专题271期末测试卷（拔尖）（沪科版）

期末测试卷（拔尖）【沪科版】参考答案与试题解析选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2023上·江苏镇江·九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是(3,a)(a>3)，半径为3，函数y=x的图像被⊙A．4 B．3+2 C．32 D【答案】B【分析】作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连接PB，求出D点坐标为(3,3)，可得△OCD为等腰直角三角形，从而△PED也为等腰直角三角形．根据垂径定理得AE=【详解】解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于∵⊙P的圆心坐标是(3,∴OC=3,把x=3代入y=x∴D点坐标为(3,3)，∴CD=3∴△OCD∴∠PDE∵PE⊥∴△PED为等腰直角三角形，AE在Rt△PBE中，∴PE=∴PD=∴a=3+故选B．【点睛】本题考查了一次函数的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，以及垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．正确作出辅助线是解答本题的关键．2．（3分）（2023上·福建福州·九年级校考期末）如图：AB是⊙O的直径，AC是弦，过弧AC的中点P作弦PQ⊥AB，交AB于D，交AC

A．AE=PE B．AC=PQ C．【答案】D【分析】连接AP，PB，根据直径所对的圆周角是直角可得∠APB=90°，从而可得∠PAB+∠PBA=90°，再根据垂径定理可得AP=AQ，∠ADP=∠BDP=90°，从而可得∠PAB+∠APD=90°，进而利用同角的余角相等可得∠APD=∠PBA，然后根据等弧所对的圆周角相等可得∠PBA=∠PAC，从而可得∠PAC【详解】解：连接AP，PB，

∵AB是⊙O的直径，∴∠APB=90°∴∠PAB+∠∵PQ⊥AB∴AP=AQ，∠∴∠PAB+∠∴∠APD=∠∵点P是AC的中点，∴AP=CP∴∠PBA=∠∴∠PAC=∠∴EA=EP，故A∵AP=AQ，AP∴AP=AQ∴AP+AQ∴PQ=AC∴PQ=AC，故B∵∠ADP=∠BDP=90°∴△DPA∴PDBD=AD∴PD2=AD⋅BD连接AQ，PC，

