专题13等腰三角形（直通中考）（分层练习）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.3等腰三角形（直通中考）单选题1．（2022·江苏宿迁·统考中考真题）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（

）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm2．（2020·福建·统考中考真题）如图，面积为1的等边三角形中，分别是，，的中点，则的面积是（

）A．1 B． C． D．3．（2023·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）如图，在中，，，，点为边上的中点，交的延长线于点，交的延长线于点，且．若，则的面积为（

）

A．13 B． C．8 D．4．（2023·河北·统考中考真题）四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（

）

A．2 B．3 C．4 D．55．（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图，是等边的边上的高，以点为圆心，长为半径作弧交的延长线于点，则（

）

A． B． C． D．6．（2023·宁夏·统考中考真题）将一副直角三角板和一把宽度为2cm的直尺按如图方式摆放：先把和角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于，两点，则的长是（

）

A． B． C．2 D．7．（2023·浙江台州·统考中考真题）如图，锐角三角形中，，点D，E分别在边，上，连接，．下列命题中，假命题是（

）．

A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则8．（2018·全国·九年级专题练习）如图，直角中，，点O是的重心，连接CO并延长交AB于点E，过点E作交BC于点F，连接AF交CE于点M，则的值为（

）A． B． C． D．9．（2022·四川攀枝花·统考中考真题）如图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形．若，，，则的值为（

）A． B． C． D．110．（2022·山东聊城·统考中考真题）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，点是x轴上一点，点E，F分别为直线和y轴上的两个动点，当周长最小时，点E，F的坐标分别为（

）A．， B．，C．， D．，11．（2021·四川广元·统考中考真题）如图，在中，，，点D是边的中点，点P是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接．则的最小值是（

）A． B．1 C． D．12．（2021·江苏扬州·统考中考真题）如图，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，把直线绕点B顺时针旋转交x轴于点C，则线段长为（

）

A． B． C． D．13．（2020·辽宁鞍山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点在x轴正半轴上，点在直线上，若，且均为等边三角形，则线段的长度为（

）A． B． C． D．14．（2011·山东枣庄·中考真题）如图，点的坐标是，若点在轴上，且是等腰三角形，则点的坐标不可能是（

）A．（2，0） B．（4，0）C．（－，0） D．（3，0）15．（2012·湖北十堰·中考真题）．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点M是AD的中点，且MB=MC，若AD=4，AB=6，BC=8，则梯形ABCD的周长为（）A．22 B．24 C．26 D．28填空题16．（2023·江苏·统考中考真题）若等腰三角形的周长是，一腰长为，则这个三角形的底边长是．17．（2023·吉林·统考中考真题）如图，在中，．点，分别在边，上，连接，将沿折叠，点的对应点为点．若点刚好落在边上，，则的长为．

18．（2023·青海西宁·统考中考真题）在中，，，点D在边上，连接，若为直角三角形，则的度数是．19．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在中，，是边的中线，若，，则的长度为．20．（2023·新疆·统考中考真题）如图，在中，若，，，则．

21．（2023·江苏泰州·统考中考真题）如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为．

22．（2023·江苏徐州·统考中考真题）如图，在中，，点在边上．将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为．

23．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，等边三角形的边长为，动点P从点A出发以的速度沿向点B匀速运动，过点P作，交边于点Q，以为边作等边三角形，使点A，D在异侧，当点D落在边上时，点P需移动s．

24．（2022·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在中，，点D为的中点，将绕点D逆时针旋转得到，当点A的对应点落在边上时，点在的延长线上，连接，若，则的面积是．25．（2021·青海西宁·统考中考真题）如图，是等边三角形，，N是的中点，是边上的中线，M是上的一个动点，连接，则的最小值是．26．（2023·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，在中，，，点在直线上，，过点作直线于点，连接，点是线段的中点，连接，则的长为．

27．（2023·四川达州·统考中考真题）在中，，，在边上有一点，且，连接，则的最小值为．28．（2022·辽宁朝阳·统考中考真题）等边三角形ABC中，D是边BC上的一点，BD＝2CD，以AD为边作等边三角形ADE，连接CE．若CE＝2，则等边三角形ABC的边长为．29．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在轴上，点B在轴上，，连接，过点O作于点，过点作轴于点；过点作于点，过点作轴于点；过点作于点，过点作轴于点；…；按照如此规律操作下去，则点的坐标为．

