数学教材习题点拨：直接证明与间接证明

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精教材习题点拨思考1解：综合法证明是“由因导果”，分析法证明是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法,分析法便于寻找解题思路，而综合法便于叙述，应注意两种方法在解题中的综合应用．在综合法中:①明确推证方向,选择最佳途径是综合法的难点;②在顺推中，联系最终结果进行猜想,防止迷路和剪除无用的中间过程,这是一个猜证结合点．在分析法中：①步步追溯的条件都是结论成立的充分条件(当然，充要条件更好）,因此，分析法的表述中都是倒箭头“"或双箭头“⇔”，即为果因，绝不可果⇒因；②在追溯中要时时联系已知条件P进行猜想，选择最佳途径，这也是一个猜证结合点．当所证结论与所给条件之间的关系不明确时，常采用分析法证明，但更多的时候是综合法与分析法结合使用，先看条件能够提供什么，再看结论成立需要什么，从两头向中间靠拢,逐步接通逻辑思路．练习11．证明：因为cos4θ－sin4θ＝(cos2θ＋sin2θ）（cos2θ－sin2θ)＝cos2θ,所以命题得证．2．证明：要证eq\r(6)＋eq\r（7）＞2eq\r（2)＋eq\r(5)，只需证(eq\r(6）＋eq\r(7)）2＞（2eq\r（2)＋eq\r（5）)2，即证13＋2eq\r（42）＞13＋2·2eq\r(10),即证eq\r(42）＞eq\r(40），即证42＞40,这是显然成立的．所以原命题得证．3．证明：因为(a2－b2)2＝（a－b)2（a＋b）2＝(2sinα)2（2tanα)2＝16sin2αtan2α，又因为16ab＝16（tanα＋sinα）(tanα－sinα）＝16eq\f（sinα(1＋cosα)，cosα）·eq\f(sinα（1－cosα）,cosα)＝16eq\f(sin2α(1－cos2α)，cos2α)＝16eq\f（sin2αsin2α，cos2α）＝16sin2αtan2α,从而(a2－b2)2＝16ab.所以命题成立．点拨：进一步熟悉运用综合法、分析法证明数学命题的思考过程与特点．练习21．证明:假设∠B不是锐角，则∠B≥90°.因此∠C＋∠B≥90°＋90°＝180°.这与三角形的内角和等于180°矛盾．所以假设不成立．从而,∠B一定是锐角．2．证明：假设eq\r（2),eq\r（3）,eq\r(5）成等差数列，则2eq\r(3）＝eq\r(2）＋eq\r(5）.所以(2eq\r(3)）2＝(eq\r（2)＋eq\r（5）)2。化简,得5＝2eq\r（10)，从而52＝(2eq\r（10))2，即25＝40。这是不可能的．所以假设不成立．从而eq\r(2）,eq\r（3),eq\r(5）不可能成等差数列．习题2.2A组1．证明：因为（1＋tanA)（1＋tanB)＝2，展开，得1＋tanA＋tanB＋tanA·tanB＝2，即tanA＋tanB＝1－tanA·tanB．①因为A＋B≠eq\f（π,2），所以A≠eq\f(π，2）－B。因为A,B都是锐角，所以A，eq\f（π,2)－B都是锐角．从而tanA≠tan（eq\f（π，2)－B)，所以tanA·tanB≠1，即1－tanA·tanB≠0.①式变形，得eq\f(tanA＋tanB，1－tanAtanB)＝1，即tan（A＋B)＝1。因为A，B都是锐角，所以0°＜A＋B＜180°,从而A＋B＝eq\f（π,4）。点拨：本题也可以把综合法与分析法综合使用完成证明．2．证明:因为PD⊥平面ABC,所以PD⊥AB.因为AC＝BC，所以△ABC是等腰三角形．因此△ABC底边上的中线CD也是底边上的高．因而CD⊥AB.所以AB⊥平面PDC.因此AB⊥PC。3．证明：因为a，b,c的倒数成等差数列，所以eq\f(2，b）＝eq\f(1,a)＋eq\f（1,c）。假设B＜eq\f(π，2）不成立，即B≥eq\f（π，2），则B是△ABC的最大内角，所以b＞a，b＞c(在三角形中，大角对大边）,从而eq\f（1，a)＋eq\f(1,c)＞eq\f(1，b)＋eq\f(1,b)＝eq\f(2，b）。这与eq\f（2，b）＝eq\f（1，a）＋eq\f（1，c）矛盾．所以假设不成立．因此，B＜eq\f（π，2）。B组1．证明:因为eq\f(1－tanα,2＋tanα)＝1，所以1＋2tanα＝0，从而2sinα＋cosα＝0.另一方面，要证3sin2α＝－4cos2α，只要证6sinαcosα＝－4(cos2α－sin2α)，即证2sin2α－3sinαcosα－2cos2α＝0，即证(2sinα＋cosα)（sinα－2cosα）＝0.由2sinα＋cosα＝0,可得（2sinα＋cosα）(sinα－2cosα)＝0，于是命题得证．点拨：本题可以单独使用综合法或分析法进行证明，但把综合法和分析法结合使用进行证明的思路更清晰．2．证明：由已知条件，得b2＝ac，①2x＝a＋b,2y＝b＋c.②要证eq\f(a,x）＋eq\f(c,y)＝2,只要证ay＋c