∵∠AQP=∠ACP，∴△AEQ∽△∴AEPE=∴AE⋅EC=PE⋅EQ故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．3．（3分）（2023上·江苏南京·九年级统考期末）如图，AB为⊙O的直径，PB，PC分别与⊙O相切于点B，C，过点C作AB的垂线，垂足为E，交⊙O于点D．若CD=A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】作CH⊥PB于H，由垂径定理得到CE的长，从而求出PH的长，由勾股定理求出CH的长，即可求出【详解】解：作CH⊥PB于∵直径AB⊥CD于∴CE=∵PC，PB分别切⊙O于C，B∴PB=PC=∴四边形ECHB是矩形，∴BH=CE=∴.PH∴.CH∴BE=故选：C．【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，矩形的判定与性质，勾股定理，关键是通过辅助线构造直角三角形，应用勾股定理求出CH的长．4．（3分）（2023上·四川绵阳·九年级校联考期末）如图，⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为M，N，Q，已知∠ABC=90°，CM=2，A．12 B．32 C．1 D【答案】C【分析】连接OM、ON、OQ，根据切线长定理可得，AN=AM=3、CQ=CM=2，∠ONB【详解】连接OM、ON、OQ，根据切线长定理可得，AN=AM=3、CQ又∵ON=OQ∴四边形ONBQ为正方形，即QB=在Rt△ABC中，∵CM=2，AM∴AB=3+r，BC=2+∴(3+解得r1=1，∴⊙O的半径为1故选：C．【点睛】本题考查了切线长定理及内切圆、勾股定理知识，熟练运用切线长定理是解题的关键．5．（3分）（2023上·山东威海·九年级统考期末）如图，等边三角形ABC的内切圆与三边的切点分别为点D,E,F．若A．π2 B．334 C．3【答案】C【分析】如图所示，连接DF，设等边三角形ABC的内切圆圆心为O，连接OD，OF，证明DE，DF，EF都是△ABC的中位线，得到DE=DF=EF=12AB=3，则△DEF是等边三角形，得到【详解】解：如图所示，连接DF，设等边三角形ABC的内切圆圆心为O，连接OD，∵△ABC∴AB=∵⊙O是△∴点O是△ABC∵等边三角形ABC的内切圆与三边的切点分别为点D,∴OD⊥∴点D为AB的中点，同理，E、F也是对应边的中点，∴DE，DF，∴DE=∴△DEF∴∠DEF∴∠DOE过点O作OG⊥DF于G，则DG=∴∠ODG∴OD=2∵OD∴OD∴OD=1∴S=2×=3故选C．【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，三角形中位线定理，等边三角形的性质与判定，扇形面积，正确作出辅助线是解题的关键．6．（3分）（2023下·山东烟台·九年级统考期末）如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知树的高度AB=3m，树影AC=4m，树AB与路灯O的水平距离AP=6A．2m B．4.5m C．7.5m【答案】C【分析】根据相似三角形的判定与性质直接求解即可．【详解】解：∵根据题意可知AB∥∴∠C=∠C∴ΔCAB∴ABAC=POPC，即∴路灯高PO的长是7.5m，故选：C．【点睛】本题考查中心投影以及相似三角形的应用，测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边成比例和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．7．（3分）（2023上·陕西咸阳·九年级统考期末）如图，两个质地均匀的转盘被分成几个面积相等的扇形，分别自由转动一次，当转盘停止后，指针各指向一个数字所在的扇形（如果指针恰好指在分隔线上，那么重转一次，直到指针指向某一数字为止）．将两指针所指的两个扇形中的数相乘，积为偶数的概率是（

）A．13 B．23 C．12【答案】B【分析】画树状图，共有6个等可能的结果，两指针所指的两个扇形中的数相乘，积为偶数的结果有4个，再由概率公式求解即可．【详解】画树状图如图：共有6个等可能的结果，两指针所指的两个扇形中的数相乘，积为偶数的结果有4个，∴两指针所指的两个扇形中的数相乘，积为偶数的概率为46故选：B．【点睛】本题考查了列表法与树状图法，解题的关键为会列表法或树状图法展示出所有等可能的结果．8．（3分）（2023上·湖北武汉·九年级统考期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，O为BC的中点，将△ABC绕点O顺时针旋转得到△DEF，D、E分别在边AC和CAA．943 B．323 C．【答案】D【分析】连接OA,OD，根据等腰三角形的性质可得∠AOC=90°，∠OAC=12∠BAC=60°，∠【详解】解：连接OA,

∵AB=AC，∠BAC=120°∴∠AOC=90°，∠OAC∵将△ABC绕点O顺时针旋转得到△∴OA∴△AOD是等边三角形，OD∴AO∴∴CD∴∠DOC∴∠COF∴△COF∴∠OFC∴DF垂直平分OC∴∠DFO∴DH∴FH∴OC∴==27故选：D【点睛】本题主要考查了旋转的性质、含30°角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．9．（3分）（2023上·浙江宁波·九年级统考期末）如图，在等边△ABC中，AB=4，点D为AB的中点，动点E、F分别在AD、BC上，且EF=23，作△BEF的外接圆⊙O，交AC于点G、A．一直不变 B．一直变大 C．先变小再变大 D．先变大再变小【答案】D【分析】由等腰三角形的性质可求ON=1，FO=OB=GO=OH=2，则点O在以点B为圆心，2为半径的圆上运动，由勾股定理可求GH，即可求解．【详解】如图，连接BO，EO，FO，GO，HO，过点O作ON⊥EF于N，OP⊥GH于P，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°∴∠EOF=120，∵OE=OF，ON⊥EF，∠OEF=∠OFE=30°EN=FN=3，OF=2ON，FN=3ON，ON=1，FO=2，OB=GO=OH=2，∴点O在以点B为圆心，2为半径的圆上运动，∴OG=OH，OP⊥GH，∴GH=2PH，∵PH=OGH=2∵动点E从点D向点A运动时，OP的长是先变小再变大，∴GH的长度是先变大再变小，故选：D．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，确定点O的运动轨迹是解题的关键．10．（3分）（2023上·山东滨州·九年级统考期末）如图，⊙O的直径AB为10，弦AC为6，∠ACB的平分线交⊙O于D，AB与CD交与点E，其中正确的个数为（