30．（2021·山东德州·中考真题）如图，在等边三角形各边上分别截取，交延长线于点，交延长线于点，交延长线于点；直线，，两两相交得到，若，则．解答题31．（2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，，直线与分别交于点E，F，上有一点G且，．求的度数．

32．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，在中，为的角平分线．以点圆心，长为半径画弧，与分别交于点，连接．

（1）求证：；（2）若，求的度数．33．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，在四边形中，点E是边上一点，且，．

（1）求证：；（2）若，时，求的面积．34．（2023·四川甘孜·统考中考真题）如图，在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，．

（1）求证：；（2）若时，求的长；（3）点在上运动时，试探究的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由．35．（2022·辽宁锦州·统考中考真题）在中，，点D在线段上，连接并延长至点E，使，过点E作，交直线于点F．（1）如图1，若，请用等式表示与的数量关系：____________．（2）如图2．若，完成以下问题：①当点D，点F位于点A的异侧时，请用等式表示之间的数量关系，并说明理由；②当点D，点F位于点A的同侧时，若，请直接写出的长．36．（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是△ABC的角平分线．

（1）如图1，点E、F分别是线段BD、AD上的点，且DE＝DF，AE与CF的延长线交于点M，则AE与CF的数量关系是，位置关系是；（2）如图2，点E、F分别在DB和DA的延长线上，且DE＝DF，EA的延长线交CF于点M．①（1）中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；②连接DM，求∠EMD的度数；③若DM＝6，ED＝12，求EM的长．参考答案：1．D【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．解：当3是腰时，∵3＋3＞5，∴3，3，5能组成三角形，此时等腰三角形的周长为3＋3＋5＝11（cm），当5是腰时，∵3＋5＞5，5，5，3能够组成三角形，此时等腰三角形的周长为5＋5＋3＝13（cm），则三角形的周长为11cm或13cm．故选：D【点拨】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．2．D【分析】根据题意可以判断四个小三角形是全等三角形,即可判断一个的面积是．解：∵分别是，，的中点,且△ABC是等边三角形,∴△ADF≌△DBE≌△FEC≌△DFE,∴△DEF的面积是．故选D．【点拨】本题考查等边三角形的性质及全等,关键在于熟练掌握等边三角形的特殊性质．3．D【分析】依据题意，连接，然后先证明，从而，又由等腰可得，从而在中可以求得，又，从而可得的值，进而可以得解．解：如图，连接．

在中，，，点为边上的中点，，，，．．，，，．．又，，．，．在中，．在中，．又在中，，．．．故选：D．【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键．4．B【分析】利用三角形三边关系求得，再利用等腰三角形的定义即可求解．解：在中，，∴，即，当时，为等腰三角形，但不合题意，舍去；若时，为等腰三角形，故选：B．【点拨】本题考查了三角形三边关系以及等腰三角形的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．5．C【分析】由等边三角形的性质求解，再利用等腰三角形的性质可得，从而可得答案．解：∵是等边的边上的高，∴，∵，∴，故选C【点拨】本题考查的是等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟记等边三角形与等腰三角形的性质是解本题的关键．6．B【分析】根据等腰直角三角形的性质可得，由含30度角直角三角形的性质可得，由勾股定理可得的长，即可得到结论．解：如图，在中，，

