专题322双曲线的简单几何性质-

专题3.2.2双曲线的简单几何性质【基本知识梳理】知识点1：双曲线的几何性质焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－ay≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x离心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq\r(a2＋b2)【特别注意】(1)双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小，e越大，开口越大．(2)等轴双曲线（实轴与虚轴等长的双曲线）的离心率为eq\r(2)，渐近线方程为y＝±x.(3)双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置．(4)焦点到渐近线的距离为b.知识点2：由双曲线的几何性质求标准方程(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式．(2)巧设双曲线方程的技巧①与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)．②渐近线方程为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．知识点3：求双曲线的离心率(1)直接法：若可求得a，c，则直接利用e＝eq\f(c,a)得解．(2)齐次式法：若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解．知识点4：双曲线定义的应用双曲线的第二定义：当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e＝eq\f(c,a)(e>1)时，这个点的轨迹是双曲线．【题型1双曲线的焦点、焦距、长轴、短轴的求解】【例1】（20232024∙高二上∙山东淄博∙期中A． B． C． D．【答案】A【分析】由双曲线方程确定参数，即可得焦距.【详解】由题设，故焦距为.故选：A【变式11】（20232024∙高二上∙贵州黔东南州∙期末）【答案】6【分析】利用双曲线的标准方程求解.【详解】解：因为b2=9，所以所以该双曲线的虚轴长为6．故答案为：6【变式12】（20232024∙高二上∙天津市河东区∙期末）A．16 B．8 C．4 D．3【答案】C【分析】根据题意，化简双曲线的方程为标准方程，结合双曲线的几何性质，即可求解.【详解】由双曲线C:9x2−16y2=144，可化为所以双曲线的实半轴长为4.故选：C.【变式13】（20232024∙高二上∙江苏扬州∙期末）（多选）椭圆CA．有相同的焦点 B．有相等的焦距C．有相同的对称中心 D．可能存在相同的顶点【答案】BCD【分析】根据椭圆和双曲线方程分别写出焦点坐标，求出焦距，对称中心以及可能的顶点坐标，即可得出结论.【详解】由椭圆方程可知其焦点坐标为0,4,0,−4，焦距为8，关于原点成中心对称，左、右顶点坐标为由双曲线方程C2:x因此两曲线焦点不同，即A错误；焦距为8，可得B正确；双曲线也关于原点成中心对称，即C正确；当k=0时，双曲线的左、右顶点坐标为3,0,故选：BCD【题型2利用双曲线的几何性质求标准方程】【例2】（20232024∙高二上∙广东佛山∙期末）已知双曲线C的虚轴长为8，两个顶点分别为椭圆E:A．x29−C．x225−【答案】A【分析】设双曲线C的标准方程为x2a2−y2b【详解】由题，设双曲线C的标准方程为x2a2−y又因为双曲线C的两个顶点分别为椭圆E:x225因此，双曲线C的标准方程为x2故选：A.【变式21】（20232024∙高二上∙安徽∙月考）已知等轴双曲线C的对称轴为坐标轴，且经过点AA．x236−y236=1 B．【答案】C【分析】设出等轴双曲线的标准方程，将A4【详解】设等轴双曲线C的方程为x2将点A42,2代入得32所以双曲线C的标准方程为x2故选:C.【变式22】（20232024∙高二上∙黑龙江鹤岗市∙月考）（多选）已知双曲线C：x2a2−y2b2A．离心率为54 B．双曲线过点C．渐近线方程为3x±4y=0 D．实轴长为4【答案】ABC【分析】根据双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)【详解】因为双曲线C：x2a2−y所以焦点在x轴上，且c=5；A选项，若离心率为54，则a=4，所以b=3，此时双曲线的方程为：xB选项，若双曲线过点P5,94，则2a=PF1−PFC选项，若双曲线的渐近线方程为3x±4y=0，则ba=34，又c2D选项，若2a=4，则a=2，所以b2故选：ABC.【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.【变式23】（20232024∙高二上∙山东泰安∙月考）已知双曲线C渐近线方程为，两顶点间的距离为6，则该双曲线【答案】或【分析】分焦点位置讨论，设出双曲线方程，然后根据条件列式求解即可.【详解】当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线C的方程为，则，解得，双曲线C的方程为；当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线C的方程为，则，解得，双曲线C的方程为；综上：该双曲线C的方程是或.故答案为：或【变式24】（20232024∙高二上∙浙江嘉兴∙期中）由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线​​下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（A.​ B.​C​ D.​【答案】B【解析】【分析】首先根据题意得到，再解方程组即可.【详解】设双曲线的一个焦点为，一条渐近线方程为，则焦点到渐近线的距离，所以，即双曲线方程为：.故选：B【变式25】（20232024∙高二上∙湖北孝感∙月考）已知双曲线M(1)若M经过抛物线y=−x2+8x−14(2)若双曲线M的两个焦点分别为F1，F2，点P为M上的一点，且PF【答案】(1)x(2)x225【分析】（1）首先利用共渐近线方程，设出曲线M，再代入顶点坐标，即可求解；（2）根据双曲线的定义求2a，再分焦点的位置，根据双曲线的性质，即可求解.【详解】（1）依题意可设M的方程为x2抛物线y=−x2+8x−14=−将4,2代入M的方程，得λ=43，则M的方程为（2）由题意易知PF1−当焦点在x轴上时，λ>0，可设双曲线M的方程为x26λ−y2则双曲线M的方程为x2当焦点在y轴上时，λ<0，可设双曲线M的方程为y2−3λ−x2则双曲线M的方程为y2综上所述，双曲线M的方程为x225−【题型3双曲线的渐近线方程】【例3】（20232024∙高二下∙浙江∙期中）双曲线A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，结合双曲线的几何性质，即可求解.【详解】由双曲线，可得，所以双曲线的渐近线方程为.故选：C．【变式31】（20232024∙高二上∙湖南∙期中）已知双曲线的实轴长为6，焦点为，则A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意可得的焦点为，易知实半轴长为3，则虚半轴长为，双曲线的方程为，所以的渐近线方程为.故选A.【变式32】（20232024∙高二上∙上海∙期中）双曲线x2−y2=1在左支上一点P(a,b)【答案】−12【分析】由点到直线距离公式及a<b得到b−a=2，结合a2−b【详解】由于双曲线x2−y2=1因为a−b1+1=b−a又a2−b故答案为：−【变式33】（20232024∙高二下∙吉林∙期中）若圆M：x−22+y2A．1 B．2 C．2 D．2【答案】A【分析】根据渐近线的公式写出直线方程，根据直线与圆相切则圆心到直线的距离等于半径列出方程求解.【详解】双曲线C的渐近线方程为y=±x，不妨取y=x，点M2,0到直线y=x的距离为2因为圆M与双曲线C的渐近线相切，所以m=1．故选：A【变式34】（20232024∙高二上∙山东菏泽∙期中）（多选）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：A.C的离心率为2 B.C的渐近线方程为C.C的实轴长为2 D.C的右焦点到渐近线的距离为【答案】ABD【解析】【分析】根据双曲线方程可得，即可根据双曲线的几何性质即可判断ABC，根据点到直线的距离公式即可求解D.【详解】由双曲线C：可得，所以，故离心率为长轴长为，故A正确，C错误，渐近线方程为，故B正确，右焦点为，到渐近线的距离为，故D正确，故选：ABD【题型4求双曲线的离心率的值】【例4】（20232024∙高三上∙山东日照∙期末）已知双曲线C:x2a【答案】5【分析】由条件可得ba【详解】设C的半焦距为c，由题意知ba所以e=c故答案为：5.【变式41】（20232024∙高二上∙山东菏泽∙期中）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),F,AA．3 B．62 C．2 D．【答案】C【分析】根据题意得到a+c=3和4a2−9b【详解】设双曲线的焦距为2cc>0由题设知，AF=a+c，则S所以a+c=3，且c>a，易知0<a<3又因为点P2,3在C上，所以4a2

