO)上有唯一解,
即存在(0,1),方程/(x)=g(x)在(1,+8)上有唯一解.
3.已知函数/'(%)="—lnx(m,nGR).
(I)若函数f(x)在(1,/(D)处的切线与直线x-y=O平行,求实数〃的值;
(II)若〃=1时,函数/(X)恰有两个零点XI,X2(0<Xl<X2),证明:X|+X2>2.
解:(I)因为/'(x)=£-g且切线与直线x-y=o平行,
可得/(1)=n-1=1,
所以n=2;
1
(II)证明:当〃=1时,f(x)=m---lnx,
1
---
m勺lnx1=0①
由题意知・1
---
上=。②
mlnx2
②一①得:lnx—lnx二%2一%1
21XiXo
红一1
即ln-^=-..,③
%2
令《=答,则12=内,且,>1,
X1
又因为%1+X2=X1+/X1=(1+/)XI,由③知:Int=
所以x】=导(t>l),
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要证XI+X2>2,
只需证(1+t)扁>2,
t2-l
即证一^->2lnt,
1
即£———2"£>0,
2
令/i(t)=t—:—2"£(七>1),则九'(t)=~~~>0,
所以〃(/)在(1,+°°)上单调递增且〃(1)=0,
所以当tE(1,+8)时,h(/)>0,
即XI+X2>2.
4.己知函数/(x)=ax+bvc+\,
(1)讨论函数/(x)的单调性;
(2)对任意的x>0,不等式f(x)Wd恒成立,求实数。的取值范围.
解:(1)定义域为(0,+8),f(x)=a+i=^l,
①若”20,则/(x)>0,f(x)在(0,+8)递增,
②若aVO,则尸(x)="(:五),f(x)在(0,-i)递增,在(-i,+8)递减,
综上知①a20,/(%)在(0,+8)递增,
②。<0,f(x)在(0,-J)递增,(一,+8)递减;
(2)不等式or+/"x+lW,恒成立,等价于a<竺当曰在(0,+8)恒成立,
令以为=竺二皿二1,%>0,则g,(x)=…广叫
%X
1
令〃(x)=(x-1)x>0,hz(x)=xex+->0.
所以y=〃(x)在(0,+8)单调递增,
而h(1)=0,所以烬(0,1)时,h(x)VO,即g'(尤)<0,y=g(x)单调递减;
尤(1,+8)时,"(x)>0,即q(x)>0,y=g(x)单调递增.
所以在x=l处y=g(x)取得最小值g(1)=e-1,所以aWe-1,
即实数〃的取值范围是1}.
%2
5.在平面直角坐标系中,A、B分别为椭圆「:—+y2=1的上、下顶点,若动直线/过
点P(0,h)且与椭圆r相交于C、。两个不同点(直线/与y轴不重合,且C、
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。两点在y轴右侧,C在。的上方),直线A。与BC相交于点。.
(1)设「的两焦点为Fi、尸2,求/F1A3的值;
T2T
(2)若6=3,且PC=*PC,求点。的横坐标;
(3)是否存在这样的点尸,使得点Q的纵坐标恒为?若存在,求出点尸的坐标,若不
存在,请说明理由.
解:(1)由椭圆「的方程知,Fi(-1,0),F2(1,0),A(0,1),则/04&=45。,
/•ZFIAF2=90°;
(2)若〃=3,设C、。的两点坐标为C(尤1,yi),D(%2,”),
VPTD=|3PCT,
.3333
丫213)=2(X「%—3),即%2=2%1,丫2=2%—2,
X2
而。(xi,y\),D(%2»”)均在]~+y9=1上,
%j+2yJ=2
解得力=看
代入得92,9,,、2
512+退_1)2=2?