∴，∴，在中，，∴，∴，∴，∴．故选：B．【点拨】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，含角直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．7．A【分析】由，可得，再由，由无法证明与全等，从而无法得到；证明可得；证明，可得，即可证明；证明，即可得出结论．解：∵，∴，∵若，又，∴与满足“”的关系，无法证明全等，因此无法得出，故A是假命题，∵若，∴，在和中，，∴，∴，故B是真命题；若，则，在和中，，∴，∴，∵，∴，故C是真命题；若，则在和中，，∴，∴，故D是真命题；故选：A．【点拨】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题，判断命题的真假关键是掌握相关性质定理．8．D解：∵点O是△ABC的重心，∴OC=CE，∵△ABC是直角三角形，∴CE=BE=AE，∵∠B=30°，∴∠FAE=∠B=30°，∠BAC=60°，∴∠FAE=∠CAF=30°，△ACE是等边三角形，∴CM=CE，∴OM=CE﹣CE=CE，即OM=AE，∵BE=AE，∴EF=AE，∵EF⊥AB，∴∠AFE=60°，∴∠FEM=30°，∴MF=EF，∴MF=AE，∴==．故选D．9．A【分析】根据勾股定理和含30°角的直角三角形的性质即可得到结论．解：，，，，，，，故选：A．【点拨】本题主要考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．10．C【分析】作C（2，0）关于y轴的对称点G（2，0），作C（2，0）关于直线y=x+4的对称点D，连接AD，连接DG交AB于E，交y轴于F，此时△CEF周长最小，由y=x+4得A（4，0），B（0，4），∠BAC=45°，根据C、D关于AB对称，可得D（4，2），直线DG解析式为，即可得，由，得．解：作关于轴的对称点，作关于直线的对称点D，连接AD，连接DG交AB于E，交轴于F，如图：∴，，∴，此时周长最小，由得，，∴，是等腰直角三角形，∴，∵C、D关于AB对称，∴，∴，∵，∴，∴，由，可得直线DG解析式为，在中，令得，∴，由，得，∴，∴的坐标为，的坐标为，故选：C．【点拨】本题考查与一次函数相关的最短路径问题，解题的关键是掌握用对称的方法确定△CEF周长最小时，E、F的位置．11．B【分析】以CD为边作等边三角形CDE，连接EQ，由题意易得∠PDC=∠QDE，PD=QD，进而可得△PCD≌△QED，则有∠PCD=∠QED=90°，然后可得点Q是在QE所在直线上运动，所以CQ的最小值为CQ⊥QE时，最后问题可求解．解：以CD为边作等边三角形CDE，连接EQ，如图所示：∵是等边三角形，∴，∵∠CDQ是公共角，∴∠PDC=∠QDE，∴△PCD≌△QED（SAS），∵，，点D是边的中点，∴∠PCD=∠QED=90°，，∴点Q是在QE所在直线上运动，∴当CQ⊥QE时，CQ取的最小值，∴，∴；故选B．【点拨】本题主要考查等边三角形的性质、含30°直角三角形的性质及最短路径问题，熟练掌握等边三角形的性质、含30°直角三角形的性质及最短路径问题是解题的关键．12．A【分析】根据一次函数表达式求出点A和点B坐标，得到△OAB为等腰直角三角形和AB的长，过点C作CD⊥AB，垂足为D，证明△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，结合旋转的度数，用两种方法表示出BD，得到关于x的方程，解之即可．解：∵一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，令x=0，则y=，令y=0，则x=，则A（，0），B（0，），则△OAB为等腰直角三角形，∠ABO=45°，∴AB==2，过点C作CD⊥AB，垂足为D，∵∠CAD=∠OAB=45°，∴△ACD为等腰直角三角形，设CD=AD=x，∴AC==x，∵旋转，∴∠ABC=30°，∴BC=2CD=2x，∴BD==x，又BD=AB+AD=2+x，∴2+x=x，解得：x=+1，∴AC=x=（+1）=，故选A．

【点拨】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，知识点较多，解题的关键是作出辅助线，构造特殊三角形．13．D【分析】根据题意得出∠AnOBn=30°，从而推出AnBn=OAn，得到BnBn+1=BnAn+1，算出B1A2=1，B2A3=2，B3A4=4，找出规律得到BnAn+1=2n1，从而计算结果．解：设△BnAnAn+1的边长为an，∵点B1，B2，B3，…是直线上的第一象限内的点，过点A1作x轴的垂线，交直线于C，∵A1（1，0），令x=1，则y=，∴A1C=，∴，∴∠AnOBn=30°，∵均为等边三角形，∴∠BnAnAn+1=60°，∴∠OBnAn=30°，∴AnBn=OAn，∵∠BnAn+1Bn+1=60°，∴∠An+1BnBn+1=90°，∴BnBn+1=BnAn+1，∵点A1的坐标为（1，0），∴A1B1=A1A2=B1A2=1，A2B2=OA2=B2A3=2，A3B3=OA3=B3A4=4，...，∴AnBn=OAn=BnAn+1=2n1，∴=B2019A2020=，故选D．【点拨】本题考查了一次函数的性质、等边三角形的性质以及三角形外角的性质，本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据等边三角形边的特征找出边的变化规律是关键．14．D解：（1）当点P在x轴正半轴上，①以OA为腰时，∵A的坐标是（2，2），∴∠AOP=45°，OA=，∴P的坐标是（4，0）或（，0）；②以OA为底边时，∵点A的坐标是（2，2），∴当点P的坐标为：（2，0）时，OP=AP；（2）当点P在x轴负半轴上，③以OA为腰时，∵A的坐标是（2，2），∴OA=，∴OA=AP=∴P的坐标是（，0）．故选：D．15．B解：先判断△AMB≌△DMC，从而得出AB=DC，然后代入数据即可求出梯形ABCD的周长．解：∵AD∥BC，∴∠AMB=∠MBC，∠DMC=∠MCB，又∵MC=MB，∴∠MBC=∠MCB，∴∠AMB=∠DMC，在△AMB和△DMC中，∵AM=DM，MB=MC，∠AMB=∠DMC∴△AMB≌△DMC，∴AB=DC，四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=24．故选B．16．【分析】根据等腰三角形的性质求解即可．解：三角形的底边长为故答案为：【点拨】此题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形腰长相等．17．【分析】根据折叠的性质以及含30度角的直角三角形的性质得出，即可求解．解：∵将沿折叠，点的对应点为点．点刚好落在边上，在中，，，∴，∴，故答案为：．【点拨】本题考查了折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．18．或【分析】由题意可求出，故可分类讨论①当时和②当时，进而即可求解．解：∵，，∴．∵为直角三角形，∴可分类讨论：①当时，如图1，