）（1）BC＝8，AD=52；（2）求点O到弦BD的距离为522；（3）CEA．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】A【分析】如图，作CF⊥AB，连接OD，作OM⊥BD于M，勾股定理可求BC的值，由题意知AD=BD=22AB=52，△ADB是等腰直角三角形，进而可判断①的正误；由题意知OM是点O到弦BD的距离，OM是△ABD的中位线，OM=12AD=522，进而可判断②的正误；根据S△ABC=12AB×CF=12AC×BC可求CF的值，勾股定理求AF的值，OF=【详解】解：如图，作CF⊥AB，连接OD，作OM⊥∵AB是直径，∴∠ACB∵AB=10，AC∴BC=∵CD是∠ACB的角平分∴∠ACD∴∠DBA∴∠DAB∴AD=∴△ADB故①正确；由题意知OM是点O到弦BD的距离，∵∠OMB∴OM∥∵O是AB的中点，∴OM是△ABD∴OM=故②正确；∵S△解得CF=∴AF=∴OF=∵△ADB∴DO⊥∴DO=∵CF⊥∴DO∥∴∠FCE又∵∠CEF∴△CEF∴CFDO245解得EF=2435在Rt△CEF中，由勾股定理得∴DE=CD=故③正确；∵AC+BC=14∴AC+故④正确；∴①②③④均正确；故选A．【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为90°，角平分线，等腰三角形的判定与性质，中位线，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2023下·山东烟台·九年级统考期末）在同一时刻两根垂直于水平地面的木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB=2.5m，它的影子BC=2m，木竿PQ的影子有一部分落在了墙上(MN【答案】3m【分析】过N点作ND⊥PQ于D，根据同一时刻物高与影长成正比求出QD的影长，再根据此影长列出比例式求解即可．【详解】解：如图：过N点作ND⊥PQ于D，∴四边形DPMN是矩形∴DN=PM,PD=MN∴BCAB又∵AB=2.5，BC=2，DN=PM=1.6，NM=1，∴QD=AB•DNBC=2.5×1.62∴PQ=QD+DP=QD+NM=2+1=3（m）．故答案为3m．【点睛】本题考查了平行投影；在运用投影的知识解决实际问题时，要能够从实际问题中抽象出简单的数学模型是解答本题的关键．12．（3分）（2023上·陕西延安·九年级校考期末）如图，正方形AOBC的顶点O在原点，边AO，BO分别在x轴和y轴上，点C坐标为4,4，点D是BO的中点，点P是边OA上的一个动点，连接PD，以P为圆心，PD为半径作圆，设点P横坐标为t，当⊙P与正方形AOBC的边AC相切时，t的值为

【答案】3【分析】由点C的坐标可得出OA，OB的长度，结合点D是BO的中点可得出OD的长度，当⊙P与AC相切时，在Rt△DOP中，利用勾股定理可得出关于t【详解】解：∵点C坐标为4,4，点D是BO的中点，四边形AOBC是正方形，∴OA=OB=4当⊙P与AC相切时，如图1