:.y2=分别代入「解得,%1=1/*2=g,
直线BC的方程为y=2x-1,直线A。的方程为y=-x+1,
联立{:::二,解得X=|,
2
;.Q点的横坐标为三
(3)假设存在这样的点P,设直线/的方程为y=fcr+8(无<0,&>1),
点C,。的坐标为C(xi,yi),D(X2,”),
v—kx_i_b
2-c2—得(2必+1)/+4妨%+2廿-2=0,由4=16必启-8(22+1)(廿-1)
{X1+2y/=2
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>0,得/£2>为±
卜1+%=
24夕’2
由(7,2r+1,可得上修久2=与5一。1+工2),
2b—2/D
IX1%2=-2F2+-1
直线8C的方程为y=&%x-l,直线AO的方程为y=-x+l,
X1x2
一(y=^r^x~1,
而x\y2=kxm+bx],12yl=kx\X2+bx2,联立,\,得y=
[y=^rx+1
(巧及+卬1)+(%2-Xl)_2kxi町++。1+彳2)+(丫2-%1)_(Xi+X2)+b(X2-X。_1_1
2
(x2y1-x1y2)+(^i+^2)—匕。2-勺)+(勺+犯)-b(,x2-x1)+b(x1+x2)~b~3,
则6=3>1,因此,存在点P(0,3),使得点。的纵坐标恒为
6.已知椭圆的焦点在x轴上,一个顶点为(0,1),离心率e=等,过椭圆的右焦点尸的
直线/与坐标轴不垂直,且交椭圆于A,B两点
(I)求椭圆的标准方程;
(II)当直线I的斜率为,时,求弦长以用的值.
(III)设M3”,0)是线段。尸(。为坐标原点)上一个动点,且(总+而)求
〃,的取值范围.
解:(I)由题意可得b=l,e=:=等,c2=a2-b2,
解得:/=5,
所以椭圆的标准方程为:y+y2=l;
(II)由(I)可得:右焦点F(2,0),
1
由题意设直线/的方程:>—2(x-2),B|Jx=2y+2,设A(xi,y\),B(孙)2),
%=2y+2
联立直线与椭圆的方程:好,整理可得:第+8厂1=0,力+”=Y,yi),=一)
—4-yz=1*'
4
64+-=-
所以弦长|AB|=+丫2)2-4yly2=q.8199
1075
即弦长|A用的值
(III)由(I)的右焦点尸(2,0),由题意可得0〈朋<2,
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设直线/的方程为x=/>+2,设4(xi,yi),B(X2,>2),
%=ty+2
联立直线/与椭圆的方程:必,整理可得:(5+P)),2+4(y-1=0,
(亏+y=i
—4t—120
y[+y2=-~~2»37072=~~2,为+"2=/(刃+”)+4=--XI72=1(>1-”)
JILJIL。IL
—>T
MA+MB=Cxi-m,y\)+(X2-m,y2)=(xi+%2-2m,yi+y2),
AB=(x2-xj,”-yi),因为(总+诂),
所以(jq+x2-2加)・(12-xi)+(yi+y2)*()72-y\)=0,
整理可得:(-7-2myt一一与=0,阜0,
5+t25+r
所以可得尸=3-5>0,解得:加只,
所以可得:Of?,,
6
所以,〃的取值范围(0,-).
7.已知项数为(〃?eN*,m22)的数列{斯}满足如下条件:①0rlGN*(〃=1,2,…,〃?);
@ai<a2<"'<am-若数列{加}满足b=(ai+a2,_;am)'山河",其中n—1,2,•••,
m,则称{瓦}为{斯}的“心灵契合数列”.
(1)数列1,5,9,11,15是否存在“心灵契合数列”,若存在,写出其“心灵契合数
列”;若不存在,请说明理由;
(2)若{为}为{斯}的“心灵契合数列”,判断数列{尻}的单调性,并予以证明;
(3)已知数列{诙}存在“心灵契合数列”{瓦},且0=1,=1025,求〃?的最大值.
解:(1)数列1,5,9,11,15不存在“心灵契合数列”,;1+5+9+11+15=41.bi=苔〃=10,
,41-5„,41-9。,41-1115八/
历=写了=9,为=百丁=8,%=4丁二产.
