中考数学总复习《解直角三角形的应用题》专题测试卷（附答案）

第第页中考数学总复习《解直角三角形的应用题》专题测试卷（附答案）1．如图，小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地面离旗杆底部C处22米的A处放置高度为1.5米的测角仪AB，测得旗杆顶端D的仰角为32°，求旗杆的高度CD．（结果精确到0.1米）【参考数据：sin32°=0.53，cos32°=0.85，tan2．如图，在一次数学实践活动中，小明同学为了测量学校旗杆EF的高度，在观测点A处观测旗杆顶点E的仰角为45°，接着小明朝旗杆方向前进了7m到达C点，此时，在观测点D处观

测旗杆顶点E的仰角为60°．假设小明的身高为1.68m，求旗杆EF的高度．（结果保留一位小数．参考数据：2≈1.414，3．如图，在徐州云龙湖旅游景区，点A为“彭城风华”观演场地，点B为“水族展览馆”，点C为“徐州汉画像石艺术馆”．已知∠BAC=60°，∠BCA=45°，AC=1640m．求“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离AB（精确到1m）．（参考数据：4．大连作为沿海城市，我们常常可以在海边看到有人海钓．小华陪爷爷周末去东港海钓，爷爷将鱼竿AB摆成如图所示．已知AB=2.4m，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角∠BAD=45°．此时鱼线被拉直，鱼线BO=3m．点O恰好位于海面，鱼线BO与海面OH的夹角∠BOH=60°．求海面OH与地面AD之间的距离DH的长．（结果保留一位小数，参考数据：2=1.414，5．让运动挥洒汗水，让青春闪耀光芒．重庆某中学倡议全校师生“每天运动一小时，快乐学习每一天”，响应学校号召，小明决定早睡早起，每天步行上学．如图，小明家在A处，学校在C处，从家到学校有两条线路，他可以从点A经过点B到点C，也可以从点A经过点D到点C．经测量，点B在点A的正北方向，AB=300米．点C在点B的北偏东45°；点D在点A的正东方向，点C在点D的北偏东30°方向，CD=2900米．(1)求BC的长度（精确到个位）；(2)小明每天步行上学都要从点A到点C，路线一；从点A经过点B到点C，路线二；从点A经过点D到点C，请计算说明他走哪一条路线较近？（参考数据：2≈1.414，3≈1.732，6．拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形BCDE，BC的长度为60cm，两节可调节的拉杆长度相等，且与BC在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节AB时，AC与地面夹角∠ACG=53°；如图2，当拉杆伸出两节（AM、MB）时，AC与地面夹角∠ACG=37°，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（参考数据：sin53°≈45，sin37°≈37．某中学凤栖堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小刚站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角为53°，小强站凤栖堂门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角为45°，此时，两人的水平距离EC为0.45m，已知凤栖堂门前台阶斜坡CD的坡比为i=1:3．（参考数据：sin53°≈45，(1)计算台阶DE的高度；(2)求孔子雕像AB的高度．8．如图为某景区平面示意图，C为景区大门，A，B，D分别为三个风景点．经测量，A，B，C在同一直线上，且A，B在C的正北方向，AB=240米，点D在点B的南偏东75∘方向，在点A的东南方向．（参考数据：2≈1.414，(1)求B，D两地的距离；（结果精确到0.1米）(2)大门C在风景点D的南偏西60∘方向，景区管理部门决定重新翻修CD之间的步道，求CD9．小明和小玲游览一处景点，如图，两人同时从景区大门A出发，小明沿正东方向步行60米到一处小山B处，再沿着BC前往寺庙C处，在B处测得亭台D在北偏东15°方向上，而寺庙C在B的北偏东30°方向上，小玲沿着A的东北方向上步行一段时间到达亭台D处，再步行至正东方向的寺庙C处．(1)求小山B与亭台D之间的距离；（结果保留根号）(2)若两人步行速度一样，则谁先到达寺庙C处．（结果精确到个位，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，10．