∴；②当时，如图2，

综上可知的度数是或．故答案为：或．【点拨】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理．解答本题的关键是明确题意，利用等腰三角形的性质和分类讨论的数学思想解答．19．4【分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理求解即可．解：∵在中，，是边的中线，∴，，在中，，，∴，故答案为：4．【点拨】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质是解答的关键．20．【分析】根据等边对等角得出，再有三角形内角和定理及等量代换求解即可．解：∵，，∴，∴，∵，∴，即，解得：，故答案为：．【点拨】题目主要考查等边对等角及三角形内角和定理，结合图形，找出各角之间的关系是解题关键．21．或或【分析】分情况讨论，利用折叠的性质知，，再画出图形，利用三角形的外角性质列式计算即可求解．解：由折叠的性质知，，当时，，

由三角形的外角性质得，即，此情况不存在；当时，

，，由三角形的外角性质得，解得；当时，，

∴，由三角形的外角性质得，解得；当时，，

∴，∴；综上，的度数为或或．故答案为：或或．【点拨】本题考查了折叠的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，画出图形，数形结合是解题的关键．22．【分析】由折叠性质可知，然后根据三角不等关系可进行求解．解：∵，∴，由折叠的性质可知，∵，∴当、、B三点在同一条直线时，取最小值，最小值即为；故答案为．【点拨】本题主要考查勾股定理、折叠的性质及三角不等关系，熟练掌握勾股定理、折叠的性质及三角不等关系是解题的关键．23．1【分析】当点D落在上时，如图，，根据等边三角形，是等边三角形，证明，进而可得x的值．解：设点P的运动时间为，由题意得，，

∵，∴，∵和是等边三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，解得．故答案为：1．【点拨】本题主要考查等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用等边三角形的性质是解题的关键．24．【分析】先证明是等边三角形，再证明，再利用直角三角形角对应的边是斜边的一般分别求出和，再利用勾股定理求出，从进而即可求解．解：如下图所示，设与交于点O，连接和，∵点D为的中点，，∴,，是的角平分线，是，∴，∴∵，∴是等边三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴∵∵，∴∴,∴．故答案为：．【点拨】本题考查等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质，证明是等边三角形是解本题的关键．25．【分析】根据题意可知要求BM+MN的最小值，需考虑通过作辅助线转化BM，MN的值，从而找出其最小值，进而根据勾股定理求出CN，即可求出答案．解：连接CN，与AD交于点M，连接BM．（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），是边上的中线即C和B关于AD对称，则BM+MN=CN，则CN就是BM+MN的最小值．∵是等边三角形，，N是的中点，∴AC=AB=6,AN=AB=3,,∴.即BM+MN的最小值为．故答案为：.【点拨】本题考查的是轴对称最短路线问题，涉及到等边三角形的性质，勾股定理，轴对称的性质，等腰三角形的性质等知识点的综合运用．26．或【分析】分两种情况当在延长线上和当在上讨论，画出图形，连接，过点作于，利用勾股定理解题即可解：当在线段上时，连接，过点作于，