...数列1,5,9,11,列不存在“心灵契合数列”.
(2)数列{瓦}为单调递减数列.•.•加+1-氏=写竽,1,〃6N*.又
V…〈丽・・•・〃〃-〃〃+1<0..,•乐+1〈d,,数列{6〃}为单调递减数列.
f
(3)hi-bj=~~TYb\>bi>....>%..•bi-bj&C9:・bi-
bj=,.\b]-bm=舞卷1=,•1bn-1-bn=歹EN*/.an--12相
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-1.
又am-a\=(am-am-1)+(am-1-am-2)+.......+(。2-)+。12(m-1)+(m-1)+........
+(机-1)=(/n-1)2.
1024火
:.(77?-l)29^1024,即MW33.又----GN,..・・〃2W33.
m-1
33
例如:即=32〃-31,(1W〃W33),此时,历尸王要匕色=一〃+5306N*,且数列{〃”}
为单调递减数列,故满足题意.
:.m的最大值为33.
8.设数列A:a\,。2,(心3)的各项均为正整数,且aiWazW…Wa”.若对任意依{3,
4,•••,n),存在正整数i,/(1WiWj<氏)使得徽=s+句,则称数列A具有性质T.
(I)判断数列4:1,2,4,7与数列A2:1,2,3,6是否具有性质7;(只需写出结
论)
(II)若数列4具有性质T,且m=l,6=2,an—200,求”的最小值:
(III)若集合S={1,2,3,2019,2020}=SIUS2US3US4US5US6,且SCSj=9
(任意i,代{1,2,--6},学j).求证:存在&,使得从S,中可以选取若干元素(可
重复选取)组成一个具有性质T的数列.
解:(I):3W1+1,...1,3,4,7不具有性质P;
":2=1+1,3=1+2,5=2+3,Al,2,3,5具有性质P,
即数列4不具有性质7,数列A2具有性质T.
(II)由题意可知,42=2,。342。2=4,4442。3《8,,,,,“842。74128,.,.n>9.
右〃=9,■;。9=200且。942。8,♦♦128》“8》100,
同理,64》。7》50,32》<%>25,16》公》12.5,8》。4》6.25,4》。3》3.125,
;数列各项均为正整数,;.的=4,...数列前三项为1,2,4.
•.•数列A具有性质T,04只可能为4,5,6,8之一,而又•••8》“4》6.25,.,.44=8,
同理,有45=16,<26=32,47=64,48=128,
此时数列为1,2,4,8,16,32,64,128,200.
但数列中存在使得200=3+为,
,该数列不具有性质T,
当〃=10时,取A:1,2,4,8,16,32,36,64,100,200(构造数列不唯一),
A:1,2,4,8,16,32,36,64,100,200,
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经验证,此数列具有性质T,:.n的最小值为10.
(III)假设结论不成立,即对任意Si(i=l,2,…,6)都有:
若正整数a,beS"a<b,贝Ub-a^Si,
否则,当a<i时,a,。-小b是一个具有性质T的数列;
当a>b-a时,b-a,a,b是一个具有性质T的数列;
当时,a,a,人是一个具有性质T的函数.
(/)由题意可知,这6个集合中至少有一个集合的元素个数不少于337个,
不妨设此集合为5i>从Si中取出337个数,记为a\,ai,•••,0337且ai<a2<",<
4337,
令集合M={硕7-2,…,336}US.
由假设,对任意i=l,2,336,“337-a任Si,/.MCS2US3US4US5US6,
(")在S2,S3,S4,S5,56中至少有一个集合包含N\中的至少68个元素,
不妨设这个集合为$2,从S2nNi中取出68个数,记为hi,历,…,庆8,且h\<b2
<…<%8,
令集合N2=(b63-bi\i=l,2,67}CS.
由假设b(,s-bi^Si)
对任意k=\,2,…,68,存在s底{1,2,336}使得bk=a337-aSk,
—aaa=aa
♦•对任意i—2,…,67,b(,s—bi=(CI337s68)~(i37~si)si-s68,
由假设%—a$684Si,b66-bi^.S1,/>68_bi^S1US2,
.♦.N2US3US4US5US6.