因为a2所以4c则a4化简得a3解得a=1或a=1±7所以a=1，c=2，故C的离心率为ca故选：C【变式42】（20222023∙高二上∙山东菏泽∙期中）设双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左，右焦点分别为F1，F2【答案】4【分析】首先利用双曲线的定义表示△PF1F【详解】由条件可知，PF2=F1F2=2c，根据双曲线的定义可知，即2a+2c2+4c则双曲线的离心率e=c【变式43】（20232024∙高二上∙山东青岛∙期中）过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设右焦点为，通过双曲线的特点知原点为两焦点的中点，利用中位线的性质，求出的长度及判断出垂直于，通过勾股定理得到的关系，进而求出双曲线的离心率.【详解】如图，设右焦点为，则为的中点，因为，所以为的中点，所以为的中位线，所以，，因为为圆的切点，所以，所以，因为点在双曲线右支上，所以，所以，在中，，所以，即，所以离心率，故选：C【变式44】（20232024∙高二上∙山东菏泽∙期中）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，椭圆的上顶点为，且，双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率为，为曲线与的一个公共点．若，则（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】结合椭圆和双曲线的定义即可求解.【详解】设焦距为，椭圆的长轴长为，短轴长为，双曲线的长轴长为，短轴长为，则在中，，根据对称性，设椭圆与双曲线的交点在第二象限，由双曲线的定义知：，由椭圆的定义知：，则，又，，则，则，又，解得，则，A错误；，B正确；，C正确；，D错误.故选：BC【题型5求双曲线的离心率的取值范围】【例5】（20232024∙高二上∙山东济南∙期中）已知双曲线的左､右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，且，则双曲线离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的定义求得，利用可得离心率范围．【详解】因为，又，所以，，又，即，，所以离心率．故选：C．【变式51】（20232024∙高二上∙山东泰安∙期末）（多选）已知曲线（为实数），则下列结论正确的是（A.若，则该曲线为双曲线B.若该曲线是椭圆，则C.若该曲线离心率为，则D.若该曲线为焦点在轴上的双曲线，则离心率【答案】AD【解析】【分析】利用椭圆以及双曲线的标准方程的特征可逐一判断各选项.【详解】A选项，若，则，则曲线为焦点在轴上的双曲线，故A正确；B选项，曲线是椭圆等价于，解得且，故B错误；C选项，若该曲线离心率为，则曲线为椭圆，由B可知且，当时，焦点在轴，，，解得,当时，焦点在轴，，，解得,故C错误；D选项，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，此时，，当时，函数单调递增，所以，故D正确.故选：AD.【变式52】（20232024∙高三下∙山东菏泽∙校级月考）已知F1，F2分别是双曲线x2a2−y【答案】[【分析】由题意画出图形，求得tan∠F1AF【详解】设双曲线的焦距为2c，如图，F

