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文档简介

第五章主成分分析由于多个变量之间都存在着相关性，故为了使复杂的问题更加清楚，因此就设计将原来的变量重新线性组合成若干个互不相关的综合指标来代替原来的变量，并尽可能提取原来变量的信息来解释原有变量的协方差结构，这就是主成分分析。§5.1主成分分析的基本模型当原始变量之间存在相关关系时，通过原来变量的少数几个线性组合来解释原来变量以实现降维的多元统计方法，称为主成分分析。主成分与原始变量间的关系：(1)、每一个主成分都是各原始变量的线性组合。(2)、主成分的数目大大少于原始变量的数目。(3)、主成分保留了原始变量绝大部分信息。(4)、各个主成分之间互不相关。一、基本模型假设研究对象是个样本，个变量的数据，则有即构造新的变量即其中原则：1、与不相关2、是的线性组合中方差最大者（即最大）；与不相关的的线性组合中方差最大者（即最大）；…；与都不相关的的线性组合中方差最大者（即最大）。其中：协方差阵分别称为原始变量的第一主成分、第二主成分、…、第主成分。

二、主成分的推导第一主成分：构造目标函数对求导得即为正交阵，为的方差值，若的特征根为，的最大方差值为，相应的单位化特征向量为。同理：的最大方差值为，相应的单位化特征向量为，

因此，主成分为其方差分别为的特征根。§5.2主成分的性质性质1主成分的协方差阵为对角阵其中性质2主成分的总方差等于原始变量的总方差，性质3主成分与原始变量的相关系数为并称其为主成分载荷。§5.3主成分的选取称为第个主成分的方差贡献率称为前个主成分的累积方差贡献率累积方差贡献率越大，表示所选的少数几个主成分解释随机向量的差异的能力越强，通常取，使得主成分对的作用：由于为正交阵，故由有即表明：是的线性组合，反映了对的作用。如果中只有不等于0，则只对起作用，这时称为特殊主成分；如果中每一个分量均不等于0，说明对的各分量都起作用，这时称为公共主成分。则有：即：称为的方差贡献率，为前个主成分对的方差贡献率。§5.4主成分的实例分析例5.1选取100个学生作为研究对象，分别记录他们的数学、物理、化学、语文、历史、英语的成绩，如表所示。进行主成分分析。

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