(/»)在S3,S4,S5,S6中至少有一个集合包含N1中的至少17个元素,
不妨设这个集合为S3,从S3CN2中取出17个数,
记为Cl,C2,•••,C17,且C1<C2<,,"<C|7,
令集合N3={ci7-Ci『=l,2,…,16)CS,
由假设cii-CiCS3,对任意k=T,2,•••,17,存在ae{1>2,…,67}使得以=b68-btk,
对任意i=L2,16,c17-Ci=(Z?68-Z?il7)-(h68-bt.)=bt.-bii7,
同样,由假设可得瓦,一瓦I?/SiU52,,ci7-CiCSiUS2US3,
...N3US4US5US6.
(VO同样,在S5,S6中至少有一个集合包含N4中的至少3个元素,
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不妨设这个集合为S5,从S5nN4中取出3个数,记为ei,e2,e3,且ei<e2<e3,
同理可得Ns={e3-ei,e3-e2}=S6.
(Vi)由假设可得e2~ei—(e3-ei)-(03-02)部6,
同上可知,e2-ei£SiUS2US3US4US5,
而又,♦F-eiWS,二。2-eiCS6,矛盾.
.假设不成立,,原命题得证.
X
9.已知函数/(x)=x+a'g=21rvc+2a(”eR).
(1)求/(x)的单调区间;
(2)证明:存在(0,1),使得方程f(x)=g(x)在(1,+8)上有唯一解.
解:(1)由,f(x)得[⑺二必+2"丁a4“).
“十0(x+a)
令'=』+2以-。,则由△=4J+4QW0,得-IWaWO,
:(x)20在(-8,-〃)U(-〃,+8)上恒成立,
当a<-1或〃>0时,由/+2ar-a>0,得x>—a+一曲+。或%<•-a—、心+
由/+2分-«<0,得一a—Va24-a<x<—a+Va24-a,
・••当-iWaWO时,/(x)的单调递增区间为(-8,-〃),(一。,+8);
当aV-1或a>0时,/(%)的单调递增区间为(-8,_a_'a2+a),(-a+Va2+a,
+oo),
单调递减区间为(—a—7cfi+a,—a),(—a,—ci4-Va2+Q).
y2I
(2)令九(%)=/(》)-g(%)=2仇%—2a(x>l),
则当加(0,1)时,h'(x)=、+2a)--(l—许)一(lt/I^U.
(x+a)zx
令"(x)=0,则x=l+VTTS,
.,.当1<XV1+VTTH时,K(x)<0;当l+VTT^<r时,/?'(x)>0,
:.h(x)在(L1+VTT怎)上单调递减,在(1+VTTH,+8)上单调递增,
=h(l+V1+a),又〃⑴=1-2a,当OVaV1时,h(x)<0,
当aN*时,取x=J,则x-2阮L2=e2-4-2=J-6>0,即力(e?)>0,
又〃(x)在(1+SFTH,+00)上单调递增,/i(x)mn=h(l+VlTa)<0,
...由零点存在性定理知,h(x)在(1+VTT^,+8)上存在唯一的零点,
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・•・当时,方程力(x)=0在(1,+oo)上有唯一解,
即存在(0,1),方程/G)=g(x)在(1,+8)上有唯一解.
10.已知函数f(x)=/-2bx-Inx.
(I)讨论f(x)的单调性;
(II)设若/(X)在xo处有极值,求证:f(xo)<|(l+/w2).
(I)解:由题得/(x)的定义域为(0,+8),
wZ\o”12x2-2bx-l
f(x)—2x-2b——=----------,
,xx
由/(x)>0,得x>2f上2;
由/(%)<0,得0Vx-2,
b+7b2+2b+?2+2
所以函数/(x)在(0,---)上单调递减,在(---,+8)上单调递增.