∵点P横坐标为t，∴PA=4-在Rt△DOP中，OD=2，OP∴PD2=解得：t=故答案为：32【点睛】本题考查了切线的性质、坐标与图形性质以及正方形的性质，利用勾股定理找出关于t的方程是解题的关键．13．（3分）（2023下·上海浦东新·九年级校考期末）不透明的布袋里有2个黄球、3个红球，它们除颜色外其它都相同，那么（1）从布袋中任意摸出一个球，这个球恰好是红球的概率是．（2）从布袋中一次摸出两个球，这两个球颜色相同的概率是．【答案】35/0.625【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）列表得出所有可能出现的结果，从中找出符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【详解】（1）解：从布袋中任意摸出一个球，这个球恰好是红球的结果有3种，∴恰好是红球的概率为：35故答案为：35（2）列表如下：红红红黄黄红（红，红）（红，红）（黄，红）（黄，红）红（红，红）（红，红）（黄，红）（黄，红）红（红，红）（红，红）（黄，红）（黄，红）黄（红，黄）（红，黄）（红，黄）（黄，黄）黄（红，黄）（红，黄）（红，黄）（黄，黄）由表知，共有20种可能出现的结果，其中另个颜色相同的结果有8种，所以这两个球颜色相同的概率为：820故答案为：25【点睛】本题考查了概率公式和利用列表法和画树状图法求概率，注意列表法和画树状图法不要遗漏和重复出现的结果是解题的关键．14．（3分）（2023上·辽宁辽阳·九年级统考期末）用几个小正方体堆一个几何体，从正面和从上面看到的形状图如图所示，则需要的小正方体个数最多为个．【答案】9【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数．【详解】解：由俯视图可得最底层有6个小正方体，由主视图可得第一列、第二列和第三列都可以有2个正方体，那么最多需要6+3=9个正方体．故答案为：9．【点睛】本题考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．解题的关键是掌握从俯视图入手来考虑．15．（3分）（2023上·河南南阳·九年级统考期末）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=4，点M，N分别为边AB，BC上的点，且MN=2．点D，E分别是BC，MN的中点，点P为斜边AC【答案】2【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BE=12MN=1，则点E在以B为圆心1为半径的圆上运动，作D点关于AC的对称点G，连接BG，交AC于点P，当B、E、G三点共线时PE+PD有最小值EG【详解】解：∵等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，∴BC=AB=4∵点D是BC的中点，∴CD连接BE，∵∠B=90°，点M，N分别为边AB，BC上的点，且MN=2，E∴BE∴点E在以B为圆心1为半径的圆上运动，作D点关于AC的对称点G，连接BG，交AC于点P，当B、E、G三点共线时PE+∵D点关于AC的对称点G，∴AC垂直平分DG∴DC=CG=2，∴∠DCG=∴BG∴PE+PD故答案为：2【点睛】本题考查轴对称求最短距离，等腰直角三角形的性质，求圆上的点与圆外点的距离，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理等知识，熟练掌握轴对称求最短距离的方法和得出点E的运动轨迹是解题的关键．16．（3分）（2023·四川成都·统考一模）如图直线y=-x+m(m>0)与x轴、y轴分别交于点A，B，C是AB的中点，点D在直线y=-2上，以CD为直径的圆与直线AB的另一交点为E，交y轴于点F，G，已知

【答案】3【分析】如图，设CD的中点为O′，设直线BA交直线y＝﹣2于M，直线y＝﹣2交y轴于P，作CH⊥OB于H，连接O′F，作AJ⊥DM于J，O′N⊥FG于N．首先利用等腰直角三角形的性质和条件CE+DE=62可确定A，B，C的坐标，再设D（m，﹣2），进而可得O′N与O′F的长，而FN＝12FG=5【详解】解：如图，设CD的中点为O′，设直线BA交直线y＝﹣2于M，直线y＝﹣2交y轴于P，作CH⊥OB于H，连接O′F，作AJ⊥DM于J，O′N⊥FG于N．