研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动，同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的3D扫描仪采集纪念碑的相关数据．数据采集：如图，点A是纪念碑顶部一点，AB的长表示点A到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面20米的点C处时，测得点A的仰角∠ACD=18.4°；然后沿CN方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角∠NCD=37°，当到达点A正上方的点E处时，测得AE=9米数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长．（结果精确到1米．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin18.4°≈0.32，11．【综合与实践】如图1，光线从空气射入水中会发生折射现象，其中α代表入射角，β代表折射角．学习小组查阅资料了解到，若n=sinαsinβ，则把n称为折射率．（参考数据：【实践操作】如图2，为了进一步研究光的折射现象，学习小组设计了如下实验：将激光笔固定在MN处，光线可沿PD照射到空容器底部B处，将水加至D处，且BF=12cm时，光点移动到C处，此时测得DF=16cm,BC=7cm，四边形【问题解决】(1)求入射角∠PDG的度数；(2)请求出光线从空气射入水中的折射率n．12．数学兴趣小组设计了一款含杯盖的奶茶纸杯（如图1），图2为该纸杯的透视效果图，在图3的设计草图中，由AF、线段EF和ED构成的图形为杯盖部分，其中AF、与ED均在以AD为直径的⊙O上，且AF=ED，G为EF的中点，点G是吸管插孔处（忽略插孔直径和吸管直径），由点A，B，C，D构成的图形（杯身部分）为等腰梯形，已知杯壁AB=13.6cm，杯底直径(1)求杯口半径OD的长；(2)若杯盖顶FE=3.2cm，吸管BH=22cm，当吸管斜插，即吸管的一端与杯底点B重合时，求吸管漏出杯盖部分GH的长．（参考数据：sin8413．为了保护小吉的视力，妈妈为他购买了可升降夹书阅读架（如图1)，将其放置在水平桌面上的侧面示意图（如图2)，测得底座高AB为2cm，∠ABC=150°，支架BC为18cm，面板长DE为24cm，CD(1)求支点C离桌面l的高度：（计算结果保留根号)(2)小吉通过查阅资料，当面板DE绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足30°≤α≤70°时，能保护视力．当α从30°变化到70°的过程中，问面板上端E离桌面l的高度是增加了还是减少了？增加或减少了多少？（精确到0.1cm，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.3414．如图，四边形ABCD是某公园的游览步道（步道可以骑行），把四个景点连接起来，为了方便，在景点C的正东方设置了休息区K，其中休息区K在景点A的南偏西30°方向8002米处，景点A在景点B的北偏东75°方向，景点B和休息区K两地相距4005米∠ABK<90°，景点D分别在休息区K、景点A的正东方向和正南方向．（参考数据：(1)求步道AB的长度；(2)周末小明和小宏相约一起去公园游玩，他们在景点C一起向正东出发，不久到达休息区K，他们发现有两条路线到达景点A，于是小宏想比赛看谁先到达景点A．他们分别租了一辆共享单车，两人同时在K点出发，小明选择①K−B−A路线，速度为每分钟320米；小宏选择②K−D−A路线，速度为每分钟240米，其中两人在各个景点停留的时间不计．请你通过计算说明，小明和小宏谁先到达景点A呢？15．某公园里有一座凉亭，亭盖呈圆锥状，如图所示，凉亭的顶点为O，点O在圆锥底面、地面上的正投影分别为点O1，O2，点P为圆锥底面的圆上一点，数据显示，该圆锥的底面半径为2米（即O1(1)若OO(2)现计划对亭盖的外部进行喷漆作业，需测算亭盖的外部面积（即圆锥的侧面积）．因凉亭内堆积建筑材料，导致无法直接测量OO2的高度，工人先在水平地面上选取观测点A，B（A，B，O2在同一直线上），利用测角仪分别测得点O的仰角为α，β，其中tanα=12，tanβ=25，再测得A，B16．赤水河畔的“美酒河”三个大字，是世界上最大的摩崖石刻汉字．小茜想测量绝壁上“美”字AG的高度，根据平面镜反射原理可推出入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角（如图中∠DEC=∠AEB，∠DFC=∠GFB），具体操作如下：将平面镜水平放置于E处，小茜站在C处观测，俯角∠MDE=45°时，恰好通过平面镜看到“美”字顶端A处（CD为小茜眼睛到地面的高度），再将平面镜水平放置于F处观测，俯角∠MDF=36.9°时，恰好通过平面镜看到“美”字底端G处．