(II)证明:由(I)得,函数/Xx)在》=地里处取得极小值,
所以当XO=地里时,极小值为f(xo),
因为/(沏)=2至警二1=o,
x0
所以2bx()=2延—1,
因为xo>O,
所以2诏—1NO,可得xoN孝,
所以/(AO)=%o-2Zzxo+阮w=XQ—(2%Q—1)-lnxo=-XQ-/nxo+l,
9V2
令函数g(x)=-JT-lwc+1,XG[—,+8),
则g'(x)=-2x-i<0,
所以函数g(x)在[j,+8)上单调递减,
y/21y/211
所以g(无)Wg(一)=—«—In—+1=5+亍历2,
2/2乙乙
因此,(jco)<(1+/〃2).
11.在平面直角坐标系xOy中,动直线A8交抛物线「:/=4x于A,B两点.
(1)若/408=90°,证明直线48过定点,并求出该定点;
(2)点"为AB的中点,过点”作与y轴垂直的直线交抛物线「:丫2=以于c点;点
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N为AC的中点,过点N作与y轴垂直的直线交抛物线「:y2=4x于点P.设△ABC的
面积Si,ZSAPC的面积为S2.
(i)若A8过定点(2,1),求使Si取最小值时,直线A8的方程;
(")求'■的值.
52
解:(1)证明:由题意可设直线AB的方程为x=)+",
代入抛物线的方程y2=4x,可得y2-4(y-4/n=0,
△=16p+16〃?>0,即»+/>(),
设A(xi,y\),B(X2,>2),则yi+»2=4f,y\y2="4/n,
由NAO5=90°,所以&・b=0,即xiX2+y,2=0,
]]]i
又为=白/,^2=^22,所以/)“2"2+),]”=0,
故yiy2=-16,所以-4加=-16,即m=4,
因此直线AB的方程为x=/y+4,
该直线恒过定点(4,0);
(2)(i)因为AB过定点(2,1),所以由(1)可得2=什机,即机=2-f,
△=16於+16m=16(?-Z+2)>0恒成立,yi+”=4l,yiy2=-4m=4f-8,
由题意可得M(X,❷),c(如也i,红生),
22162
所以==
zloZ1616
所以5i=i|CM|-|yi-*1=今|凹-"P,
因为M-"1=JCXi+先)2—4yly2=Jl6t2-4(4£-8)=4Vt2-t4-2>2^7,此时t=1
时,等号成立.
所以51=各),1-”|32+・(2近)3=勺2,
,7y[712
当51取得取小值---时,/=亍m=亍
4/乙
直线AB的方程为x=即2x-y-3=0;
(ii)由题意可得5i=W。必・|/1-S2=利科•力L”1,
由(2)(/)可得|CM=必•渭广(此处“可以理解为A,8两点处的纵向高度差),
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(物1-加)2
同理可得|PN|=16
由(力可得(此处M-”l可以理解为A,8两点的纵向高度差),
11
由题意同理可得$2=贬(声-”|)0\
=8,
12.且过点(―1,^).
(1)求椭圆C的方程;
(2)设P(x,y)为椭圆C上的动点,尸为椭圆C的右焦点,A、8分别为椭圆C的左、
右顶点,点尸'满足际'=(4-x,0).
匹,|
①证明:,为定值;
\PF\
②设Q是直线/:x=4上的动点,直线AQ.BQ分别另交椭圆C于M、N两点,求附Q+|NF|
的最小值.
19
解:⑴由题意可得a=2c,我+市=1,。2=展,
解得:O2=4,b2=3,
所以椭圆的方程为:丁X2+上V2卜
(2)由(1)可得A(-2,0),8(2,0),F(1,0),
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V”
①_因为P(x,y)为椭圆C上的动点,点P'满足PTP'=(4-x,0),所以久一'+二=1;
43
—>
所以|PP'|=|4-x|
|P尸|=yf(x-l)2+y2-J(x-l)2+3(1-a)=-2%+4=,J(x-4.=品-
4|,
所以:叵1=0=2,
\PF\
所以可证」\PPI1\为定值2.