由题意，A(c,bac)则tan∠由π6≤∠F即2≤b∴e=c故答案为：[【变式53】（20232024∙高三下∙山东菏泽∙模拟）已知e1,e2分别为椭圆x2A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根据椭圆与双曲线的几何性质，求出e2e1=a【详解】由椭圆x2a2双曲线x2a2−y令k=ba，因为双曲线的渐近线的斜率不超过25则0<k2≤45则e2e1故选：B.【题型6根据双曲线的离心率求值或取值范围】【例6】（20232024∙高二上∙山东枣庄∙期末）若离心率为的双曲线的一条渐近线与直线垂直，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据双曲线离心率求得，再根据双曲线的一条渐近线与直线垂直列出，求解.【详解】，所以，得渐近线为，因为其中一条渐近线与直线垂直，则，得．故选：C【变式61】（20232024∙高二上∙安徽∙期中）已知双曲线的离心率是分别为双曲线的左､右焦点，过点且垂直于轴的垂线在轴上方交双曲线于点，则的值为__________.【答案】##【解析】【分析】首先求出点坐标，再由锐角三角函数及离心率计算可得.【详解】由题意得，，点的横坐标为，将代入双曲线的方程，得，所以，又，所以，所以.故答案为：【变式62】（20232024∙高二上∙重庆∙期中）（多选）已知双曲线的离心率为，该双曲线的渐近线与圆交于、两点，则的可能取值为（）A.4 B. C. D.8【答案】BC【解析】【分析】根据双曲线的离心率求出渐近线方程，再借助点到直线距离公式求出弦心距，进而求出弦长作答.【详解】由双曲线的离心率为，得，解得，于是该双曲线的渐近线方程为，而圆的圆心为，半径，点到直线的距离，即圆与直线相交，弦长为，点到直线的距离，即圆与直线相交，弦长为，所以的可能取值为.故选：BC【变式63】（20232024∙高二上∙广东东莞∙月考）已知双曲线x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的离心率为2，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点M−a,0，N【答案】4【分析】先利用双曲线的离心率得到ba=3，写出直线MN【详解】由于双曲线的离心率为ca=1+所以直线MN的方程为y=3设Pt,3t+3a则PF1=(−c−t,−所以PF1⋅P=4由于t∈−a,0，故当t=−34当t=0时取得最大值，此时yP=3a，则故答案为：4【题型7双曲线的实际应用问题】【例7】（20232024∙高二下∙浙江∙月考）江南水乡多石拱桥，现有等轴双曲线形的石拱桥（如图），拱顶离水面10米，水面宽米，若水面上升5A.米 B.米 C.米 D.30米【答案】D【解析】【分析】设双曲线方程为，如图建立直角坐标系，水面上升5米后，设水面宽为CD，设D.由题可得，代入方程可得，后可得x，即可得答案.【详解】设双曲线方程为，如图建立直角坐标系.水面上升5米后，设水面宽为CD，设D，其中.又由题可得，代入双曲线方程可得：，则D.将D点坐标代入双曲线方程可得：，则D.又由对称性可得，则水面上升5米，则水面宽为30米.故选：D【变式71】（20232024∙高二上∙山东烟台∙月考

【答案】3【分析】设双曲线的标准方程为x2a2−y2b【详解】如图所示，设双曲线的标准方程为x2因为最小直径为24cm，可得a=12，即x又因为尊高63cm，上口直径为40cm，底部直径为设点A(20,t),B(13,t−63),(t>0)，所以202144−t2b2可得双曲线的渐近线为y=±b所以渐近线与实轴所成锐角的正切值为3.故答案为：3.

【变式72】（20232024∙高二上∙浙江温州∙期中）双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线的右焦点F2发出的光纤经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点F1．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图②，其方程为x2a2−y

【答案】29【分析】根据双曲线的光学性质结合双曲线的定义利用勾股定理计算即可.【详解】

根据双曲线的光学性质可知F1,A,D与故F1不妨设AF1=5x由双曲线的定义可知F1两式相加可得18x−F所以2a=3x⇒A由勾股定理可知AF故e=29故答案为：293【变式73】（20222023∙高二上∙山东德州∙期中）（多选）双曲线具有如下光学性质：如图，是双曲线的左、右焦点，从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点．若双曲线C的方程为，则（）A.双曲线的焦点到渐近线的距离为B.若，则C.当n过点时，光线