测得BE=163.3m，CE=1.5m，点C，E，F，B在同一水平线上，点A，G，B在同一铅垂线上．（参考数据：sin36.9°≈0.60，cos(1)CD的高度为__________m，CF的长为__________m；(2)求“美”字AG的高度．17．风能是一种清洁无公害的可再生能源，利用风力发电非常环保．如图1所示，是一种风力发电装置；如图2为简化图，塔座OD建在山坡DF上（坡比i=3:4，DE垂直于水平地面EF，O，D，E三点共线），坡面DF长10m，三个相同长度的风轮叶片OA，OB，OC可绕点O转动，每两个叶片之间的夹角为120°；当叶片静止，OA与OD重合时，在坡底F处向前走25米至点M处，测得点O处的仰角为53°，又向前走23.5米至点N处，测得点A处的仰角为30°（点E，F，M，N(1)求叶片OA的长；(2)在图2状态下，当叶片绕点O顺时针转动90°时（如图3），求叶片OC顶端C离水平地面EF的距离．（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈318．贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建AB，CD两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与AF平行的观光平台BC为50m．索道AB与AF的夹角为15°，CD与水平线的夹角为45°，A，B两处的水平距离AE为576m，DF⊥AF，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A，E，(1)求索道AB的长（结果精确到1m(2)求水平距离AF的长（结果精确到1m）．（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan19．春天是踏青的好季节，小明和小华决定去公园出游踏青．如图，已知A为公园入口，景点B位于A点东北方向4002米处，景点E位于A点南偏东30°方向，景点B在景点E的正北方向，景点C既位于景点B正东方向310米处，又位于景点D的北偏西37.5°方向．景点F既位于景点E的正东方向，又位于景点D的正南方向．DF=400（参考数据：2≈1.41，(1)求BE的长；（精确到个位）(2)小明选择了游览路线①：A−B−C−D，小明行驶的平均速度是72米/分，小明在景点B、C处各停留了10分钟、5分钟．小华选择了游览路线②：A−E−F−D，小华行驶的平均速度为96米/分．小华在景点E、F处各停留了9分钟、8分钟．请通过计算说明：小明和小华谁先到达景点D处．20．如图，是一种家用健身卷腹机，由圆弧形滑轨eq\o(\s\up4(⌒),\s\do2(AB))，可伸缩支撑杆AC和手柄AD构成．图①是其侧面简化示意图．滑轨eq\o(\s\up4(⌒),\s\do2(AB))支撑杆AC与手柄AD在点A处连接，其中D，A，B三点在一条直线上．(1)如图①，固定∠DAC=120°,若BC=306cm,AC=60(2)如图②，固定∠DAC=100°，若AC=50cm,∠ABC=30°时，圆弧形滑轨AB所在的圆恰好与直线BC相切于点B，求滑轨eq\o(\s\up4(⌒),\s\do2(AB))的长度．（结果精确到0.1，参考数据：π取3.14，sin70°≈0.940)参考答案：1．解：由题意得，BE⊥CD于E，BE=AC=22米，∠DBE=32°，在Rt△DBE中，DE=BE⋅CD=CE+DE=1.5+13.64≈15.14（米），答：旗杆的高CD约为15.14米．2．解：延长AD交EF于点G，设EG=x，∵AD∥BF，∴AG⊥EF，∴∠B=∠F=∠AGF=90°，∴四边形ABFG是矩形，∠AGE=90°，∵∠EAG=45°，∴∠AEG=90°−∠EAG=45°，∴AG=EG=x，∵AD=7，∴DG=x−7，∵∠EDG=60°，∴tan∠EDG∴xx−7∴x=7∴EG=7∵GF=AB=1.68，∴EF=EG+GF=≈=16.562+1.68=18.242≈18.2．故旗杆EF的高度约18.2m3．解：过B作BH⊥AC于H，设AH=xm∵∠BAC=60°，∴∠ABH=90°−60°=30°，∴AB=2AH=2xm∴tanA=∴BH=3xm∵∠BCA=45°，∠BHC=90°，∴△BHC是等腰直角三角形，∴CH=BH=3xm∵AH+CH=3x+x=AC=1640，∴x=1640∴AB=2x≈1201m答：“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之间的距离AB约是1201m4．