|PF|
②由题意设。(4,f),所以以。=击=:,所以直线AQ的方程为:y=lG+2),
()
联立直线4Q与椭圆的方程:f=6X+2整理可得:(27+尸)/+4尸+4尸-]08,
,3x2+4y2-12=0
4产一108-2t2+54
所以-2・x”=所以XM-
27+t227+t2
同理依。=苴『5,所以直线8Q的方程:>-1(X-2),
y=2(x—2)整理可得:(3+尸)』-44+4»-12=0,
2
3/+4y-12=0
所以2XN=-----5-»所以XN=——母,
3+/3+r
因为x=4为右准线,所以由到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率e=/,可得:
111XKA^~XM_产+2712—3
\MF]^\NF\=5(4-工例)+5(4-XN)=5(8-XM-XN)=4—N=4-(----------+------)
222227+t23+t2
/4848
=4------->4------7=-----=3o,
产9+号Q1+302©+30
当且仅当『=81,即/=±3时取等号.
所以|Mfl+|NF|的最小值为3.
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13.正整数数列{斯}的前”项和为S,”前〃项积T”,若3^*(i=l,2,…〃),则称数
St
列{斯}为“Z数列”.
(1)判断下列数列是否是z数列,并说明理由;
①2,2,4,8;②8,24,40,56.
(II)若数列{劭}是Z数列,且42=2.求S3和73;
(III)是否存在等差数列是Z数列?请阐述理由.
解:(I)(D由题意可知51=2,52=4,$3=8,54=16,八=2,4=4,73=16,0=128,
所以马■=1,三=1,匹=2,—=8,
S]S2S3s4
所以①是Z数列;
②由题意可知51=8,S2=32,S3=72,S4=128,力=8,4=192,兀=7680,74=430080,
所以”=1,
Zk=6,—,106.67至N*,
$3
所以②不是z数列;
(II)数列{斯}是Z数列,且42=2.设£=B^=keN*,
即2ai=ka\+2k,
Ob
所以(2-k)ai=2k,即0=抖6]\*,所以k=l,则m=2,
乙一K
=噩=6*,则”3=黑。*',=1,2,3,
所以当,=1时,显然不成立,
当,=2时,。3=4,成立,
当f=3时,々3=12,成立,
所以当。3=4,53=8,73=16;当43=12,53=16,△=48;
(III)假设存在等差数列{斯}为是Z数列,
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由等差数列的定义可得至少存在三项a,4c,成等差数列,即有巴=l,3eN*,—*=
aa+ba+b+c
ac
—GN*,
3
ac
由〃+c=2。,可得w6N*,可得〃,c中至少有一个为3的倍数,
abc3bQ
可设。=3,则------=c€N*,只要----=3-可得b=6,。=9,即3,6,9
a+b+c3+bb+3
成等差数列,且为Z数列;
abc6bRA
若a=6,则------=2c€N*,只要----=6--rvz^N*,可得8=6,c=6,即6,6,6成
a+b+c6+bb+6
等差数列,且为z数列;
或6=12,c=18,即6,12,18成等差数列,且为Z数列;或6=30,c=54,即6,30,
54成等差数列,且为Z数列;
同样a=9,12,…,3"("6N*),…可得4c的值,使得它们成等差数列,且为Z数列.
综上可得存在等差数列是Z数列.
14.函数/(x)满足:对任意a,pGR,都有/(4)=qf(B)+p/(a),且/(2)=2,数
列{小}满足斯=f(2")(«6N+).
(1)证明数列{爱}为等差数列,并求数列{斯}的通项公式;
(2)记数列{尻}前〃项和为S,”且力尸皿誓,问是否存在正整数加,使得(〃计1)(S”
-4)+19狐<0成立,若存在,求机的最小值;若不存在,请说明理由.