∵CD是⊙O′的直径，∴∠CED＝90°，∵直线y＝﹣x+m（m＞0）与x轴、y轴分别交于点A，B，∴A（m，0），B（0，m），∴OA＝OB，∴∠OAB＝45°，∵OA∥DM，∴∠EMD＝∠OAB＝45°，∵∠DEM＝90°，∴ED＝EM，∴EC+ED＝EC+EM＝CM＝62∵JA⊥DM，∴∠AJM＝90°，∴AJ＝JM＝2，AM＝22，∴BC＝CA＝42，∴AB＝82，∴BO＝AO＝8，∴A（8，0），B（0，8），C（4，4），设D（m，﹣2），则O′（12（m+4），1∴O′N＝12（m+4），O′F＝12CD＝∵O′N⊥FG，∴FN＝12在Rt△O′FN中，由勾股定理，得：52+14m∴CD＝1-42故答案为：35【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、垂径定理、一次函数与坐标轴的交点和两点间的距离等知识，解题的关键是添加常用辅助线构造特殊三角形解决问题，具有相当难度，属于中考填空题中的压轴题．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2023上·江苏扬州·九年级统考期末）如图，是一个由7个正方体组成的立体图形．(1)画出该几何体的主视图、左视图和俯视图；(2)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持俯视图和左视图不变，最多可以再添加______块小正方体．【答案】(1)见解析(2)4【分析】（1）根据简单组合体三视图的画法画出相应的图形即可；（2）在俯视图上相应位置备注出相应摆放的数目即可．【详解】（1）解：主视图、左视图和俯视图如下图所示：（2）解：在俯视图上相应位置备注出相应摆放小正方体的数目如图所示：所以最多可以添加4块小正方体．【点睛】本题主要考查了画三视图、根据三视图求小立方块最多最少的个数等知识点；根据几何体正确做出三视图是解题的关键．18．（6分）（2023上·山西太原·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P2,3是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为A0,1，(1)实际操作：利用尺规过点P作CD的垂线，垂足为M，交AB于点N（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）(2)解决问题：求木杆AB在x轴上的投影CD的长．【答案】(1)答案见解析(2)9【分析】（1）根据垂线的作法即可解决问题；（2）证明△PAB∽△PCD【详解】（1）解：如图，PM即为所求；（2）解：∵A(0,1)，∴AB∥x∵点P(2,3)∴PM=3，∴Δ∴ABCD∴3CD∴CD即木杆AB在x轴上的投影CD长为92【点睛】本题考查作图-基本作图，坐标确定位置，中心投影，理解中心投影的意义，掌握相似三角形的性质是正确解答的关键．19．（8分）（2023上·山东济宁·九年级统考期末）我市有A，B，C，D，E五个景区很受游客喜爱，一旅行社对某小区居民在暑假期间去以上五个景区旅游（只选一个景区）的意向做了一次随机调查统计，并根据这个统计结果制作了如下两幅不完整的统计图：

(1)该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是________人，m＝________(2)若该小区有居民1200人，试估计去B地旅游的居民约有多少人？(3)小军同学已去过E地旅游，暑假期间计划与父母从A，B，C，D四个景区中，任选两个去旅游，求选到A，C两个景区的概率．（要求画树状图或列表求概率）【答案】(1)200；35(2)420人(3)1【分析】（1）用想去D景区的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再计算想去B景区的百分比得到m的值；（2）用1200乘以B区所占比值可估计该景区旅游的居民大约人数；（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出选到A，C两个景区的结果数，然后根据概率公式计算．【详解】（1）解：该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是20÷10%=200m%∴m=35（2）估计去B地旅游的居民约有1200×35%（3）画树状图如下：

由树状图知，共有12种等可能结果，其中选到A，C两个景区的有2种结果，所以选到A，C两个景区的概率为212【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率是解题的关键．20．（8分）（2023上·北京·九年级人大附中校考期中）已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接BC，过点O作OD⊥BC于D，交弧BC于点E，连接AE，交

(1)如图1，求证：∠BAC(2)如图2，连接OF，若OF⊥AB,【答案】(1)见解析(2)6【分析】（1）圆周角定理，得到∠ACB=90°，推出OE∥AC