解：过点B作BC⊥OH，交OH于点C，延长AD交BC于点E，∴四边形DECH是矩形，∴DH=CE．根据题意可知∠BAD=45°,∠BOH=60°，在Rt△ABE中，AB=2.4m∴sin∠BAE=即sin45°=解得BE=2.4×2在Rt△BOC中，BO=3m∴sin∠BOC=即sin60°=解得BC=3×3∴DH=CE=BC−BE=0.903≈0.9（m）．所以海面OH与地面AD之间得距离DH的长0．9m．5．（1）解：过点C作CM⊥AD交AD的延长线于点M，过点B作BN⊥AM交AM于点N，过点D作DH⊥BN交BN于点H．由题可知：∠CBN=45°，∠A=90°，∠CDM=60°．∴四边形ABNM、四边形ABHD、四边形DMNH都是矩形，△BCN是等腰直角三角形．在Rt△CMD∵∠CDM=60°，CD=2900米，∴DM=12DC=1450∵AB=MN=300米，∴CN=CM−MN=1450在Rt△CBN中，∠CBN=45°∴CB=2CN=1450答：BC的长度为3127米．（2）解：路线一：AB+BC=300+14506−300∵AM=BN=CN=1450∴AD=AM−DM=1450∴路线二：AD+CD=14503+1150∵3427<3361，∴路线二较近．6．解：如图1，作AF⊥CG，垂足为F，设AB=xcm，则AC=60+x∵sin53°=∴AF=60+x如图2，作AH⊥CG，垂足为H，则AC=60+2x，∴AH=60+2x⋅∵AF=AH，∴60+x∴4解得：x=30．答：每节拉杆的长度为30cm．7．（1）解：∵凤栖堂门前台阶斜坡CD的坡比为i=1:3，EC为0.45m∴DEEC∴DE=EC即台阶DE的高度为0.15m（2）解：如图所示，设AB的对边为MN，作DF⊥MN于F，∴由题意得，四边形NFDE是矩形，∴FN=DE=0.15m，DF=NE设MN=xm，则MF=在Rt△MFD中，∠MDF=45°∴FD=MF=x−0.15∴NC=NE−EC=x−0.15∴tan53°=MNNC解得x=2.4，经检验，x=2.4是原方程的解，答：孔子雕像AB的高度约2.4m8．（1）解：过点B作BP⊥AD于点P，由题意知∠BAD=45∘，∴∠ADB=30∘，∴BD=2BP，AP=BP，在Rt△ABP中，AB=240∴AP=BP=AB∴BD=2BP=2402答：B、D两地的距离约为339.4米；（2）解：过点B作BM⊥CD于点M，由（1）得BD=2BP=2402∵∠CDB=180∘−60∘∴∠DBM=45∴BM=DM，在Rt△BDM中，BD=2402，∴BM=DM=BD⋅sin在Rt△BCM中，∠CBM=∴CM=BM⋅tan∴DC=DM+CM=240+8039．解：（1）作BE⊥AD于点E，由题意知，AB=60，∠A=45°，∠ABD=90°+15°=105°，∠CBA=90°+30°=120°，∠ADB=180°−105°−45°=30°在Rt△ABE中，在Rt△BDE中，ED=3BE=30∴小山B与亭台D之间的距离602（2）延长AB，作DF⊥BA于点F，作CG⊥BA于点G，则∠CBG=180°−∠CBA=60°，由题意知，CD∥AB，∴四边形CDFG是矩形，∴CG=DF,CD=FG．∵AE=302，ED=30∴AD=302在Rt△AFD中，DF=AF=AD2在Rt△BCG中，BG=CG∴CD=FG=AB+BG−AF=60−20∴SS明∵141.2<154.6且两人速度一致，∴小玲先到．答：小玲先到达寺庙C处．10．解：如图：延长CD交AB于点H，则四边形CMBH为矩形，∴CM=HB=20，在Rt△ACH中，∠AHC=90°，∠ACH=18.4°∴tan∴CH=AH在Rt△ECH中，∠EHC=90°，∠ECH=37°∴tan∴CH=EH设AH=x．∵AE=9，∴EH=x+9，∴x0.33=∴AB=AH+HB≈7.1+20=27.1≈27（米）．答：点A到地面的距离AB的长约为27米．11．（1）解：如图1，∵GH∥FB，∴∠DBF=∠PDG,∵BF=12∴∵tan∴入射角∠PDG约为53°．（2）解：如图2，作DM⊥AB于点T，在Rt△BDF中，BF=12∴BD=在Rt△DTC中，TC=DF−BC=16−7=9∴CD=∴光线从空气射入水中的折射率，n=∴光线从空气射入水中的折射率n=412．