当在线段上时，，，，，点是线段的中点，，，，，，，，，，当在延长线上时，则，

是线段的中点，，，，，，，，，，，，的长为或．故答案为：或．【点拨】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．27．【分析】如图，作的外接圆，圆心为，连接、、，过作于，过作，交的垂直平分线于，连接、、，以为圆心，为半径作圆；结合圆周角定理及垂径定理易得，再通过圆周角定理、垂直及垂直平分线的性质、三角形内角和定理易得，从而易证可得即勾股定理即可求得在中由三角形三边关系即可求解．解：如图，作的外接圆，圆心为，连接、、，过作于，过作，交的垂直平分线于，连接、、，以为圆心，为半径作圆；，为的外接圆的圆心，，，，，，，在中，，，，即，由作图可知，在的垂直平分线上，，，又为的外接圆的圆心，，，，，，，，即，，在中，，在中，，即最小值为，故答案为：．

【点拨】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理解直角三角形，相似三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，角所对的直角边等于斜边的一半，三角形三边之间的关系；解题的关键是结合的外接圆构造相似三角形．28．3或．【分析】分两种情况，先证明，再根据全等三角形的性质即可得出答案．解：如图，点在的右边，与都是等边三角形，，，，，即．在和中，，，，，，，等边三角形的边长为3，如图，点在的左边，同上，，，，，过点作交的延长线于点，则，，，，在中，，，，或（舍去），，等边三角形的边长为，故答案为：3或．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质，证明是解题的关键．29．【分析】根据题意，结合图形依次求出的坐标，再根据其规律写出的坐标即可．解：在平面直角坐标系中，点A在轴上，点B在轴上，，是等腰直角三角形，，，是等腰直角三角形，同理可得：均为等腰直角三角形，，根据图中所有的三角形均为等腰直角三角形，依次可得：由此可推出：点的坐标为．故答案为：．【点拨】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，以及点的坐标变化规律问题，等腰直角三角形的性质，解题的关键是依次求出的坐标，找出其坐标的规律．30．2【分析】首先利用等边三角形和直角三角形的性质分析得到三个全等的等腰三角形，△JHF≌△GEL≌△IDK，然后设等边△ABC的边长为a，AD=x，利用含30°的直角三角形的性质分别求得△ABC和△JHF的面积，从而可得3S△JDA=S△GHI，从而列方程求解．解：延长交于点，是等边三角形，，，，，同理可得：，，，，，过点作，交于点，设，在中，，，，，，，，过点作，交于点，，，，在中，，，，，过点作，交于点，设，在中，，，，，，，解得：（负值舍去），即的值为2，故答案为：2．【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质以及含30°的直角三角形的性质，正确添加辅助线，以证明△JDA≌△LFC≌△KEB，△JHF≌△LGE≌△DIK为突破口，从而利用等积变换的思想得到3S△JDA=S△GHI是解题关键．31．【分析】根据，可得，从而得到，再由，可得，然后根据三角形内角和定理，即可求解．解：∵，∴，∴，∵，∴，∴．【点拨】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键．32．（1）见分析；（2）【分析】（1）根据角平分线的定义得出，由作图可得，即可证明；（2）根据角平分线的定义得出，由作图得出，则根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出，，进而即可求解．解：（1）证明：∵为的角平分线，∴，由作图可得，在和中，，∴；（2）∵，为的角平分线，∴由作图可得，∴，∵，为的角平分线，∴，∴【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．33．（1）见分析；（2）【分析】（1）由求出，然后利用证明，可得，再由等边对等角得出结论；（2）过点E作于F，根据等腰三角形的性质和含直角三角形的性质求出和，然后利用勾股定理求出，再根据三角形面积公式计算即可．解：（1）证明：∵，∴，即，∴，在和中，，∴，∴，∴；（2）解：过点E作于F，由（1）知，∵，∴，∵，∴，∴，，∴．

【点拨】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，含直角三角形的性质以及勾股定理等知识，正确寻找证明三角形全等的条件是解题的关键．34．（1）见分析；（2）；（3）存在，【分析】（1）由即可证明；（2）证明（），勾股定理得到，在中，勾股定理即可求解；（3）证明，即可求解．（1）解：由题意，可知，，．．即．．（2）在中，，．．，，．．．在中，．（3）由（2）可知，．当最小时，有的值最小，此时．为等腰直角三角形，．．即的最小值为．【点拨】本题主要考查了图形的几何变换，涉及到等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．35．（1）；（2）①；②或；【分析】（1）过点C作CG⊥AB于G，先证明△EDF≌△CDG，得到，然后等腰三角形的性质和含30度直角三角形的性质，即可求出答案；（2）①过点C作CH⊥AB于H，与（1）同理，证明△EDF≌△CDH，然后证明是等腰直角三角形，即可得到结论；②过点C作CG⊥AB于G，与（1）同理，得△EDF≌△CDG，然