解:(1)•.•数列{斯}满足a”=/(2")(〃eN+),
:.ci1=f(2)=2,
又•・•对任意a,peR,都有f(耶)=好(0)+伊(a),
,,+1n
:-an+\=f(2)=4(2")+2f(2)=2“"+2”+1,
两边同时除以2向得:器一言=1,
••♦数列就为等差数列,首项为号=1,公差为1,
=n,即即=〃・2".
2n
(2)由(1)可知力=以誓=等,
anL
ill11
得:Sn=2x1+3x—4-4x—+…+x几_]+(几+1)x
222z
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11111
-S=2x—+3x—++nx—4-(n+l)x1,
2n22232n2n+1
—-1111113n+3
两式相减得=~r+T7+•••+-(n+1)X——■+-=--,
2n21222n2n+1222n+1
・c_Q-+3
•,一$2^~•
假设存在正整数处使得(/n+1)(Sm-4)+19源VO成立,即2"'+机-16>0,
由指数函数与一次函数单调性知:F(M=2"'+,"-16,〃?CN+为增函数.
又,:F(3)=23+3-16=-5<0,F(4)=24+4-16=4>0,
当相24时恒有F(优)=2'n+m-16>0成立.
故存在正整数机,使得(/n+1)(S,„-4)+19源<0成立,,〃的最小值为4.
1
15.已知函数/(x)=:-x+〃加c.
(I)求/(x)在(1,/(1))处的切线方程(用含a的式子表示)
(II)讨论/(X)的单调性;
(III)若"x)存在两个极值点R,X2,证明:"勺)一”"2)Va-2.
解:(I)(x)=i—x+alnx(x>0),
:.f(x)=二/士卢1(x>o),
xL
.•.当x=l时,,f(1)=0,/(1)=-2+a,
设切线方程为y=(-2+a)x+b,代入(1,0),得6=2-4,
:.f(x)在(1,/(D)处的切线方程为y=(-2+67)x+2-a.
(II)函数的定义域为(0,+8),
函数的导数,(x)=弋尸_,
设g(x)=-/+or-1,注意到g(0)=-1,
①当。W0时,g(x)V0恒成立,即/(x)V0恒成立,此时函数/(x)在(0,+8)
上是减函数;
②当〃>0时,判别式△=/-4,
1°当0VaW2时,△《(),即g(x)WO,即/(x)<0恒成立,此时函数/G)在(0,
+°°)上是减函数;
,,人~、心a-yJa2-4a+Ja2—4
2°时,令/(x)>0,得:VxV-------;
2/
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令/G)<0,得:0<xV土牡或x>空甘;
a-y/a2-4a+Va2-4a-Va2-4
・••当tz>2时,/(x)在区间(---------,---------)单调递增,在(0,--------),
222
a+ya^-4
(---------,+8)单调递减;
2
综上所述,综上当时,/(x)在(0,+8)上是减函数,
,..CL—ylci^—4Q+'x/a、-4
当〃>2时,在(0,---------),(---------,+8)上是减函数,
22
八一、a-Va2-4a+Va2-4,0〜一皿
在区间(---------,---------)上是增函数.
22
(III)(2)由(1)知。>2,0<Xl<l<X2,XlX2=h
11
贝Uf(为)~f(X2)=----x\+alnx\-[——X2+〃/〃K2]
X
1%2
1
=(%2-xi)(H------)+aUnx\-lnxi)
xlx2
=2(%2-xi)+〃(/nxi-/«X2),
m(%2)ia(/nx1-Znx2)
则-----------=-2+----^―----,
%1~%2Xl-X2
则问题转为证明丝士3<1即可,
即证明lnx\-lnxi>x\-X2f
11
则lnx\-In—>x\---,
x14
即lnx\+lnx\>xi——,
X1
1
即证2/〃为>xi-h在(0,1)上恒成立,
X1
i
设人(%)=2阮”X+丁,(0<%<1),其中/z(1)=0,
X1
求导得h'(x)=--l-^=-x2~22+1=-^^-<0,
xxLXLXL
则h(x)在(0,1)上单调递减,
:小⑴乂⑴,即2仆x+L
1
故2
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