（1）解：过点B作BP⊥AD于点D，过点C作CQ⊥AD于点Q，延长BC到点R，∴四边形BCQP是矩形，∴BC=QP，BP=CQ，∵AB=13.6cm，杯底直径BC=5.8cm，杯壁与直线l的夹角为点A，B，C，D构成的图形（杯身部分）为等腰梯形，∴AD∥BC，CD=AB=13.6cm，QP=BC=5.8∴∠A=∠D=∠DCR=84°，∵BP=CQ，CD=AB，∴Rt△ABP≌∴AP=DQ，∴AP=DQ=CDcosCQ=CDsin∴AD=2AP+PQ=DQ=2×1.428+5.8=8.656cm∴OD=1故杯口半径OD的长为4.3cm（2）解：连接GO，并延长交BC于点N，∵G为EF的中点，∴GO⊥EF,EG=FG=1连接FD，∵AF∴∠EFD=∠ADF,∴AD∥EF，∴GO⊥AD，∵AD∥BC，∴GO⊥BC，∴NO=13.532cm，∴GO=4.3∴GN≈17.532cm∴GB=17.532∴GH=BH−GB=22−17.77≈4.213．（1）解：过点C作CF⊥l于点F，过点B作BM⊥CF于点M，∴∠CFA=∠BMC=∠BMF=90°．由题意得：∠BAF=90°，∴四边形ABMF为矩形，∴MF=AB=2cm，∠ABM=90°∵∠ABC=150°，∴∠MBC=60°．∵BC=18cm∴CM=BC⋅sin∴CF=CM+MF=9答：支点C离桌面l的高度为93（2）解：过点C作CN∥l，过点E作EH⊥CN于点∴∠EHC=90°．∵DE=24cm，CD=6∴CE=18cm当∠ECH=30°时，EH=CE⋅sin当∠ECH=70°时，EH=CE⋅sin∴16.92−9=7.92≈7.9∴当α从30°变化到70°的过程中，面板上端E离桌面l的高度是增加了，增加了约7.9cm14．（1）解：由题意得，∠DAK=30°，∠BAD=75°，∠D=90°，AK=8002米，BK=400∴∠BAK=∠BAD−∠DAK=75°−30°=45°，过点K作KH⊥AB于H，则∠AHK=∠BHK=90°，∴△AHK为等腰直角三角形，∴AH=KH=2∴BH=B∴AB=AH+BH=800+400=1200米；（2）解：∵AK=8002，∠DAK=30°，∠D=90°∴DK=12AK=400∴路线②K−D−A的路程为KD+AD=4002∴小宏到达景点A的时间为1544÷240≈6.43分钟，∵路线①K−B−A的路程为KB+BA=4005∴小明到达景点A的时间为2096÷320≈6.55分钟，∵6.43<6.55，∴小宏先到达景点A．15．（1）解：由题意得：∠OO∵OO1=2∴OP=22（米)∴圆锥的侧面积=π×22×2=42答：圆锥的侧面积为42（2）解：由题意得：∠OQM=90°．设OQ长x米．∵tan∴MQ=2x米．∵MN=m米，∴NQ=(m+2x)米．∵tan∴xm+2x解得：x=2m．∵O1O∴OO∵O1P=2∴OP=22+∴圆锥的侧面积=π×2m2−2m+2答：亭盖的外部面积为4πm16．（1）解：∵∠MDE=45°，∴∠DEC=45°，∵DC⊥BC，∴△DCE是等腰直角三角形，∴DC=CE=1.5m在Rt△DCF中，∠DFC=36.9°，DC=1.5∴DF=DC∴CF=D故答案为：1.5，2；（2）∵∠DEC=45°，∴∠AEB=45°，∴∠BAE=45°，∴AB=BE=163.3m由题意可知∠MDF=36.9°，∴∠GFB=∠DFC=∠MDF=36.9°∵EF=CF−CE=2−1.5=0.5(m∴BF=163.3−0.5=162.8(m在Rt△BFGBG=tan∴AG=163.3−122.1=41.2(m即“美”字的高度AG约为41.2m17．（1）解：∵DE垂直于水平地面EF，∴∠E=90°，∵坡比i=3:4，∴DEEF设DE=3xm，则EF=4x∵坡面DF长10m∴(3x)2解得：x=2，（负值舍去）∴DE=6m，EF=8∵MF=25m∴ME=MF+EF=33m由题意得：∠OME=53°，∴OE=ME⋅tan∵MN=23.5m∴NE=ME+MN=56.5m由题意得：∠N=30°，∴AE=NE⋅tan∴OA=OE−AE=44−32=12m（2）如图，过点C作CH⊥OE于点M，CG⊥NE于G，∴∠CHE=∠HEG=∠CGE=∠CHO=90°，∴四边形HEGC是矩形，∴EH=CG，∵叶片绕点O顺时针转动90°，∴∠AOE=90°，∵∠AOC=120°，∴∠COH=30°，由题意得：OC=OA=12m∴OH=OCcos∴CG=HE=OE−OH=44−63∴叶片OC顶端C离水平地面EF的距离为34m18．（1）解：在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∠A=15°，AE=576∴AB=AE答：索道AB的长约为594m（2）延长BC交DF于点G，∵BC∥AF，DF⊥AF，∴DG⊥CG．∴四边形BEFG为矩形．∴EF=BG．∵CD=AB≈594m，∠DCG=45°∴CG=CD·cos∴AF=AE+EF=AE+BG=AE+BC＋答：水平距离AF的长约为104519．（1）解：如图所示，过点A作AH⊥BE于点H，∵∠BAH=45°，AB=4002米，∴AH=